2020年湖北省武漢市武昌區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試題（解析版）

2020年湖北省武漢市武昌區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試題一．選擇題（每題3分，滿分30分）1.的絕對值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)絕對值的定義可直接得出.【詳解】解：的絕對值是，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值，熟練掌握絕對值的定義是解題關(guān)鍵.2.若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是()A.x＞﹣1且x≠1 B.x≥﹣1 C.x≠1 D.x≥﹣1且x≠1【答案】D【解析】【分析】此題需要注意分式的分母不等于零，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【詳解】依題意，得x+1≥0且x-1≠0，解得x≥-1且x≠1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件．函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)．3.下列事件中，屬于必然事件的是（）A.三角形外心到三邊的距離相等B.某射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心C.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°D.拋一枚硬幣，落地后正面朝上【答案】C【解析】分析：必然事件就是一定發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可作出判斷．詳解：A、三角形的外心到三角形的三個頂點(diǎn)的距離相等，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，是不可能事件，故本選項(xiàng)不符合題意；B、某射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意；C、三角形的內(nèi)角和是180°，是必然事件，故本選項(xiàng)符合題意；D、拋一枚硬幣，落地后正面朝上，是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意；故選C．點(diǎn)睛：解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．4.下列圖案中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義求解.【詳解】解：A、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，不符合題意；B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，符合題意；D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；如果一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做對稱中心.5.下列四個立體圖形中，左視圖為矩形的是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.③④【答案】B【解析】試題分析：長方體左視圖為矩形；球左視圖為圓；圓錐左視圖為三角形；圓柱左視圖為矩形；因此左視圖為矩形的有①④．故選B．考點(diǎn)：簡單幾何體的三視圖．6.小明乘車從甲地到乙地，行車的速度v（km/h）和行車時間t（h）之間的函數(shù)圖象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)時間t、速度v和路程s之間的關(guān)系，在路程不變的條件下，得v=，則v是t的反比例函數(shù)，且t＞0．【詳解】解：∵v=（t＞0），

∴v是t的反比例函數(shù)，

故選B．【點(diǎn)睛】本題是一道反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，注：在路程不變的條件下，v是t的反比例函數(shù)．7.已知點(diǎn)（－2，y1），（－1，y2），（1，y3）都在反比例函數(shù)y=的圖象上，那么y1，y2與y3的大小關(guān)系是A.y3＜y1＜y2 B.y3＜y2＜y1 C.y1＜y2＜y3 D.y1＜y3＜y2【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中k＜0判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)，，∴函數(shù)圖象兩個分式分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∵-2＜0，-1＜0，

∴點(diǎn)（-2，y1），（-1，y2）位于第二象限，

∴y1＞0，y2＞0，

∵-2＜-1，

∴0＜y1＜y2．

∵1＞0，

∴（1，y3）在第四象限，

∴y3＜0，

∴．

故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．8.如圖，兩個轉(zhuǎn)盤中指針落在每個數(shù)字的機(jī)會均等．現(xiàn)在同時自由轉(zhuǎn)動甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針各自指向一個數(shù)字，用甲所指的數(shù)字作為橫坐標(biāo)x，乙所指的數(shù)字作為縱坐標(biāo)y，則點(diǎn)（x，y）在反比例函數(shù)y＝圖象上的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先用列表法或畫樹狀圖法分析所有可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率．【詳解】解：樹狀圖如圖所示．由樹狀圖知，則點(diǎn)（2，3）和（3，2）在反比例函數(shù)y＝圖象上，所以點(diǎn)（x，y）在反比例函數(shù)y＝圖象上的概率為＝，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．也考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)．9.如圖，已知一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y＝圖象交于M、N兩點(diǎn)，則不等式ax+b＞解集為()A.x＞2或﹣1＜x＜0 B.﹣1＜x＜0C.﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D.x＞2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：由圖可知，x＞2或﹣1＜x＜0時，ax+b＞．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．10.對于每個非零自然數(shù)n，拋物線y＝x﹣x+與x軸交于An，Bn兩點(diǎn)，以AnBn表示這兩點(diǎn)間的距離，則A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過解方程=0得x1=，x2=，則An，Bn兩點(diǎn)為（，0），（，0），所以AnBn=-，則A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019=1-+-+-+…+-，然后進(jìn)行分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算即可．【詳解】解：當(dāng)y＝0時，＝0，(x﹣)(x﹣)＝0，解得x1＝，x2＝，∴An，Bn兩點(diǎn)為（，0），（，0），∴AnBn＝﹣，∴A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019＝1﹣+-+-+…+-＝1﹣＝．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．二．填空題（滿分18分，每小題3分）11.算術(shù)平方根等于本身的實(shí)數(shù)是__________.【答案】0或1【解析】根據(jù)負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個，1和0的算術(shù)平方根等于本身，即可得出答案．解：1和0的算術(shù)平方根等于本身.故答案為1和0“點(diǎn)睛”本題考查了算術(shù)平方根的知識，注意掌握1和0的算術(shù)平方根等于本身．12.某次數(shù)學(xué)測試，某班一個學(xué)習(xí)小組的六位同學(xué)的成績?nèi)缦拢?4、75、75、92、86、99，則這六位同學(xué)成績的中位數(shù)是_____．【答案】85【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)求法,將學(xué)生成績從小到大排列,取中間兩數(shù)的平均數(shù)即可解題.【詳解】解：將六位同學(xué)的成績按從小到大進(jìn)行排列為：75,75,84,86,92,99,中位數(shù)為中間兩數(shù)84和86的平均數(shù),∴這六位同學(xué)成績的中位數(shù)是85.【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)的求法,屬于簡單題,熟悉中位數(shù)的概念是解題關(guān)鍵.13.計(jì)算：___________.【答案】1【解析】【分析】利用同分母分式的加減法則計(jì)算即可．【詳解】解：=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減法，熟練掌握同分母分式的加減法則是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心位似圖形，且點(diǎn)B(3，1)，B′(6，2)，若點(diǎn)A′(5，6)，則A的坐標(biāo)為______.【答案】(2.5，3)【解析】【分析】利用點(diǎn)B(3，1)，B′(6，2)即可得出位似比進(jìn)而得出A的坐標(biāo).【詳解】解：∵點(diǎn)B(3，1)，B′(6，2)，點(diǎn)A′(5，6)，∴A的坐標(biāo)為：(2.5，3).故答案為(2.5，3).【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心．15.四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝60°，點(diǎn)E在AB上，∠AED＝∠CEB，AD＝5，DE+CE＝，則BD的長為_____．【答案】7【解析】【分析】連接AC，延長DE至F，使EF=CE，作正三角形ADG，使B、G分別在AD兩側(cè)，連接AF、BF、BG，證明△BEF≌△BEC(SAS)，可證得△ABF是等邊三角形，得出AF=AB，∠BAF=60°，證明△DAF≌△GAB(SAS)，得出BG=DF=DE+EF=DE+CE=，證明△ABC是等邊三角形，得出AC=BC=DC，∠ACB=60°，得出點(diǎn)C是△ABD的外心，由圓周角定理得出∠ADB=∠ACB=30°，證出∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°，由勾股定理即可得出答案．【詳解】連接AC，延長DE至F，使EF=CE，作正三角形ADG，使B、G分別在AD兩側(cè)，連接AF、BF、BG，如圖所示：∵∠AED=∠CEB，∠BEF=∠AED，∴∠BEF=∠AED=∠CEB，△BEF和△BEC中，，∴△BEF≌△BEC(SAS)，∴∠ABF=∠ABC=60°，BF=BC=AB，∴△ABF是等邊三角形，∴AF=AB，∠BAF=60°，∵△ADG是等邊三角形，∴∠ADG=∠DAG=60°=∠BAF，AG=AD=5，∴∠DAF=∠DAB+∠BAF=∠DAB+∠DAG=∠GAB，在△DAF和△GAB中，，∴△DAF≌△GAB(SAS)，∴BG=DF=DE+EF=DE+CE=，∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=DC，∠ACB=60°，∴點(diǎn)C是△ABD的外心，∴∠ADB=∠ACB=30°，∴∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°，∴BD=；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識、三角形外心的性質(zhì)、圓周角定理等；熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．16.已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∠C＝105°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，以CE為弦作圓，設(shè)該圓與四邊形ABCD的一邊的交點(diǎn)為P，若∠CPE＝30°，則EP的長為_____．【答案】或4或2或2【解析】【分析】如圖，連接AC，AE，根據(jù)已知條件得到△ABC是等邊三角形，求得BE=CE=2，AE⊥BC，∠EAC=30°，推出AC是以CE為弦的圓的直徑，設(shè)圓心為O，當(dāng)⊙O與CD邊交于，則，過C作于H，解直角三角形得到；當(dāng)⊙O與AD交于，A()，由AD∥CE，推出四邊形是矩形，得到，P3E=CE=2，當(dāng)⊙O與AB交于，得到是等邊三角形，求得，于是得到結(jié)論．【詳解】如圖，連接AC，AE，∵AB=BC=4，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE=CE=2，AE⊥BC，∠EAC=30°，∴AC是以CE為弦的圓的直徑，設(shè)圓心為O，當(dāng)⊙O與CD邊交于P1，則∠EP1C=∠EAC=30°，∵∠ECP1=105°，∴∠P1EC=45°，過C作CH⊥P1E于H，∴EH=CH=CE=，∴P1H=HC=，∴；當(dāng)⊙O與AD交于P2、A(P3)，∵AD∥CE，∴∠ECP2=∠AP2C=90°，∴四邊形AECP2是矩形，∴P2E=AC=4，P3E=CE=2，當(dāng)⊙O與AB交于P4，∵∠AP4C=90°，∠EP4C=30°，∴∠BP4E=60°，∴△BP4E是等邊三角形，∴P4E=BE=2，綜上所述，若∠CPE=30°，則EP的長為或4或2或2，故答案為：或4或2或2．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．三．解答題17.計(jì)算：（﹣a2）3+a2?a3+a8÷（﹣a2）【答案】﹣2a6+a5【解析】【分析】先算積的乘方，再計(jì)算同底數(shù)冪的乘除法，最后合并同類項(xiàng)即可．【詳解】==．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，涉及了積的乘方，同底數(shù)冪的乘法、除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18.如圖，要在長方形鋼板ABCD的邊AB上找一點(diǎn)E，使∠AEC＝150°，應(yīng)怎樣確定點(diǎn)E的位置？為什么？【答案】以CD為始邊，在長方形的內(nèi)部，利用量角器作∠DCF＝30°，射線CF與AB交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所找的點(diǎn)，理由見解析【解析】【分析】利用量角器作∠DCF=30°，射線CF與AB交于點(diǎn)E，則∠DCF=∠DCE=30°，由平行線的性質(zhì)得出∠DCE+∠AEC=180°，則∠AEC=150°．【詳解】以CD為始邊，在長方形的內(nèi)部，利用量角器作∠DCF=30°，射線CF與AB交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所找的點(diǎn)；理由如下：如圖所示：∵四邊形ABCD是長方形，∴AB∥CD，∴∠DCE+∠AEC=180°，∵∠DCE=∠DCF=30°，∴∠AEC=180°﹣∠DCE=180°﹣30°=150°．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．19.某中學(xué)為了了解“校園文明監(jiān)督崗”的值圍情況，對全校各班級進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過程如下：收集數(shù)據(jù)：從三個年級中隨機(jī)抽取了20個班級，學(xué)校對各班的評分如下：92

71

89

82

69

82

96

83

77

8380

82

66

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70

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59整理、描述數(shù)據(jù)：按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù)：分?jǐn)?shù)段班級數(shù)12a8b說明：成績90分及以上為優(yōu)秀，分為良好，分為合格，60分以下為不合格分析數(shù)據(jù)：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差如下表，繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)極差79c82d請根據(jù)以上信息解答下列問題：填空：______，______，______，______．若我校共120個班級，估計(jì)得分為優(yōu)秀的班級有多少個？為調(diào)動班級積極性，決定制定一個獎勵標(biāo)準(zhǔn)分，凡到達(dá)或超過這個標(biāo)準(zhǔn)分的班級都將受到獎勵如果要使得半數(shù)左右的班級都能獲獎，獎勵標(biāo)準(zhǔn)分應(yīng)定為多少分？并簡述其理由【答案】（1）6，3，37，81；（2）18個；（3）獎勵標(biāo)準(zhǔn)分應(yīng)定為81分..理由因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為81，見解析.【解析】【分析】根據(jù)學(xué)校對20個班的評分即可求出a、b，d，n的值；理由樣本估計(jì)總體的思想解決問題即可；根據(jù)中位數(shù)的定義即可判斷．【詳解】由題意：，，，，故答案為6，3，37，81；個，估計(jì)得分為優(yōu)秀的班級有18個；要使得半數(shù)左右的班級都能獲獎，獎勵標(biāo)準(zhǔn)分應(yīng)定為81分，理由：因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為81．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)，中位數(shù)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.20.如圖，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，其中端點(diǎn)、均在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖中畫出平行四邊形，點(diǎn)和點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上，且平行四邊形的面積為12；（2）在圖中畫出以為腰的等腰直角，且點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上；（3）連接，直接寫出的正切值．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的面積=底×高=12，即可確定點(diǎn)C，D的位置，問題得解；（2）根據(jù)等腰直角三角形的定義畫出圖形即可；（3）設(shè)AE與CD交于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFD=∠BAF=90°，根據(jù)勾股定理得到AE=，求得DF=，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖所示：四邊形ABCD為所求；（2）△ABE即為所求；（3）設(shè)AE與CD交于F，∵AB∥CD，∠BAF=90°，∴∠AFD=∠BAF=90°，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∴的正切值為：.【點(diǎn)睛】本題考查作圖——應(yīng)用與設(shè)計(jì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會由數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．21.如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)是弦AD的中點(diǎn)，連結(jié)OF并延長OF交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)BE交AD于點(diǎn)G，延長AD至點(diǎn)C，使得GC＝BC，連結(jié)BC．（1）求證：BC是⊙O的切線．（2）⊙O的半徑為10，sinA＝，求EG的長．【答案】（1）見解析；（2）2【解析】【分析】(1)連結(jié)OD，求出∠ABE+∠GBC=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；

(2)解直角三角形求出AF、OF，證明，求出BC和AC，進(jìn)而求出EF、FG，根據(jù)勾股定理可得EG的長．【詳解】(1)證明：連結(jié)OD，∵OA=OD，F(xiàn)是弦AD的中點(diǎn)，∴OF⊥AD，∴∠EFG=90°，∴∠E+∠FGE=90°，∵BC=GC，∴∠BGC=∠GBC，∵∠FGE=∠BGC，∴∠GBC=∠FGE，∵OE=OB，∴∠ABE=∠E，∴∠ABE+∠GBC=90°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切線；(2)∵sinA=，OA=10，∴OF=OA·sinA=6，∴，∵∠OAF=∠CAB，∠OFA=∠CBA=90°，∴，∴，即，∴BC=GC=15，∴AC==25，∴AG=AC-GC=10，EF=OE-OF=10-6=4，∴FG=2，在中，∠EFG=90°，F(xiàn)G=2，EF=4，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解直角三角形，切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．22.某公司生產(chǎn)的一種商品其售價是成本的1.5倍，當(dāng)售價降低5元時商品的利潤率為25%．若不進(jìn)行任何推廣年銷售量為1萬件．為了獲得更好的利益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做推廣，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的推廣費(fèi)x萬元時銷售量y（萬件）是x的二次函數(shù)：當(dāng)x為1萬元時，y是1.5（萬件）．當(dāng)x為2萬元時，y是1.8（萬件）．（1）求該商品每件的的成本與售價分別是多少元？（2）求出年利潤與年推廣費(fèi)x的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果投入的年推廣告費(fèi)為1萬到3萬元（包括1萬和3萬元），問推廣費(fèi)在什么范同內(nèi)，公司獲得的年利潤隨推廣費(fèi)的增大而增大？【答案】（1）該商品每件的的成本與售價分別是20元、30元；（2）；（3）推廣費(fèi)在1萬元到2．5萬元（包括1萬元和2．5萬元）時，公司獲得的年利潤隨推廣費(fèi)的增大而增大．【解析】【分析】（1）根據(jù)售價?成本價＝利潤，成本價乘以利潤率＝利潤，列方程即可求解；（2）根據(jù)每年投入的推廣費(fèi)x萬元時銷售量y（萬件）是x的二次函數(shù)，代入所給數(shù)據(jù)即可求解；（3）根據(jù)年利潤＝單件利潤乘以銷售量再減去推廣費(fèi)即可列出二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可確定推廣費(fèi)的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)該商品每件的的成本為a元，則售價為元1.5a元，根據(jù)題意，得1.5a﹣5﹣a＝25%a，解得a＝20，則1.5a＝30，答：該商品每件的的成本與售價分別是20元、30元．（2）根據(jù)題意每年投入的推廣費(fèi)x萬元時銷售量y（萬件）是x的二次函數(shù)，設(shè)y＝ax2+bx+c∵不進(jìn)行任何推廣年銷售量為1萬件，即當(dāng)x＝0時，y＝1（萬件），當(dāng)x為1萬元時，y是1.5（萬件）．當(dāng)x為2萬元時，y是1.8（萬件）．∴解得所以銷售量y與推廣費(fèi)x的函數(shù)解析式為．所以設(shè)公司獲得的年利潤為w萬元，答：年利潤與年推廣費(fèi)x的函數(shù)關(guān)系式為w＝10y＝﹣x2+6x+10．（3）公司獲得的年利潤為w萬元，根據(jù)題意，得w＝10y﹣x＝10（﹣x2+x+1）﹣x＝﹣x2+5x+10＝﹣（x﹣）2+∵1≤x≤3，∴當(dāng)1≤x≤2.5時，w隨x的增大而增大，答：推廣費(fèi)在1萬元到2.5萬元（包括1萬元和2.5萬元）時，公司獲得的年利潤隨推廣費(fèi)的增大而增大．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握銷售問題的等量關(guān)系．23.定義：連結(jié)菱形的一邊中點(diǎn)與對邊的兩端點(diǎn)的線段把它分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，那么稱這樣的菱形為自相似菱形．(1)判斷下列命題是真命題，還是假命題？①正方形是自相似菱形；②有一個內(nèi)角為60°的菱形是自相似菱形．③如圖1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E為BC中點(diǎn)，則在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE與△AED．(2)如圖2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是銳角，邊長為4，E為BC中點(diǎn)．①求AE，DE的長；②AC，BD交于點(diǎn)O，求tan∠DBC的值．【答案】(1)見解析；(2)①AE=2，DE=4；②tan∠DBC=．【解析】【分析】（1）①證明△ABE≌△DCE（SAS），得出△ABE∽△DCE即可；②連接AC，由自相似菱形的定義即可得出結(jié)論；③由自相似菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）①由（1）③得△ABE∽△DEA，得出，求出AE＝2，DE＝4即可；②過E作EM⊥AD于M，過D作DN⊥BC于N，則四邊形DMEN是矩形，得出DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，設(shè)AM＝x，則EN＝DM＝x+4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM＝1，EN＝DM＝5，由勾股定理得出DN＝EM＝＝，求出BN＝7，再由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命題；理由如下：如圖3所示：∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE=90°，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴△ABE∽△DCE，∴正方形自相似菱形，故答案為：真命題；②有一個內(nèi)角為60°的菱形是自相似菱形，是假命題；理由如下：如圖4所示：連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∠DCE=120°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴∠AEB=∠DAE=90°，∴只能△AEB與△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B=∠AED，若∠AED=∠B=60°，則∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠CED=∠CDE，∴CD=CE，不成立，∴有一個內(nèi)角為60°的菱形不是自相似菱形，故答案為：假命題；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E為BC中點(diǎn)，則在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE與△AED，是真命題；理由如下：∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C=180°，△ABE與△EDC不能相似，同理△AED與△EDC也不能相似，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE，當(dāng)∠AED=∠B時，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E為BC中點(diǎn)，則在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE與△AED，故答案為：真命題；(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是銳角，邊長為4，E為BC中點(diǎn)，∴BE=2，AB=AD=4，由(1)③得：△ABE∽△DEA，∴∴AE2=BE?AD=2×4=8，∴AE=2，DE===4，故答案為：AE=2；DE=4；②過E作EM⊥AD于M，過D作DN⊥BC于N，如圖2所示：則四邊形DMEN是矩形，∴DN=EM，DM=EN，∠M=∠N=90°，設(shè)AM=x，則EN=DM=x+4，由勾股定理得：EM2=DE2﹣DM2=AE2﹣AM2，即(4)2﹣(x+4)2=(2)2﹣x2，解得：x=1