數(shù)學(xué)物理方法第3和4章課件

第三章冪級數(shù)展開3.2冪級數(shù)3.3泰勒級數(shù)展開3.4§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)3.5洛朗級數(shù)展開3.6孤立奇點(diǎn)的分類數(shù)學(xué)物理方法第3和4章稱級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)和前n

項(xiàng)和若有限收斂于F這時(shí)也收斂§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章科西收斂判據(jù)：(級數(shù)收斂必要條件)對于任意

>0,有N，使得n>N時(shí)p為任意正整數(shù)絕對收斂：收斂2、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)各項(xiàng)都是z

的函數(shù)對于B（或l

上）任意z,給定

>0,總有N(z)，使得n>N(z)時(shí)稱為級數(shù)在B上一致收斂此時(shí)，若每項(xiàng)連續(xù)，則和連續(xù)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章令：1、比值判別法3.2冪級數(shù)討論冪級數(shù)為以z0

為中心的冪級數(shù)考慮絕對收斂發(fā)散絕對收斂數(shù)學(xué)物理方法第3和4章2、根值判別法發(fā)散絕對收斂發(fā)散絕對收斂發(fā)散數(shù)學(xué)物理方法第3和4章3、收斂圓與收斂半徑的收斂半徑例：求冪級數(shù)以z0為圓心半徑為R的圓內(nèi)級數(shù)絕對收斂，這個(gè)圓稱為收斂圓。R為收斂半徑事實(shí)上：解：收斂圓：以0為圓心半徑為1如數(shù)學(xué)物理方法第3和4章的收斂半徑例：求冪級數(shù)公比為解：收斂圓：以0為圓心半徑為1如的收斂半徑例：求冪級數(shù)解：數(shù)學(xué)物理方法第3和4章定理：設(shè)f(z)在以z0為圓心的圓CR內(nèi)解析，則對圓內(nèi)的任意z點(diǎn)，f(z)可展開為其中：3.3泰勒級數(shù)展開CR1為圓CR內(nèi)包含z且與CR同心的圓CR1CR數(shù)學(xué)物理方法第3和4章證：cauch公式CRCR1數(shù)學(xué)物理方法第3和4章而由cauch公式數(shù)學(xué)物理方法第3和4章展開例：在z0=0鄰域上把公比為解：數(shù)學(xué)物理方法第3和4章展開例：在z0=0鄰域上把解：和數(shù)學(xué)物理方法第3和4章展開例：在z0=0鄰域上把解：展開例：在z0=0鄰域上把數(shù)學(xué)物理方法第3和4章展開例：在z0=1鄰域上把解：數(shù)學(xué)物理方法第3和4章數(shù)學(xué)物理方法第3和4章3.4解析沿拓比較兩個(gè)函數(shù)：除z=1以外設(shè)某個(gè)區(qū)域b上的解析函數(shù)f(z)，找出另一函數(shù)F(z),它在含有b

的一個(gè)較大的區(qū)域B上解析，且在區(qū)域b上等于f(z)和兩者在較小區(qū)域等同bB稱F(z)為

f(z)的解析沿拓1、解析沿拓概念數(shù)學(xué)物理方法第3和4章設(shè)f(z)，F(xiàn)(z)在某個(gè)區(qū)域B上解析，若在B的任一子區(qū)域b中f(z)

F(z)，則在整個(gè)區(qū)域B上必有f(z)

F(z)。2、解析沿拓唯一性概念數(shù)學(xué)物理方法第3和4章3.5洛朗級數(shù)展開考慮如下冪級數(shù)正冪部分收斂半徑為R1負(fù)冪部分，記

=1/(z-z0),級數(shù)的收斂圓半徑為1/R2=

即在

z-z0=

R2圓外收斂圓數(shù)學(xué)物理方法第3和4章在圓環(huán)R2<

z-z0<

R1內(nèi)絕對一致收斂圓定理：設(shè)f(z)在圓環(huán)R2<

z-z0<

R1內(nèi)單值解析，則對圓環(huán)內(nèi)的任意z點(diǎn)，f(z)可展開為其中：C為圓環(huán)內(nèi)按逆時(shí)針方向饒內(nèi)圓一周的任意閉合曲線數(shù)學(xué)物理方法第3和4章證：由復(fù)通區(qū)域cauch公式對于C‘R2而數(shù)學(xué)物理方法第3和4章數(shù)學(xué)物理方法第3和4章數(shù)學(xué)物理方法第3和4章數(shù)學(xué)物理方法第3和4章令k=-(l+1)

l=-(k+1)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章由復(fù)通區(qū)域cauch定理數(shù)學(xué)物理方法第3和4章上述洛朗級數(shù)展開唯一其中：或?qū)憺閿?shù)學(xué)物理方法第3和4章展開例：在z0=0鄰域上把解：數(shù)學(xué)物理方法第3和4章展開為洛朗級數(shù)例：在上把解：數(shù)學(xué)物理方法第3和4章展開為洛朗級數(shù)例：在上把解：只有一個(gè)奇點(diǎn)-1在z0=1的鄰域可展開為泰勒級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章數(shù)學(xué)物理方法第3和4章展開為洛朗級數(shù)例：在上把解：有兩個(gè)奇點(diǎn)z=1,z=2在z0=0的鄰域可在以下三個(gè)區(qū)域進(jìn)行洛朗級數(shù)展開（1）數(shù)學(xué)物理方法第3和4章（2）數(shù)學(xué)物理方法第3和4章（3）數(shù)學(xué)物理方法第3和4章展開為洛朗級數(shù)例：在上把解：上兩項(xiàng)乘積中，令l=m+n,有正冪部分zm為數(shù)學(xué)物理方法第3和4章與的負(fù)冪部分z-h(h>0),可令n=l+h數(shù)學(xué)物理方法第3和4章令-h=m,n=l數(shù)學(xué)物理方法第3和4章Jm為m階貝塞爾函數(shù)

數(shù)學(xué)物理方法第3和4章3.6孤立奇點(diǎn)的分類f(z)在某點(diǎn)z0

不可導(dǎo)，而在z0的任意小鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，稱z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)f(z)正冪部分稱為解析部分，負(fù)冪部分稱為主要部分(z-z0)-1的系數(shù)a-1稱為f(z)在

奇點(diǎn)z0的留數(shù)若稱z0為f(z)的可去奇點(diǎn)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章若稱z0為f(z)的本性奇點(diǎn)m為z0的階，一階極點(diǎn)簡稱為單極點(diǎn)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章第四章留數(shù)定理4.2利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分§4.1留數(shù)定理數(shù)學(xué)物理方法第3和4章§4.1留數(shù)定理若l所圍區(qū)域解析，則考慮積分若l所圍區(qū)域包圍一個(gè)奇點(diǎn)z0

，展開f(z)，則數(shù)學(xué)物理方法第3和4章由(l不包圍

)(l包圍

)a-1稱為f(z)在

奇點(diǎn)z0的留數(shù)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章若l所圍區(qū)域包圍n個(gè)奇點(diǎn)b1

b2

b3….，bn,則稱為留數(shù)定理如何求a-1？若z0為單極點(diǎn)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章若數(shù)學(xué)物理方法第3和4章若z0為f(z)的m階極點(diǎn)m階極點(diǎn)單極點(diǎn)留數(shù)定理數(shù)學(xué)物理方法第3和4章求Resf(0)例：解：數(shù)學(xué)物理方法第3和4章求Resf(1)例：解：數(shù)學(xué)物理方法第3和4章的極點(diǎn)，求留數(shù)例：確定函數(shù)解：數(shù)學(xué)物理方法第3和4章例：計(jì)算回路積分解：被積函數(shù)的奇點(diǎn)為單位圓

z=1內(nèi)的奇點(diǎn)為數(shù)學(xué)物理方法第3和4章數(shù)學(xué)物理方法第3和4章4.2利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分(1)、無窮積分若f(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)bk(k=1,2,…,n)外處處解析；在包括實(shí)軸在內(nèi)的上半平面中，當(dāng)

z

無窮時(shí)，zf(z)一致趨于零，則o-RRCR則至少高于兩階數(shù)學(xué)物理方法第3和4章證明：o-RRCR數(shù)學(xué)物理方法第3和4章例：計(jì)算積分解：上半平面奇點(diǎn)為z0=i數(shù)學(xué)物理方法第3和4章例：計(jì)算積分解：被積函數(shù)的奇點(diǎn)為上半平面為n階極點(diǎn)z0=in為整數(shù)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章數(shù)學(xué)物理方法第3和4章(2)、三角函數(shù)有理積分積分若R(cos,sin)為

cos,sin

的有理函數(shù)，且在[0，2]上連續(xù)，則其中表示f(z)在單位圓內(nèi)所有奇點(diǎn)的留數(shù)和數(shù)學(xué)物理方法第3和4章證明：數(shù)學(xué)物理方法第3和4章例：計(jì)算積分解：令有兩個(gè)一階極點(diǎn)(a<1)z1在圓內(nèi)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章例：計(jì)算積分解：令(a>1)有兩個(gè)一階極點(diǎn)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章為單極點(diǎn)，在圓內(nèi)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章例：計(jì)算積分解：令(a>1)有一個(gè)奇點(diǎn)z=0,為2n+1階極點(diǎn)數(shù)學(xué)物理方法第3和4章數(shù)學(xué)物理方法第3和4章數(shù)學(xué)物理方法第3和4章(3)、含三角函數(shù)的無窮積分其中F(z)為偶數(shù)，G(x)為奇數(shù)若f(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)bk(k=1,2,…,n)外處處解析；在包括實(shí)軸在內(nèi)的上半平面中，當(dāng)

z

無窮時(shí)，f(z)一致趨于零，且m>0則數(shù)學(xué)物理方法第3和4章證明：o-RRCR數(shù)學(xué)物理方法第3和4章o-RRCR