2024版高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法練習(xí)：空間幾何體的表面積和體積

高考

數(shù)學(xué)立體幾何空間幾何體的表面積和體積基礎(chǔ)篇考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圓錐的底面半徑為

,其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓,則該圓錐的母線長(zhǎng)為

(

)A.2

B.2

C.4

D.4

答案

B

2.(2015山東,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=

,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的

體積為

(

)A.

B.

C.

D.2π答案

C

3.(多選)(2023屆湖北摸底聯(lián)考,10)折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù),在我國(guó)已

有四千年左右的歷史,“扇”與“善”諧音,折扇也寓意“善良”“善

行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化,也是運(yùn)籌帷幄、決勝千

里、大智大勇的象征(如圖1).圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖(扇形的一部

分),若兩個(gè)圓弧

,

所在圓的半徑分別是3和9,且∠ABC=120°,則該圓臺(tái)的

(

)

圖1

圖2A.高為4

B.體積為

πC.表面積為34πD.上底面面積、下底面面積和側(cè)面積之比為1∶9∶22

答案

AC4.(2020浙江,14,4分)已知圓錐的側(cè)面積(單位:cm2)為2π,且它的側(cè)面展開

圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位:cm)是

.答案

1考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積1.(2018課標(biāo)Ⅰ,10,5分)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面

BB1C1C所成的角為30°,則該長(zhǎng)方體的體積為

(

)A.8

B.6

C.8

D.8

答案

C

2.(2022武漢部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考,3)若一圓臺(tái)的上底面半徑為1,且上、下底

面半徑和高的比為1∶2∶

,則圓臺(tái)的體積為

(

)A.

B.7

C.

D.7

π答案

C

3.(2023屆浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考,4)直三棱柱ABC-A1B1C1的各個(gè)頂點(diǎn)都在同

一球面上,若AB=3,AC=AA1=2,∠BAC=

,則此球的表面積為

(

)A.

B.

C.

D.32π答案

B

4.(2021全國(guó)甲理,11,5分)已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),

且AC⊥BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

A

5.(2021全國(guó)甲文,14,5分)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30π,則該

圓錐的側(cè)面積為

.答案

39π6.(2020新高考Ⅱ,13,5分)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為

棱BB1,AB的中點(diǎn),則三棱錐A1-D1MN的體積為

.答案

17.(2018天津文,11,5分)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則四

棱錐A1-BB1D1D的體積為

.

答案

綜合篇考法一空間幾何體的表面積和體積考向一求空間幾何體表面積的方法1.(2022廣東中山模擬,6)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的

形狀可視為一個(gè)正四棱錐.現(xiàn)已知該四棱錐的高與斜高(棱錐側(cè)面三角形

底邊上的高)的比值為

,則該四棱錐的底面面積與側(cè)面面積的比值是

(

)A.

B.

C.

D.

答案

B

2.(2023屆廣州8月階段測(cè),4)2008年北京奧運(yùn)會(huì)游泳中心(水立方)的設(shè)計(jì)

靈感來(lái)于威爾·弗蘭泡沫,威爾·弗蘭泡沫是對(duì)開爾文胞體的改進(jìn),開爾文

胞體是一種多面體,它由正六邊形和正方形圍成(其中每一個(gè)頂點(diǎn)處有一

個(gè)正方形和兩個(gè)正六邊形),已知該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn),且棱長(zhǎng)為1,則該

多面體的表面積是

(

)

A.9

+6

B.9

+8C.12

+6

D.12

+8答案

C

3.(2015課標(biāo)Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球

面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為

(

)A.36πB.64πC.144πD.256π答案

C

4.(2020課標(biāo)Ⅰ,文12,理10,5分)已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),☉O1

為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積

為

(

)A.64πB.48πC.36πD.32π答案

A

5.(2018課標(biāo)Ⅱ理,16,5分)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值

為

,SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5

,則該圓錐的側(cè)面積為

.答案

40

π考向二求空間幾何體體積的方法1.(2021新高考Ⅱ,5,5分)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,

則四棱臺(tái)的體積為

(

)A.56

B.28

C.

D.

答案

D

2.(2022新高考Ⅰ,4,5分)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問

題,其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí),相應(yīng)水

面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為180.0km2.

將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái),則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí),增加的水量約為(

≈2.65)

(

)A.1.0×109m3

B.1.2×109m3C.1.4×109m3

D.1.6×109m3答案

C

3.(2022全國(guó)甲,理9,文10,5分)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,側(cè)面展開圖

的圓心角之和為2π,側(cè)面積分別為S甲和S乙,體積分別為V甲和V乙.若

=2,則

=

(

)A.

B.2

C.

D.

答案

C

4.(2022全國(guó)乙,理9,文12,5分)已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面

的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí),其高為(

)A.

B.

C.

D.

答案

C

5.(2022新高考Ⅰ,8,5分)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l,其各頂點(diǎn)都在同一球

面上.若該球的體積為36π,且3≤l≤3

,則該正四棱錐體積的取值范圍是

(

)A.

B.

C.

D.[18,27]答案

C

6.(多選)(2022新高考Ⅱ,11,5分)如圖,四邊形ABCD為正方形,ED⊥平面

ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.記三棱錐E-ACD,F-ABC,F-ACE的體積分別

為V1,V2,V3,則

(

)

A.V3=2V2

B.V3=V1C.V3=V1+V2

D.2V3=3V1答案

CD

7.(多選)(2023屆長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)月考,10)正四棱錐P-ABCD的所有棱長(zhǎng)為2,

用垂直于側(cè)棱PC的平面α截該四棱錐,則

(

)A.PC⊥BDB.四棱錐外接球的表面積為8πC.PA與底面ABCD所成的角為60°D.當(dāng)平面α經(jīng)過側(cè)棱PC的中點(diǎn)時(shí),截面分四棱錐得到的上、下兩部分幾

何體體積之比為3∶1答案

ABD

考法二與球有關(guān)的切、接問題考向一空間幾何體的外接球問題1.(2020天津,5,5分)若棱長(zhǎng)為2

的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為

(

)A.12πB.24πC.36πD.144π答案

C

2.(2020課標(biāo)Ⅱ理,10,5分)已知△ABC是面積為

的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π,則O到平面ABC的距離為

(

)A.

B.

C.1

D.

答案

C

3.(2022江蘇南通重點(diǎn)中學(xué)強(qiáng)基測(cè)試,8)三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O

的球面上.PA=2,PB=3,PC=4,AB=

,BC=5,AC=2

,則球O的表面積為

(

)A.28πB.29πC.30πD.31π答案

B

4.(2022新高考Ⅱ,7,5分)已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為3

和4

,其頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為(

)A.100πB.128πC.144πD.192π答案

A

5.(2023屆海南瓊海嘉積中學(xué)月考,8)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中

記載:“芻甍者,下有袤有廣,而上有袤無(wú)廣.芻,草也,甍,屋蓋也”.翻譯為

“底面有長(zhǎng)有寬為矩形,頂部只有長(zhǎng)沒有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂.”現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示,四邊形ABCD為正方形,四邊形ABFE、四邊形DCFE為兩個(gè)全等的等腰梯形,EF∥AB,AB=BF=2EF=4,則此芻甍的外接球的表面積為?(

)A.

πB.

πC.

πD.

π答案

C

6.(2019課標(biāo)Ⅰ理,12,5分)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,

PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為

(

)A.8

πB.4

πC.2

πD.

π答案

D

7.(2022山東青島二中期末,15)已知A,B,C是半徑為2的球O的球面上的三

個(gè)點(diǎn),且AC⊥BC,AC=BC=

,則三棱錐O-ABC的體積為

.答案

考向二空間幾何體的內(nèi)切球問題1.(2022遼寧鞍山月考,4)正方體的外接球體積與內(nèi)切球體積的比為(

)A.3

B.3

C.