概率論與隨機(jī)過程習(xí)題集(北郵研一專碩)

習(xí)題2XtVt0，b為常數(shù)，VN0,1的隨機(jī)變量，求Xt的一維概率密度、均值和相關(guān)函數(shù)。解：由V～N0,1EVVXtEXtEVtbtEVbbXt

t,

EXtXtEvt

bvtbttEv2b2t

b2X 12

1 2

1 2 11 11Xt

xxxVtb在t0單調(diào)xx xv 1則：ftx

x

fv2 又：VN0,12

1 ev2

x1fv

1 ev2

1 xb2e 2，xR -end-22 2 22t t t tYfy，令：Xtet,Y0XtEXtt1t2。Xtet,Y0XtEXtEet

eytfydy0Xt

t,

EXtXt

Ee1et2

eyt1t2fydyX 12

1

0Xt

fxxy

fy

flntt0 -end-t x

y

tx tx t2.3假設(shè)從t02.3

2

秒拋擲一枚均勻的硬幣作實(shí)驗(yàn)，定義隨機(jī)過程：Xtcost，

t時(shí)刻分別拋得正、反面〔1〕XtF1;x

Fx；2 〔2〕XtF1xx；2 1 2 〔3〕Xt的均值mt2t2。X X X X解〔1〕當(dāng)t1時(shí)，X1的分布列PX10

1

12 2

2

PX2 2 0，x01 1 則分布函數(shù)：F ;xPX x1x12

2

2x1同理：當(dāng)t1時(shí)，X1的分布列PX11PX12120，x1則分布函數(shù)：F1;xPX1x1，1xx2由于在不同時(shí)刻拋擲硬幣是相互獨(dú)立的，則在t1t1的聯(lián)合分布列為：2 1 1 PX2XPX2X2

1

1 1PX21,X11PX21,X124 則二維分布函數(shù)F1,1;x,x分布函數(shù)：2 1 2F1x,

１０或21 10１且－12 2 1 22

410１21且－1224122離散型隨機(jī)過程的均值函數(shù)為： mt1cost12t1cost2t X 2 2 2

1cos1

1X 2 2

22 方差2tEX2tmt21os2t1t21costt

2 1 cost1 X X 2 2

2

2 則：方差21

cos

1

2 91

-end-X 2 4 4 XtAcostBsintB是相互獨(dú)立且服從正態(tài)N0,2的隨機(jī)變量，求隨機(jī)過程的均值和相關(guān)函數(shù)。B～N0,2EAEBADB2mXtEXtEAcostBsintcostEAsintEB0Xt的相關(guān)函數(shù)為：RX1,t2EX1Xt2EAos1Bsin1Aost2Bsint2由于A,B是相互獨(dú)立則均值函數(shù)為：XRt,X

costcost

EA2sintsint

EA22costt

-end-12 1 2 1 2 1 XtmXtBXt1t2t12 1 2 1 2 1 YtXtt，求隨機(jī)過程Yt的均值和協(xié)方差函數(shù)。解：由YtXtt

(t)為普通函數(shù)則隨機(jī)過程YtYtEYtEXttmXttY1,t2EY1Y1Yt2Yt2EX1mX1Xt2mXt2BX1,t2

-end-XtAsint是在,上均勻分布的隨機(jī)變量，令YtX2t，求Rt,tR t,t。Y XYYt,tEYtYtEXtXt2 2

t,tEA2sin2tA2sin2tA4Esin2tsin2t而：4sin2tsin2t1ost21ost1cos2t22t22t2cos2t21cos2t2cos2t21cos4t41cos22 2

t,tA4Esin2tsin2tA4E1cos2t2cos2t21cos4t41cos22 2 1而：Ecostost d0 1同理：Ecost2cost d0則：Rt,tA4E1cos2t2cos2t21cos4t41cos2Y 2 2 1A4E11cos21A411cos24

4

2 RYt,tEXtYtEAsintA2sin2t 13Esintsin2t3sintsin2t

d02-end-XtXZt2X、Y、Z1Xt的協(xié)方差函數(shù)。解：由于EXEYEZ0，DXDYDZ1Xt

tEXtEXtZt2EXtEYt2EZ0Xt的協(xié)方差函數(shù)為：Bt,t

t,

EXtXtEX

Zt2XZt2X 1

X 1

1 2

1 1 2 2EX2ttEY2t2t2EZ21ttt2t2

-end-12 12 12 12Xtx為任意實(shí)數(shù)，令：tYtXtx證明隨機(jī)過程YtXtYt的均值函數(shù)為：YtEYtPXt0PXtPXtXxYt的相關(guān)函數(shù)為：Y1,t2EY1Yt2PX1Xt2PX1Xt2PX1Xt2PX1Xt2PX1Xt2PX1Xt2X1,2

-end-ftTY在0,TXtftY， T 求證隨機(jī)過程Xt滿足：EXtXt ftft dt。0T 1T證明：EXtXtEftYftYftyfty dyT0tT令ty，有：EXtXt

fsfs1ds1tT Tt

fsfst tT由于ft是一個(gè)周期為T的周期函數(shù)，則：1T 1TT EXtXt fsfsds ftftdtT X0 0X

-end-Xt〔〕BX1,t2X1Xt2；

t1,

，方差函數(shù)為2t，試證：〔2〕

t,

12t2t

XXt2mXt2

2 X 1 X 2〔〕BX1,t2XXt2mXt2

EX1mX1EXt

t

EXtm

t2EX

1t22

t

t 1 X 1

1 X

2 X 2

X 1 X 2〔2〕有〔1〕的結(jié)論，有：BXt1,t2Xt1Xt22而對任意的x,yR，均有：xy1x2y22則：B

t,

tt12t2t

--X 1

X 1 X

2 X 1 X 2Xt和YtBXYt1t2，試證：Yt2Yt2BY1,t2Yt2Yt2BXYt1t2Yt2Yt2Yt2

EX1mX1EXt

t

EXtm

t2EYt

1t22

t

t 1 X 1

1 X

2 Y 2

X 1 Y 2-end-NXtAeitk，其中Ak是在Nk k kk10k2,…NXt的均值和協(xié)方差函數(shù)。Xt

it N itkkk解：先求

的均值函數(shù)：EXtEke Eke k kN因A，k1,2,…N之間相互獨(dú)立，則：EXtEAEeitkNk k

k

k ～U0Eeitk

21eitk d010k 0N所以：EXtEAEeitk0N k1

k EeEAjXtBXt1t2RXt1t2 EeEAjEAke1kEAjeN iEAke1kEAje

it

NN itt2j12k j 2j12k j

j

kjkj當(dāng)kj與kj

Eei1t2kjettEei

kEeij0k當(dāng)k 時(shí)，Ee j12 i當(dāng)k 時(shí)，Ee j12

it1t2Xt

1,t2

Ne e EAkk1

-end-設(shè)Xt0X0是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，假設(shè)對任意的ttV相互獨(dú)立，令YtXtV，求隨機(jī)過程t的協(xié)方差函數(shù)。解：因Xt0Xt的零均值的二階矩過程。又VEVDV1EYtEXtEV0由因?yàn)槿我獾膖tV相互獨(dú)立，則：Y1,t2Y1,t2EY1Yt2EX1VXt2VRt,tmtEVmtEVEV2R

t,

12mint,t1X 12 X 1 X

X 12

X 12-end-nn設(shè)隨機(jī)過程XjXjj2,…n是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且：j1PXjXj01pq，求n2,…的均值和協(xié)方差函數(shù)。n n nnn,,EnEXjEXjpqpj1

j

j1 p 而：EXiXj

j，則Ynn1,2,…的協(xié)方差函數(shù)為：ijBn,mE Xnp n mmpn mEX

mnp2Y j1

kk1

j k jkn mnEXn

EX

EX

mpmnmp2mpqmnp2j1k1

j k j k j jk jkn mnEXn

EX

EX

npmnnp2npqmnp2j1k1

j k j k j jk jkn BnmEXn

mnp2minm,npqY j kj1k1

-end-設(shè)YPY11，XtYtZsint，2tXtt證明：由于隨機(jī)過程Xtt的均值函數(shù)為：mXtEXtEYostZsintcostEYsintEZ0相關(guān)函數(shù)為：RX1,t2EX1Xt2EYos1Zsin1Yost2Zsint2而Y，Z是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，則：EYEZ0，EY2EZ21，則：XRt,tX

costcos

EY2sintsin

EZ2costt12 1 2 1 2 1 EX2tRXt,t12 1 2 1 2 1 則隨機(jī)過程Xtt是廣義平穩(wěn)過程。下面證明Xtt不是嚴(yán)平穩(wěn)過程，采用反證法：假設(shè)XttF1;xFt2;xF0;1F

;1，下面分別計(jì)算這兩個(gè)值，有： F0;1PX01PY11F;1

PX P

Zsin PYZ 24

4 4 PY1，Z1PY1，Z1PY1，Z134F0;1F

;1與假設(shè)矛盾，則Xtt不是嚴(yán)平穩(wěn)過程。 -end-2.16設(shè)Wtt是參數(shù)為2XteWett，0X為常數(shù)，證明Xtt是平穩(wěn)正態(tài)過程，相關(guān)函數(shù)R 2eX證明：因Wtt是參數(shù)為2的維納過程，有：Wt～N,2t，則：We2t～N,2etEXttXt的相關(guān)函數(shù)為：Rt,t

EXtXt

e1et2EWe1Wet2e1t2EWe1Wet2X 1

1 2

EWe1Wet2EWe1W0Wet2We1We1 因WtEWe1W0Wet2We210t 2 1Rt,

EXtXt

e1t2EWe2t2e1t2DWetWe2t211X 1

1

1 1 e1t22e12et21t

2t1X12 1 X12 1

t,

2et1t2t

t，則Xtt是平穩(wěn)正態(tài)過程。

t1,

2et2，即R

2e

X-end-Xni 2.17設(shè)Xt0X00，試求它的有限維概率密度函數(shù)族。Xt～N0,2tni 1 則對任意的n及0t1

…

Xt～N,2t，i…n又因?yàn)榫S納過程是齊次的獨(dú)立增量過程，則X1,Xt2,…Xtn的聯(lián)合分布與X1X0,Xt2X1,…XtnXtn1相同。再由其獨(dú)立增量性，知X1X0,Xt2X1,…XtnXtn1X1,Xt2,…Xtn的概率密度為：22t22t 1

x2ft,t,…,t;x,x,

1

11

k1k2tk1tk22tk1tkX 1

n 1 2 n

k1-end-習(xí)題3X1tX2t是分別具有參數(shù)和2的相互獨(dú)立的泊松過程，證明：〔1〕YtX1tX2t是具有參數(shù)的泊松過程；〔2〕ZtX1tX2t不是泊松過程。X1t～12t～2〔1〕根據(jù)泊松過程的定義，下面對隨機(jī)過程YtX1tX2t一一驗(yàn)證其滿足：?1 Y0X10X200?2? 取ttt

，說明Yt為獨(dú)立增量過程1 2 3 4因?yàn)椋篨1t～1，X2t～2，則：X1t2X1t1X1t4X1t32t2X2t1X2t4X2t3相互獨(dú)立X1tX2t相互獨(dú)立，則：X1t2X1t1X2t4X2t32t2X2t1X1t4X1t3相互獨(dú)立1t211X1t2X1t2+X2t2X2t2與1t413X1t4X13+X2t4X23相互獨(dú)立則：Yt是獨(dú)立增量過程。?3 PYtsYsnPX1tsX2tsX1sX2sn? n PX1ts－X1s2tsX2snii0 nPX1ts－X1s，X2tsX2snini0X1tX2t相互獨(dú)立，則：nPYtsYsnPX1ts－X1siPX2tsX2snini0n t

tn

e12ttnn

titn

e12ttn

e12t net 1 e2t 2

n!1 2

n

ti0 i!

ni

n! i0 i! ni

n! 1 2

n! 1 2 綜上所述，YtX1tX2t是具有參數(shù)12的泊松過程?！病矱ZtEX1tX2tEX1tEX2t12tDZtDX1tX2tDX1tDX2t12tEZtDZt，則ZtX1tX2t不是泊松過程。

-end-設(shè)到達(dá)某商店的顧客組成強(qiáng)度為p，且與其是強(qiáng)度為p的泊松過程。證明：設(shè)Xt，t0表示到達(dá)商店的顧客數(shù)，i表示第i個(gè)顧客是否購置商品，不妨假設(shè)假設(shè)第i個(gè)顧客購置商品，取i1；假設(shè)第i個(gè)顧客未購置商品，取i0。則：Pi1p，Pi01p再由題意知：i，i1,2,…彼此獨(dú)立且同分布，且與Xt，t0獨(dú)立Xt因此，Yti是復(fù)合泊松過程。i1容易驗(yàn)證t〔1〕00〔2〕t是獨(dú)立增量過程；且：P{YtsYsk}P{(s,ts)內(nèi)有k個(gè)顧客購置}P{(s,ts)內(nèi)有k個(gè)顧客購置,有n個(gè)人到達(dá)，n0} (tsN(s)n此個(gè)人中有k}nket(t)nCkpk1p)nknkt

n! (t)n

k nknke k!(nknk

(1p)t(t)lk

k nke l0

pk!l!

(1p) (lnk)et(pt)k1p)t)lk!ept(pt)kk!

l0 l!是強(qiáng)度為p的泊松過程。

-end-設(shè)總機(jī)在0tXt是具有強(qiáng)度〔每分鐘〕為的泊松過程，求：3次呼叫的概率；3〔〕Xt～22e則：PYt2Yt3

43e23! 32〔2〕P{3次呼叫PXX0kX2X3k2K02PXX0kPX2X3k2K0PXX00PX2X3PXX01PX2XPXX02PX2Xe1PX2XPX2XPX2X2e1PX2XPX2Xe1PX2X2e1eeee1eee1ee1

22 e

21222 2

-end-設(shè)Xt0是具有參數(shù)為S是相鄰事件的時(shí)間間隔，證明：PS1s2S1PSs21發(fā)生在將來s2秒的概率等于在將來s2秒出現(xiàn)下一次事件的無條件概率〔這一性質(zhì)稱為“泊松過程無記憶性〞。證Xt～

s0PSssSsPXs

Xs

2 es21 2 1 1 2 1 0!2 e21PSsPSs2

-end-相互獨(dú)立，假設(shè)把這些汽車合并單個(gè)輸出過程〔假定無長度、無延時(shí)，求：相鄰綠色汽車之間的不同到達(dá)時(shí)間間隔的概率密度；汽車之間的不同到達(dá)時(shí)刻間隔的概率密度?！病?1的指數(shù)分布，則綠色汽車之間的不同到達(dá)時(shí)間間隔的概率密度為：ett0ft1 0

t0〔2〕假設(shè)把這些汽車合并單個(gè)輸出過程Yt，則根據(jù)3.1〔1〕知Yt服從于參數(shù)為123的泊松過程，于是汽車之間的不同到達(dá)時(shí)刻間隔的概率密度為：

e123

t0YftY

1 2 30

t0

-end-設(shè)Xt0為具有參數(shù)為的泊松過程，證明：E

n，即泊松過程第n次到達(dá)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望恰好是到達(dá)率倒數(shù)的n倍；n〔〕Dnn

，即泊松過程第n次到達(dá)時(shí)間的方差恰好是到達(dá)率平方的倒數(shù)的n倍。證明：設(shè)Ti表示Xt，t0第i1次事件發(fā)生到第i次事件發(fā)生的時(shí)間間隔，則Ti，i1,2,…相互獨(dú)立且服從均值為1的指數(shù)分布，則：1 1 n Ei ，Di 2，i,,…n，而ni i1n n〔〕EnEii1n n〔〕DnDi 2i1-end-設(shè)Xt0和t分別是具有參數(shù)為和2W和WXtWW，對于WtWXtXWXWXW1NYWYWN的概率分布。PNkPYW'YWk,W'W0PYW'YWkW'W'Wsds02e2se1sds122e2se1sds12 k! 1

0 1 2

1 2

-end-設(shè)脈沖到達(dá)計(jì)數(shù)器的規(guī)律是到達(dá)率為pXt表示已被記錄的脈沖數(shù)：〔1〕求PXtk，k0,1,2,…Xt是否為泊松過程。解：設(shè)Nt，t0表示在0,t區(qū)間脈沖到達(dá)計(jì)數(shù)器的個(gè)數(shù)，假設(shè)第i個(gè)脈沖被計(jì)數(shù)器記錄，取i1；假設(shè)第i個(gè)脈沖不被計(jì)數(shù)器記錄，取i0，則：Pi1p，Pi01p，則：NtXtii1Xt為泊松過程，且：EXtENtE1tpptXt的強(qiáng)度為p，所以：tkPXtk

e2,…k!

-end-888時(shí)顧客平均到5人/20人/1320人/13171712人。假定在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的，問在8:30—9:30間無顧客到達(dá)商店的概率是多少？在這段時(shí)間內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)學(xué)期望是多少？解：將時(shí)間8時(shí)至17時(shí)平移為0時(shí)至9時(shí)，依據(jù)題意商店的到達(dá)率為：5t20，

0t33t5202t55t91.5則：mX1.5mX0.555tdt100.5PX1.5X0.5

t0!

e10te10t則：在8:30—9:30間無顧客到達(dá)商店的概率是e10t？在這段時(shí)間內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)學(xué)期望是10人。-end-2戶定居，即2，如果每戶61

3

，一戶二人的概率是1，3一戶一人的概率是6學(xué)期望與方差。

，并且每戶的人口數(shù)是相互獨(dú)立的，求在五周內(nèi)移民到該地區(qū)人口的數(shù)解：設(shè)Nt，t0表示在0,t間的移民戶數(shù)，Yi表示每戶的人口數(shù)，則在0,t內(nèi)的移民人Nt數(shù)：XtYi是一個(gè)復(fù)合泊松過程。i1因?yàn)閅i相互獨(dú)立且具有相同分布的隨機(jī)變量，其分布率為：PYPY1，PYPY16 3 EY5，EY243 2 6根據(jù)題意知Nt在5周內(nèi)是強(qiáng)度為10的泊松過程，由定理3.6，有：mtEXttEY

tDXttEY2X

1 X 1

5255t2543215X 2 X 6 3所以：在五周內(nèi)移民到該地區(qū)人口的數(shù)學(xué)期望為25，方差為215。3-end-習(xí)題4設(shè)質(zhì)點(diǎn)在區(qū)間04041停留在原點(diǎn)，在其1它整數(shù)點(diǎn)分別以概率3概率矩陣。

向左、右移動(dòng)一格或停留在原點(diǎn)，求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的一步和二步轉(zhuǎn)移解：根據(jù)題意，畫出其狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：則一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：則一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0 0 0 0 1 1 1 0 03 3 3 P

1 1

0，I0,1,2,3,4 3 3 3 0

1 1 13 3 3 0 0 0 0 1二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3 3

1 1 0 3 3 0

4 2 2 1 0 0 9 9 9 9 0 0 P2

1 1

0

1 1

01 2 3 2 1，I 3 3 3

3 3

9 9 9 9 90

1 1 13 3 3

1 1 1 3 3 3

1 2 2 49 9 9 90 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 1

-end-p，對于n2些值分別對應(yīng)于第n次和第n〔，求馬爾可夫鏈n,的一步和二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。解：根據(jù)題意，有：I0,1,2,3p00

p03 p

0 0 p10

0

p q則一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：P p20

p22

p23 p

0 0 二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

p33

0

p qp q 0 0p q 0 0 p2 pq pq q2 0 0 p q0 0 p q p2 pq pq q2P2 p q 0 0p q 0 0 p2 pq pq q2 0 0

p q0

p q

pq pq q2

-end-設(shè)Xn為馬爾可夫鏈，試證：〔〕PXn1n1,Xn2n2,…XnmnmX00,X11,…XnnPXn1n1,Xn2n2,…Xnmn

Xnin〔〕PX00,…Xnn,Xn2n2,…XnmnmXn1n1PX0,…Xn

Xn1n1PXn2n2,…Xnm

Xn1n1〔〕PXn1n1,Xn2n2,…XnmnmX00,X11,…XnnPX0,X1…Xn,Xn1in1,Xn2in2…XnminmPX0,X1,…Xn0 00 01 n nnm1nm n nn1 nm1nm

i…

pii

…i p …

pii

…ipp…p

inin1

inm1inm pi0i0i1

PXnn,Xn1n1…XnmnmP

i …

i XiPXnn

n1

n1

nm nm n n〔〕PX00,…Xnn,Xn2n2,…XnmnmXn1n1PX0,Xn,Xn1in1,Xn2in2…XnminmPXn1n10 01 0 01 n nnm1nm0 01 nn2 nm1nm

pii…piipii

…

pii…pii

pii

…iipin1

pin1i

pin1iPX0,…Xn

Xn1n1PXn2n2,…Xnm

Xn1n1

-end-設(shè)Xn為有限齊次馬爾可夫鏈，其初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣為： 1 1 1 1 4 4 4 41 1 1 1PX0

1 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 4 4 8 4 8 1 1 1 14 4 4 4試證：PX24X01，1X14PX241X14證明：由題意，有：PX

41X

4P1X14，X2412 1 X18 4 8 8PX1=，X2PX1=，X2PX1=24PX1=3471138 4 8 8PX1PX1

PX1PX1

71 60PX

4X1，1X

4PX01，1X14，X242 0

PX01，1X14PX0，X1，X2PX0，X1，X2PX0，X1PX0，X14 4 4 4 4 8 p24111114 4 4 4 4 8

1 1 1 4 4 4

16 60PX24X0X1PX241X1

-end-設(shè)XttT1X1X2X2…XnXn…量序列，令Yt1=X1，YncYn1X試證是馬爾可夫鏈。證明：由題意，有：YnXn-cYn1，知Yn是X1,…Xn的函數(shù)，由于X1,…Xn,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，故對任意的n0，Xn1與Y0,Y1…Yn獨(dú)立。Pn1n10,11,…nnPn1nn1n0,11,…nnPXn1n1n0,11,…nnPXn1n1cnPXn1n1cnnnPn1n1nn由k,,…n1的任意性知：n是馬爾可夫鏈。-end-0.5 0.5 0 隨機(jī)游動(dòng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：P0 0.5 0.5，求三步轉(zhuǎn)移概率矩陣P3及當(dāng)初 0.5 0 0.5PX0PX00，PX013的概率。0.5 0.5 00.5 0.5 0 0.25 0.5 0.25 解：由于P20 0.5 0.50 0.5 0.50.25 0.25 0.5 5 0 55 0 5 5 5 50.25 0.5 0.250.5 0.5 0 0.25 0.375 0.375 則：P3P2P0.25 0.25 0.50 0.5 0.50.375 0.25 0.375 5 5 55 0 5 5 5 5而：p1p20，p31

nppn

3pp3pp3pp3pp30.25jiI

iij

33i13

ii3 113 223 333則經(jīng)三步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)3的概率為0.25。本月銷售狀態(tài)的初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：0.8 0.1 0.1 〔1〕PT00.4 0.2 0.1 0.7 0.2； 2 2 6

-end-0.70.10.10.10.10.60.20.10.10.10.60.20.70.10.10.10.10.60.20.10.10.10.60.210.10.26求下一、二個(gè)月的銷售狀態(tài)分布。0.8 0.1 0.10.8 0.1 0.1 0.67 0.17 0.16 解〔〕P21 7 21 7 29 4 7 2 2 62 2 6 3 8 2再由：PTnPT0Pn則下一個(gè)月的銷售狀態(tài)分布為：

0.8 0.1 0.1 PTPT0P10.4 0.2 0.40.1 0.7 0.20.42 0.26 0.32 2 2 6同理下二個(gè)月的銷售狀態(tài)分布為：

0.67 0.17 0.16 PT2PT0P20.4 0.2 0.40.19 0.54 0.270.426 0.288 0.286 3 8 20.7 0.1 0.1 0.10.7 0.1 0.1 0.1 0.52 0.15 0.17 0.16 0.1 0.6 0.2 0.10.1 0.6 0.2 0.1 0.16 0.40 0.27 0.17〔2〕P2 0.1 0.1 0.6 0.20.1 0.1 0.6

0.16 0.15 0.43 0.26 1 1 2 61 1 2 6 6 5 7 2再由：PTnPT0Pn0.70.70.10.10.10.60.20.10.10.6.10.10.2PTPT0P10.2 0.2 0.3 0.3下二個(gè)月的銷售狀態(tài)分布為：

0.10.10.22 0.2 0.3 0.260.520.150.170.160.160.400.270.170.160.150.430.260.150.2720.520.150.170.160.160.400.270.170.160.150.430.260.150.27224個(gè)季度銷售記錄如下表〔12—滯銷〕

-end-季 節(jié)123456789101112銷售狀態(tài)112122111212季 節(jié)121415161718192021222324銷售狀態(tài)112211212111以頻率估計(jì)概率，求：銷售狀態(tài)的初始分布；三步轉(zhuǎn)移概率矩陣及三步轉(zhuǎn)移后的銷售狀態(tài)分布?！病?5個(gè)季節(jié)，用頻率估計(jì)概率，則：pPX115，pPX291 0 24 2 0 24則：PT0p

15 91 24 241

7 714 14〔2〕一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P p21

p22

7 29 9 7 77 714 1414 14

23 1336 36則，二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P2 7 27 29 99 9

91 71162 162 23 137 736 3614 14 0.6 0.4所以，三步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P3 1 17 2 2 8 162 1629 9 由PTnPT0Pn4 42 8則：PT3PT0P34 42 8 設(shè)老鼠在如圖4.14 k

-end-1

條通道時(shí)以概率 隨k12123654789圖4.14解：顯然，狀態(tài)空間I1,2,3,4,5,6,7,8,9由題意，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：01000000012 1212

0 0 0 0 0 0 0121212120 0 0 0 0 0 0 0100010000000000001000000100 0P0

P20 12120 0 0 0 0 0 01212 000013010000130130100000010 30 ，2I可分為兩個(gè)閉集：IC1C2，其中C11,2,3,4，C25,6,7,8,9-end-討論以下轉(zhuǎn)移概率矩陣的馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類：〔1〕0.2 0.3 0.5 0 0〔1〕 0.7 0.3 0 0 0 P0 1 0 0 0 0 0 0 0.4 0.6 0 0 0 1 0解：1°畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖2°由狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，有：N，C11,2,3，C24,544 44 3°考查狀態(tài)4，f10.4，f20.61＝0.6，fn0n344 44 f fnff20.40.614常返44 44 44 44n1

4 44 44 nfn1f2f210.420.61.644 44 44 n141445遍歷態(tài)。44 44 再考查狀態(tài)1，f10.2，f20.30.7＝0.21，fn0.30.70.3n20.50.70.3n3n344 44

fn0.20.210.30.70.310.30.32…0.50.710.30.32…44 n44 0.410.590.710.30.32…0.410.591，則狀態(tài)1常返 nfn10.220.21n0.30.70.n20.50.70.n31 1 44n1

n300101000001010000.30.7000.60.20.20〔2〕P解：1°畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖22fn220.71n022 22.3n10.722n1n1 nfn30.72 22n1n124N1、2、3構(gòu)成一個(gè)常返閉集C3。2f2n22fn220.71n022 22.3n10.722n1n1 nfn30.72 22n1n1則：f22

1，則狀態(tài)2常返，且周期為1。而平均返態(tài)，則閉集C3為遍歷閉集。1

2n1n0.n10.72為遍歷0…0……………0rp0………0qrp0……0…………0qrp……………01 q 0 〔3〕P ，其中qrp。 0 0 解：1°畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，如下：…2C1N2,…b是非常返態(tài)。設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

-end-1 1

02 2 〔1〕1 2 〔2〕0 p2 q23 3 11 f11

3 0

p3nnij ij 〔〕pnfkpnkij ij k1fn

n1pn fkpnkij ij ij kf=p11，f=p1111 11 2 12 12 21

1

1 1

5 7 P1

2 2，所以：P2P1P1

2 2

2 2

12 121 2 1

1 2 7

11 3 3

3 33 3

18 18則：f2p2f1p1

5111，f2p2f1p1

712111 11 11

12 2 2

12 12 12

12 2 3 41 15

29 43 同理：P3P1P22 2

12 12 72 721 27

11 29 25 3 3

18 18 54 54f3p3fp2f2p1111 11 11 11 11 11 9f3p3fp2f2p1112 12 12 22 12 22 8〔2〕1°畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下：2f=p1=p，f2=0，f3

qqq

11223311 11 1 11 11 12fp=qf2=pq11112f3=p211 11 1 11 11 12

111111212 12 1 12 11 12 11

-end-I2,…7，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0.40.2 0.1 00.10.10.10.40.2 0.1 00.10.10.10.10.3 0.2 0.20.10.10.1000 0.6 0.40 0.4 000.60000000.20.5000.20.50.300000000.30.7000000.80.2

，求狀態(tài)的分類及各常返閉集的平穩(wěn)分布。解：1°畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖2°根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，顯然有：狀態(tài)6、7互通，3、4、5互通，1、2互通。f fn

f1f2f3…11 11 11 11 11n10.40.20.10.20.30.10.20.320.1…70.40.20.110.30.32…317126、7互通，且：f fnff2f3…0.30.70.80.70.20.80.70.220.8…66 66 66 66 66n10.30.70.810.20.22…0.30.7則狀態(tài)6常返，所以狀態(tài)7也是常返態(tài)，得閉集C16,73、4、5也是常返態(tài)，得閉集C2

1 110.2下面進(jìn)一步判斷狀態(tài)6、7是正常返還是零常返，求其平均返回時(shí)間：nf 1f 2f 3f n 2 36 66 66 66 66n110.320.70.830.70.20.840.70.220.8… 〔1〕60.210.30.220.70.80.230.70.220.8… 〔2〕6〔1〕減〔，得：60.810.30.30.220.70.810.70.20.810.70.220.8…60.8

1.360.70.810.20.22…1.360.7

11

2.0662.575，則狀態(tài)6為正常返，所以狀態(tài)7也是正常返。同理，可判斷狀態(tài)3、4、5也是正常返態(tài)的，略。3°由狀態(tài)3、4、5為非周期正常返狀態(tài)，則平穩(wěn)分布存在。0.6 0.4 0 對應(yīng)的隨機(jī)子矩陣為：0.4 0 0.6設(shè)狀態(tài)345對應(yīng)的平穩(wěn)分布為：3,4,5 2 5 3 0.6 0.4 0 3,4,50.4 0 0.63,4,5

0.2 0.5 0.3345110,7,6，則閉集C010,7,600232323 2 232323 同理可得閉集C0000,8,71 1515 設(shè)馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

-end-0 100 10………q1 0p10…0 q20p20 ………………P ，求它的平穩(wěn)分布。0,1,2,…，則： 0 1 0 … …… q1 0 0 ……0,1,2,… 0,1,2,… 0 q2 0 p2 0 … … … … …012…10q1110q22得： p q

jj j

j

j

j1012…110 110 1q p2 1010

q1q23

(p2qqq

p2qqq 0 123 123… pp...pj0 12 jj0

j2,3,4,…012.1則： p2...pj1j

1

0p01，j1,2,…0

jp 1k j1k0k1

-end-艾倫菲斯特〔Erenfest〕鏈。設(shè)甲、乙兩個(gè)容器共有2N個(gè)球，每隔單位時(shí)間從這2N個(gè)Xn為在時(shí)刻nX是齊次馬爾可夫鏈，稱為艾倫菲斯特鏈。求該鏈的平穩(wěn)分布。解：根據(jù)題意，艾倫菲斯特鏈的狀態(tài)空間為I0,1,2,…2N，則轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

2Ni，p

ii0,1,…2Nii i,i1 2N i,i1 2N平穩(wěn)分布0,1,2,…2N，滿足如下方程組：0 1 0 0 … 0 1 0 2N1

0 … 0,,

,…

2N 2N

,,

,… 0 1 2 2

… … … ……

0 1 2 2N0 0 … 0 1 0 10 2N 1則：

2Nj1

j11

j2N1j j

j2N 1112N

2N2N1j

j2

…

1

C1

C2

…C2N10 1 2 2

0 2

2

0 2N00 12N1220 222N,2

22N,C

22N,…C2N22N

-end-2224322子中各任取一球，交換后放回盒中〔甲盒內(nèi)取出的球放入乙盒中，乙盒內(nèi)取出的球放入甲盒中Xn表示經(jīng)過n次交換后甲盒中的紅球數(shù)，則Xnn試求：一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；證明Xn，n是遍歷鏈；〔3〕求limpn，j0,1,2。nij解：根據(jù)題意，狀態(tài)空間I0,1,2p00

p02

13 023 23〔1〕一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：Pp p

2

5 210 11 12

9 9 93 31p p p 3 3120 21 22 〔2〕III4.131有：I中所有狀態(tài)全部為正常返。顯然，狀態(tài)0,1,2的周期全部為1，即I中所有狀態(tài)全部為非周期的正常返狀態(tài)，則Xn，n是遍歷鏈?！?〕由4.39式，有：limpn1

，其中

,,

為平穩(wěn)分布，且滿足： 13

n223

ij jj0

0 1 2 0,1,22 5 20,1,2 9 9 93 31 3 31 10 1 2解以上方程組，得平穩(wěn)分布為：131，則：,,limpn

1impn

5553impn1

-end-n

i0

5n

i1 1

5n

i2 2 5設(shè)Xn，njI移概率矩陣滿足條件：pij1，試證：iIijjpn1ijiII2,…m〔1〕n1成立設(shè)nm成立，來考查nm1結(jié)論是否成立-Kj,pmpmpppmp1ij ik kj kj ik iI iIkI kI kI由條件知：Xn，n4.16推論1知：該馬爾可夫鏈為遍歷鏈。limpn

10jIn

ij jmjmlimpnlim

pn

1m1所以：mmijnmmij

n

ij

i1

i1

i1 j jjmj2,…m

-end-BOD〔生物耗氧量〕I是BOD濃度為極低、低、中、高分別表示的，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣〔以一天為單位〕為：0.5 0.4 0.1 0 0.2 0.5 0.2 0.1P 0.1 0.2 0.6 0.1 0 02 4 4假設(shè)BOD濃度為高，則稱河流處于污染狀態(tài)，證明該鏈為遍歷鏈；求該鏈的平穩(wěn)分布；4?！?〕證明：

0.5 0.4 0.1 00.5 0.4 0.1 0 0.34 0.42 0.19 0.05 0.2 0.5 0.2 0.10.2 0.5 0.2 0.1 0.22 0.39 0.28 0.11由P2PP 0.1 0.2 0.6 0.10.1 0.2 0.6 0.1 0.15 0.28 0.45 0.12 0 2 4 40 2 4 4 8 6 4 2知馬爾可夫鏈所有狀態(tài)I1,2,3,4互通，即該馬爾可夫鏈不可約且每個(gè)狀態(tài)為非周期的，則由定理4.16推論1知，該馬爾可夫鏈為遍歷鏈?！?〕4.161知，該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布存在，不妨假設(shè)為1,2,3,4，則有： 0.5 0.4 0.1 0 0.2 0.5 0.2 0.11,2,3,4 1,2,3,4 0.1 0.2 0.6 0.1 0 0.2 0.4 0.412341得：10.2112，20.3028，30.3236，40.1044則平穩(wěn)分布為：1,2,3,41〔3〕414

10.1044

9.58〔天〕

-end-習(xí)題5設(shè)連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈Xt0具有轉(zhuǎn)移概率：ihoh 1hohpijh 0

ji1jiji1oh

ji2其中Xtt的成員總數(shù)，求柯爾莫哥洛夫方程，轉(zhuǎn)移概t。解：由定理5.3，有：lim1piitd

h

i，i0iii t

t dh

h0qlim

pijtdp

h

ji1，i0ij ij t0

t

h

0其它則由5.9式，柯爾莫哥洛夫向前方程為：p'tptq ptqij ik kj ij kj即：p'tptq ptq pt p

t，ji1ij ik kj ij jj jij j kj

i,j1p'tptii iii上述微分方程的解由初始條件：1ijpij00ijp'

t

tjt

ejt

si1ij得：

j0

i,j1

〔過程略〕p'

tetii i

-end-1，2，3t質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在tth內(nèi)它以概率1hoh分別轉(zhuǎn)移到其它兩點(diǎn)之一，試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯爾莫哥洛夫方程，轉(zhuǎn)移2概率pijt及平穩(wěn)分布。解：由定理5.3，有：qlim1piitdp

h

1，i1,2,3ii t

t dh

h0qijlim

pijtd

pijh

1jit0

t

h0 2Q12q12

1

12 q1Qq1

q22

1 123 2 2 12q q q 1 11231 32 33 2 則由5.11式，柯爾莫哥洛夫向前方程為：P'tPtQ1212p't p't p't pt pt pt121211 12 13 11 12 13 12即：p't p't p'tpt pt pt12 1 121221 22

21 22

p'

t

p't

p't

t

pt

pt1

1331 32 33 31 32 33 3而：pijt1i1,2,3j1所以：p't

t1

t

tij

2 i,j

i,j1pt11

t3

t1i,jI，其中I1,2,3ij 2

2 ij

23t 1則上述一階線性微分方程的解為：pijtce23由初始條件：1ipij00ij２

ij則：c ３１

ij ３1 23t e

ij

t3 1

3t

ij e23 3

tlimpt1，j1,2,3。j t ij 3

-end-Mt+h停止工作的概率為hohtt+h開始工作的概率為hohNtt車床數(shù)，求：齊次馬爾可夫過程N(yùn)t0的平穩(wěn)分布；假設(shè)M30〔1〕NtI,,,…M。ti臺車床工作，則在tth內(nèi)又有一臺車床開始工作，在不計(jì)高階無窮小時(shí)，它M-i臺車床中，在tthpi,i1hMihoh，i0,1,…M1pi,i1hihoh，i2,…Mijhohij2則Nt，t0為生滅過程，其中：iMih，i0,1,…M1i2,…M由5.14式知它的平穩(wěn)分布為： M M01

j

j

Mj j C j Cj M j C j C

M

，j1,2,…M 〔2〕假設(shè)M10，60，30，則：10 10

60j3010jCjPNtCjj6

1090 j6 1090

0.7809

-end-0t顧客流是泊松過程，單位時(shí)間到達(dá)效勞臺的平均人數(shù)為，效勞臺只有一個(gè)效勞員，對顧客的效勞時(shí)間是按指數(shù)分布的隨機(jī)變量，平均效勞時(shí)間為1。如果效勞臺空閑時(shí)到達(dá)的顧客Xtt時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)的顧客人〔包括正在被效勞的顧客和排隊(duì)等候的顧客I；又設(shè)在t0Q矩陣tjpjt所滿足的微分方程。解：由題意知Xt，t0是時(shí)間連續(xù)的馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I0,1,2,3。q00

q03 q10

Q q20

q21

q22

q23 30 31 32 33 習(xí)題6Xtcost0是在區(qū)間0上服從均勻分布Xt是否為平穩(wěn)過程。Xt是否只與時(shí)間的間隔有關(guān)，下面一一考查：EXtEost2ost100 RXt,tEXtXt 2stost1d0 12ostos4012osd1os1ost無關(guān)0 2XEXt2RX

01Xt為二階矩過程。2Xt是平穩(wěn)過程。-end-XtAcostA是均值為零，方差為2的正態(tài)隨機(jī)變量，求：4XX14 Xt是否為平穩(wěn)過程?！?〕XtAcostA~N0,2X1Acos

2A44 44 EXEAEA，DXDADA2 DX D A DA EX1E2A2EA 1 DX D A DA 4

2 2

4

2 2 2

1 x2 2Xfx 21

e2xR1 x2X1f

;x

e2xR44 〔2〕XtAstEXtcostEA0Rt,tEXtXtEAcostAcost2costAcostX RXt,ttXt不是平穩(wěn)過程。

-end-XtAcostAafa00

a2e2

a0a0均值為零，方差為2的正態(tài)隨機(jī)變量，是在0,2上服從均勻分布且與求A相互獨(dú)立的隨Xt是否為平穩(wěn)過程。解：由A服從瑞利分布，則：EA

xfxdx

xx

x2e22dxxe

x22

0

x2e22dx212

02x2 222dx 2

1 x22e22

02由于被積函數(shù)恰恰是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布2由于被積函數(shù)恰恰是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的概率密度，所以：

x2則：EA

N0,1

e22dx1EA2

2 2 x2fxdx

x2x

x2e22dxy

x222EA22yeydy20 所以：DAEA2E2A2224 2 2則：A~N

,42 2 2 下面一一驗(yàn)證平穩(wěn)過程的條件：1°由A與相互獨(dú)立，且cost是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，則A與cost也相互獨(dú)立。2 10EXtEAstEAEostEAost00 °RXt,tEXtXtEAstAst 1co