函數(shù)的單調(diào)性2023年

課題導(dǎo)入

函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，了解函數(shù)的變化規(guī)律勢(shì)在必得。觀察下面函數(shù)的圖象，能說(shuō)出它們的變化規(guī)律嗎？xy02-22-2xy022-2-21.3函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1函數(shù)的單調(diào)性xyy=xO11··實(shí)例分析：畫(huà)出函數(shù)y=x的圖象觀察函數(shù)圖象,并指出函數(shù)的變化趨勢(shì)?xyy=xO11··實(shí)例分析：畫(huà)出函數(shù)y=x的圖象觀察函數(shù)圖象,并指出函數(shù)的變化趨勢(shì)?f(x1)x1xyy=xO11··實(shí)例分析：畫(huà)出函數(shù)y=x的圖象觀察函數(shù)圖象,并指出函數(shù)的變化趨勢(shì)?x1f(x1)xyy=xO11··實(shí)例分析：畫(huà)出函數(shù)y=x的圖象觀察函數(shù)圖象,并指出函數(shù)的變化趨勢(shì)?x1f(x1)xyy=xO11··實(shí)例1：畫(huà)出函數(shù)y=x的圖象觀察函數(shù)圖象,并指出函數(shù)的變化趨勢(shì)?x1f(x1)xyy=xO11··實(shí)例分析：畫(huà)出函數(shù)y=x的圖象觀察函數(shù)圖象,并指出函數(shù)的變化趨勢(shì)?x1f(x1)1.從左至右圖象上升還是下降____? 2.在區(qū)間________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著______．(-∞,+∞)增大上升Oxy實(shí)例2：分析二次函數(shù)的圖象Oxy實(shí)例2：分析二次函數(shù)的圖象Oxy實(shí)例2：分析二次函數(shù)的圖象Oxy實(shí)例2：分析二次函數(shù)的圖象Oxy實(shí)例2：分析二次函數(shù)的圖象Oxy實(shí)例2：分析二次函數(shù)的圖象Oxy實(shí)例2：分析二次函數(shù)的圖象Oxy實(shí)例2：分析二次函數(shù)的圖象Oxy實(shí)例2：分析二次函數(shù)的圖象Oxy實(shí)例2：分析二次函數(shù)的圖象觀察函數(shù)圖象,并指出函數(shù)的變化趨勢(shì)?1.在區(qū)間_______上,f(x)的值隨著x的增大而_____．2.在區(qū)間_______上,f(x)的值隨著x的增大而_____．

(-∞,0](0,+∞)增大減小x01234…f(x)=x2014916…f(x2)x2x1f(x1)一、函數(shù)單調(diào)性定義

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．

1．增函數(shù)x-4-3-2-10…f(x)=x2169410…f(x2)x2x1f(x1)

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．2．減函數(shù)

3.函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；注意：2.必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)<f(x2)

或f(x1)>f(x2)

分別是增函數(shù)和減函數(shù).1.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性。例1.下圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每個(gè)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù)， 在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù).[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].

二.典例精析特別注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間是定義域的子集，求單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)先求定義域；單調(diào)區(qū)間應(yīng)寫(xiě)成區(qū)間形式，不能寫(xiě)成不等式或集合形式；3函數(shù)有多個(gè)增（或減）區(qū)間時(shí)，只能用“，”或者用“和”，不能用“U”連接。

例2物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大,試用函數(shù)單調(diào)性證明之.分析：按題意就是證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是所以，函數(shù)是減函數(shù).也就是說(shuō)，當(dāng)體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.取值定號(hào)作差結(jié)論變形p(V1)>p(V2)即例3.證明：函數(shù)在上是增函數(shù).證明：在區(qū)間上任取兩個(gè)值且

，且所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).思考：如何證明一個(gè)函數(shù)是單調(diào)遞增的呢？取值變形作差定號(hào)結(jié)論三、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

①取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差：f(x1)－f(x2)；③變形：（因式分解和配方等）乘積或商式；④定號(hào)：（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；⑤結(jié)論：（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：強(qiáng)化訓(xùn)練：1.證明函數(shù)在上是增函數(shù)