多邊形內(nèi)角和公開課

今年學(xué)校改建，準(zhǔn)備重新設(shè)計(jì)并建造一個(gè)花圃，小麗同學(xué)提出問題：能否建一個(gè)內(nèi)角和為2018度的多邊形花圃？你能幫助小麗解答這個(gè)問題嗎？人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上11.3.2多邊形的內(nèi)角和(1)你知道長方形和正方形的內(nèi)角和是多少？其它四邊形的內(nèi)角和是多少？你還記得三角形內(nèi)角和是多少度？（三角形內(nèi)角和

180°）（都是360°）讓我們從簡單的多邊形的內(nèi)角和開始探索！求證：四邊形的內(nèi)角和等于360度探究1已知：如圖，四邊形ABCD，求證：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.DACB探究新知：ABCD在探究四邊形的內(nèi)角和時(shí)，利用輔助線將四邊形分割成兩個(gè)三角形的方法，利用三角形內(nèi)角和等于180°，得到四邊形內(nèi)角和等于360°。能否啟發(fā)我們借助輔助線找到解決其他多邊形的方法？四邊形內(nèi)角和探究2

類比四邊形內(nèi)角和的證明方法，你能求出“五邊形、六邊形和七邊形、…n邊形的內(nèi)角和”嗎？

五邊形六邊形七邊形

…n邊形那么如何求此五邊形的內(nèi)角和呢?3×180°

=5400

說說你的

探索思路？

—從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)添兩條對(duì)角線，目的是把五邊形分割成三個(gè)三角形，再利用三角形的內(nèi)角和求得。ABCDE

三角形

四邊形

五邊形

1800

2×180°=

3600

3×180°

=5400

探索過程一掠:ACBABCD六邊形

七邊形4×180°

=7200

5×180°

=9000

那么六邊形、七邊形的內(nèi)角和呢？多邊形的邊數(shù)圖形從一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線的條數(shù)分成三角形的個(gè)數(shù)內(nèi)角和34567n……………01234n-31n-22345(n-2)·180°5

×180°4

×180°3

×180°2×180°1

×180°

根據(jù)以上的探究，我們就得出了n邊形的內(nèi)角和公式(n-2)·180°(n≥3的整數(shù))PABCD圖1如圖1，在四邊形內(nèi)任取一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個(gè)公共頂點(diǎn)的四個(gè)三角形，四邊形內(nèi)角和等于180°×4－360°=360°PABDC圖2如圖2，在四邊形的一邊上任取一點(diǎn)P,連接PB、PC，將四邊形變成有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三個(gè)三角形，四邊形內(nèi)角和等于180°×3－180°=360°PABCD圖3如圖3，在四邊形外任取一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個(gè)公共頂點(diǎn)的四個(gè)三角形，四邊形內(nèi)角和等于180°×3－180°=360°百家爭鳴其他方法其他方案我們也可以利用以上不同的方法分割多邊形，得到n邊形的內(nèi)角和公式ppp（1）八邊形的內(nèi)角和等于

度，十邊形的內(nèi)角和等于

度，十三邊形的內(nèi)角和等于

度.1、看誰算得快！108019801440（2）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1800度，求它是幾邊形？

（3）前面提到小麗同學(xué)的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？應(yīng)用新知：2、例題講解：（課本例1改編）解：∠B與∠D互補(bǔ)，證明如下：在四邊形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°

∵

∠A+∠C=180°

∴∠B+∠D=360°－(∠A+∠C)=180°

即∠B與∠D互補(bǔ).已知：在四邊形ABCD中，如果∠A+∠C=180o，問∠B與∠D有什么關(guān)系？你能說明理由嗎？ABCD已知：在四邊形ABCD中，如果∠A+∠C=180o，問∠B與∠D有什么關(guān)系？你能說明理由嗎？變式1：已知：在四邊形ABCD中，如果∠A+∠B=180o，問∠C與∠D有什么關(guān)系？你能說明理由嗎？ABCD3、變式訓(xùn)練已知：在四邊形ABCD中，如果∠A+∠C=180o，問∠B與∠D有什么關(guān)系？你能說明理由嗎？答：∠B與∠D互補(bǔ)變式1：已知：在四邊形ABCD中，如果∠A+∠B=180o，問∠C與∠D有什么關(guān)系？你能說明理由嗎？答：∠C與∠D互補(bǔ)3、變式訓(xùn)練結(jié)論：如果四邊形中任意兩個(gè)角互補(bǔ)，那么其余兩個(gè)角也互補(bǔ).當(dāng)前內(nèi)容類比聯(lián)系四邊形內(nèi)角和一般化特殊化公式(n-2)·180°(n≥3的整數(shù))五、六、七邊形內(nèi)角和將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形多邊形內(nèi)角和小結(jié)反思：1.必做題：課本P24-25第2、5、6、8題2.選作題：類比四邊形內(nèi)角和的證明方法，嘗試用其它方法證明多邊形的內(nèi)角和公式.作業(yè)布置：已知：在四邊形ABCD中，如果∠A+∠C=180o，問∠B與∠D有什么關(guān)系？你能說明理由嗎？

變式2：（1）已知：在四邊形ABCD中，如果∠A=∠C，

問∠B與∠D有什么關(guān)系？你能說明理由嗎？ABCD3、變式訓(xùn)練

變式2：（1）已知：在四邊形ABCD中，如果∠A=∠C，問∠B與∠D有什么關(guān)系？你能說明理由嗎？（2）已知：在四邊形ABCD中，如果∠A=∠C，AB∥CD，求證：∠B=∠D.DACB3、變式訓(xùn)練變式3：

已知：在四邊形ABCD中，如果∠A=∠C，

∠B=∠D，請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系.那么AD與BC的位置關(guān)系又如何？變式2：

已知：在四邊形ABCD中，如果∠A=∠C，

AB∥CD，求證：∠B=∠D.DACB√√3、變式訓(xùn)練課后思考1、小明在計(jì)算某個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心他漏掉一個(gè)內(nèi)角，求得的內(nèi)角和1680°

，你能否求得正確結(jié)果呢