奧數(shù)知識(shí)體系框架

2、年齡問題的三個(gè)根本特征：①兩個(gè)人的年齡差是不變的；②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3、歸一問題根本特點(diǎn)：問題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量〞，題目一般用“照這樣的速度〞……等詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；5、雞兔同籠問題根本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那局部置換出來；根本思路：①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在〔甲和乙一樣或者乙和甲一樣〕：②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。根本公式：①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝〔兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)〕÷〔兔腳數(shù)－雞腳數(shù)〕②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)＝〔總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)〕÷〔兔腳數(shù)一雞腳數(shù)〕關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6、盈虧問題根本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭浚舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比擬，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量．基此題型：①一次有余數(shù)，另一次缺乏；根本公式：總份數(shù)＝〔余數(shù)＋缺乏數(shù)〕÷兩次每份數(shù)的差②當(dāng)兩次都有余數(shù)；根本公式：總份數(shù)＝〔較大余數(shù)一較小余數(shù)〕÷兩次每份數(shù)的差③當(dāng)兩次都缺乏；根本公式：總份數(shù)＝〔較大缺乏數(shù)一較小缺乏數(shù)〕÷兩次每份數(shù)的差根本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。第二局部〔知識(shí)點(diǎn)7-11〕7、牛吃草問題根本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1〞份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。根本特點(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量。根本公式：生長量=〔較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)〕÷〔長時(shí)間-短時(shí)間〕；總草量=較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)-較長時(shí)間×生長量；8、周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，那么年份必須能被400整除；平年：一年有365天。①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；9、平均數(shù)根本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)＋每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)根本算法：①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用根本公式①進(jìn)行計(jì)算.②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比擬接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見根本公式②。10、抽屜原理抽屜原那么一：如果把〔n+1〕個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。抽屜原那么二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有:①k=[n/m]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。②k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原那么進(jìn)行運(yùn)算。11、定義新運(yùn)算根本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種根本〔混合〕運(yùn)算。根本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)那么，把的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照根本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義?？记绊氈孩傩碌倪\(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在此題中使用。第三局部〔知識(shí)點(diǎn)12-16〕12、數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。根本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示；項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示．根本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1,an,d,n,Sn,,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。根本公式：通項(xiàng)公式：an=a1+〔n－1〕d；通項(xiàng)＝首項(xiàng)＋〔項(xiàng)數(shù)一1)×公差；數(shù)列和公式：Sn=(a1+an)×n÷2；數(shù)列和＝〔首項(xiàng)＋末項(xiàng)〕×項(xiàng)數(shù)÷2；項(xiàng)數(shù)公式：n=(an+a1)÷d＋1；項(xiàng)數(shù)=〔末項(xiàng)-首項(xiàng)〕÷公差＋1；公差公式：d=〔an－a1〕〕÷〔n－1〕；公差=〔末項(xiàng)－首項(xiàng)〕÷〔項(xiàng)數(shù)－1〕；關(guān)鍵問題：確定量和未知量，確定使用的公式；13、二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用0～9十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=１；N１=N〔其中N是任意自然數(shù)〕二進(jìn)制：用0～1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。〔2〕=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2-7+……+A3×22+A2×21+A1×20注意：An不是0就是1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。14、加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+m2.......+mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法。根本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2.......×mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。根本特征：每一步只能完成任務(wù)的一局部。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長度。①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)＝1+2+3+…+〔點(diǎn)數(shù)一1〕；②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+〔射線數(shù)一1〕；③數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：④數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)15、質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1<a2<a3<……<an。求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16、約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：假設(shè)整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：〔1〕幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)?！?〕幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)?！?〕幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)?！?〕幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作〔12，18〕=6；求最大公約數(shù)根本方法：〔1〕分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來?！?〕短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。〔3〕輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48……；18的倍數(shù)有：18、36、54、72……；那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……；那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作[12，18]=36；最小公倍數(shù)的性質(zhì)：〔1〕兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。〔2〕兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)根本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法第四局部〔知識(shí)點(diǎn)17-21〕17、數(shù)的整除一、根本概念和符號(hào)：1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|〞，不能整除符號(hào)“〞；因?yàn)榉?hào)“∵〞，所以的符號(hào)“∴〞；二、整除判斷方法：1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5.能被7整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6.能被11整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7.能被13整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。三、整除的性質(zhì)：1.如果a、b能被c整除，那么〔a+b〕與〔a-b〕也能被c整除。2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。18、余數(shù)及其應(yīng)用根本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：①余數(shù)小于除數(shù)。②假設(shè)a、b除以c的余數(shù)相同，那么c|a-b或c|b-a。③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19、余數(shù)、同余與周期一、同余的定義：①假設(shè)兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，那么稱a、b對(duì)于模m同余。②三個(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對(duì)于模m同余，記作a≡b(modm)，讀作a同余于b模m。二、同余的性質(zhì)：①自身性：a≡a(modm)；②對(duì)稱性：假設(shè)a≡b(modm)，那么b≡a(modm)；③傳遞性：假設(shè)a≡b(modm)，b≡c(modm)，那么a≡c(modm)；④和差性：假設(shè)a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；⑤相乘性：假設(shè)a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么a×c≡b×d(modm)；⑥乘方性：假設(shè)a≡b(modm)，那么an≡bn(modm)；⑦同倍性:假設(shè)a≡b(modm)，整數(shù)c，那么a×c≡b×c(modm×c)；三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：①假設(shè)A=a×b，那么MA=Ma×b=〔Ma〕b②假設(shè)B=c+d那么MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：①一個(gè)自然數(shù)M，n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，那么M≡n(mod9)或〔mod3〕；②一個(gè)自然數(shù)M，X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，那么M≡Y-X或M≡11-〔X-Y〕(mod11)；五、費(fèi)爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)〔素?cái)?shù)〕，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，那么ap-1≡1(modp)。20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用根本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“1〞平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)〔0除外〕，分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1〞平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向〔或結(jié)果〕進(jìn)行思考。②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)〔在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量〕下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不管其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21、分?jǐn)?shù)大小的比擬根本方法：①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比擬。②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比擬。③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比擬。④分子和分母大小比擬法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。⑤倍率比擬法：當(dāng)比擬兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比擬分?jǐn)?shù)的大小。〔具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律〕⑥轉(zhuǎn)化比擬方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)〔求出分?jǐn)?shù)的值〕后進(jìn)行比擬。⑦倍數(shù)比擬法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比擬。⑧大小比擬法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比擬。⑨倒數(shù)比擬法：利用倒數(shù)比擬大小，然后確定原數(shù)的大小。⑩基準(zhǔn)數(shù)比擬法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比擬。23、完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：〔1〕末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立?！?〕除以3余0或余1；反之不成立。〔3〕除以4余0或余1；反之不成立?！?〕約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。〔5〕奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立?！?〕奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。〔7〕兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式：X2-Y2=〔X-Y〕〔X+Y〕完全平方和公式：〔X+Y〕2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：〔X-Y〕2=X2-2XY+Y224、比和比例比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)〔零除外〕，比值不變。比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘)，ad=bc。正比例：假設(shè)A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍〔AB的商不變時(shí)〕，那么A與B成正比。反比例：假設(shè)A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍〔AB的積不變時(shí)〕，那么A與B成反比。比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25、綜合行程根本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.根本公式：路程=速度×?xí)r間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。相遇問題：速度和×相遇時(shí)間=相遇路程〔請(qǐng)寫出其他公式〕追及問題：追及時(shí)間＝路程差÷速度差〔寫出其他公式〕流水問題：順?biāo)谐?〔船速+水速〕×順?biāo)畷r(shí)間逆水行程=〔船速-水速〕×逆水時(shí)間順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=〔順?biāo)俣?逆水速度〕÷2水速=〔順?biāo)俣?逆水速度〕÷2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基此題型：路程〔相遇路程、追及路程〕、時(shí)間〔相遇時(shí)間、追及時(shí)間〕、速度〔速度和、速度差〕中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。26、工程問題根本公式：①工作總量=工作效率×工作時(shí)間②工作效率=工作總量÷工作時(shí)間③工作時(shí)間=工作總量÷工作效率根本思路：①假設(shè)工作總量為“1〞〔和總工作量無關(guān)〕；②假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量〔一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)〕，利用上述三個(gè)根本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時(shí)間.關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)簡評(píng)：合久必分，分久必合。27、邏輯推理根本方法簡介：①條件分析-假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。②條件分析-列表法：當(dāng)題設(shè)條件比擬多，需要屢次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。③條件分析--圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線那么表示“是，有〞等肯定的狀態(tài)，沒有連線那么表示否認(rèn)的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒有表示不認(rèn)識(shí)。④邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。⑤簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。28、幾何面積根本思路：在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)那么的圖形變?yōu)橐?guī)那么的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：〔1〕連輔助線方法〔2〕利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等?！?〕大膽假設(shè)〔有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上〕?！?〕利用特殊規(guī)律①等腰直角三角形，任意一條邊都可求出面積。〔斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積〕②梯形對(duì)角線連線后，兩腰局部面積相等。③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。29、立體圖形第六局部〔知識(shí)點(diǎn)30-36〕30、時(shí)鐘問題-快慢表問題根本思路：〔1〕按照行程問題中的思維方法解題；〔2〕不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體；〔3〕路程的單位是分格〔表一周為60分格〕；〔4〕時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間；合理利用行程問題中的比例關(guān)系；31、時(shí)鐘問題-鐘面追及根本思路：封閉曲線上的追及問題。關(guān)鍵問題：①確定分針與時(shí)針的初始位置；②確定分針與時(shí)針的路程差；根本方法：①分格方法：時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時(shí)走60分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走1／12分格。②度數(shù)方法：從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/(12*60)度，即1/2度。32、濃度與配比經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)〔例如糖、鹽、酒精等〕叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)〔例如水、汽油等〕叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體〔例如鹽水、糖水等〕叫溶液。根本公式：溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量；溶質(zhì)重量=溶液重量×濃度；濃度=溶質(zhì)/溶液×100%=溶質(zhì)/〔溶劑+溶質(zhì)〕×100%理論局部小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。33、經(jīng)濟(jì)問題利潤的百分?jǐn)?shù)=〔賣價(jià)-本錢〕÷本錢×100%；賣價(jià)=本錢×〔1+利潤的百分?jǐn)?shù)〕；本錢=賣價(jià)÷〔1+利潤的百分?jǐn)?shù)〕；商品的定價(jià)按照期望的利潤來確定；定價(jià)=本錢×〔1+期望利潤的百分?jǐn)?shù)〕；本金：儲(chǔ)蓄的金額；利率：利息和本金的比；利息=本金×利率×期數(shù)；含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格×〔1+增值稅稅率〕；34、簡單方程代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)〔加減乘除〕連接起來的字母或者數(shù)字。方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。列方程：把兩個(gè)或