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工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論矢量分析標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度亥姆霍茲定理電磁場(chǎng)的特殊形式第0章矢量分析下頁返回VectorAnalysis正交坐標(biāo)系-直角坐標(biāo)系下頁上頁返回元面積元體積正交坐標(biāo)系-柱坐標(biāo)系下頁上頁返回元面積元體積正交坐標(biāo)系-球坐標(biāo)系下頁上頁返回元面積元體積坐標(biāo)系間單位矢量的換算投影原則能理解書中第322頁表附1-1所列公式之間的關(guān)系可參考書籍:BHagSinghGuru,HuseyinR.Hiziroglu,周克定等譯.,電磁場(chǎng)與電磁波.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2000第二章矢量分析(Page10~47)
場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù),即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量。例如,在直角坐標(biāo)下:0.1
標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)如溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等;如流速場(chǎng)、電場(chǎng)、渦流場(chǎng)等。ScalarFieldandVectorField下頁上頁返回其方程為:圖0.1.1等高線(1)
標(biāo)量場(chǎng)--等值線(面)形象描繪場(chǎng)分布的工具——場(chǎng)線思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快?下頁上頁返回三維場(chǎng)二維場(chǎng)圖0.1.2矢量線矢量場(chǎng)--矢量線線上每一點(diǎn)處的切線方向都與矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的方向相同其方程為:在直角坐標(biāo)系下:下頁上頁返回0.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度
GradientofScalarField
設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)
(x,y,z),若函數(shù)
在點(diǎn)P
可微,則
在點(diǎn)P
沿任意方向
的方向?qū)?shù)為設(shè)
式中,,分別是任一方向與x,y,z軸的夾角下頁上頁返回則有:當(dāng),最大——梯度(gradient)——哈密頓算子式中圖0.1.3等溫線分布梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向。梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率(增加的方向),即最大方向?qū)?shù)。標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。梯度的意義下頁上頁返回,例0.2.1試證明在點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中,電位函數(shù)的負(fù)梯度等于電場(chǎng)強(qiáng)度。例
電位場(chǎng)的梯度圖0.2.2電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度與過該點(diǎn)的等位線垂直;數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù);指向電位增加的方向。下頁上頁返回例:設(shè)一標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)(1)該點(diǎn)函數(shù)
在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度,以及表示該梯度方向的單位矢量;描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求:(2)求該點(diǎn)函數(shù)
沿單位矢量方向的方向?qū)?shù),并以點(diǎn)P(1,1,1)處該方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較,得出相應(yīng)結(jié)論。[解](1)由梯度定義,可解出待求P點(diǎn)的梯度為(2)
顯然,梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)
的最大變化率,即系最大方向?qū)?shù),故,恒成立。0.3
矢量場(chǎng)的通量與散度0.3.1通量(Flux)
矢量E沿有向曲面S的面積分若S
為閉合曲面根據(jù)通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):FluxandDivergenceofVector
>0
(有正源)<0
(有負(fù)源)
=0(無源)圖0.3.2矢量場(chǎng)通量的性質(zhì)
下頁上頁返回圖0.3.1矢量場(chǎng)的通量
0.3.2散度(Divergence)
如果包圍點(diǎn)P的閉合面
S
所圍區(qū)域
V
以任意方式縮小到點(diǎn)P
時(shí):———散度(divergence)下頁上頁返回散度的意義
在矢量場(chǎng)中,若
?
A=0,稱之為有源場(chǎng),
稱為(通量)源密度;若矢量場(chǎng)中處處
?A=0
,稱之為無源場(chǎng)。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。(無源)
(正源)
(負(fù)源)圖0.3.3通量的物理意義
下頁上頁返回0.3.3散度定理(DivergenceTheorem)圖0.3.4散度定理
通量密度——高斯公式矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。下頁上頁返回0.4
矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度0.4.1環(huán)量(Circulation)
矢量A
沿空間有向閉合曲線L的線積分——環(huán)量
環(huán)量的大小與閉合路徑有關(guān),它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。CirculationandRotationofVectorField下頁上頁返回圖0.4.1環(huán)量的計(jì)算水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng),
=0,無渦旋運(yùn)動(dòng)。例:流速場(chǎng)圖0.4.2
流速場(chǎng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng),
0,有產(chǎn)生渦旋的源。下頁上頁返回0.4.2旋度(Rotation)1.環(huán)量密度
過點(diǎn)P作一微小曲面
S,它的邊界曲線記為
L,面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當(dāng)
S
點(diǎn)P
時(shí),存在極限——環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。下頁上頁返回2.旋度
旋度是一個(gè)矢量,其大小等于環(huán)量密度的最大值;其方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向——旋度(curl)-S
的法線方向它與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)下:下頁上頁返回3.旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值,其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場(chǎng)中,若
A=J
0
稱之為旋度場(chǎng)(或渦旋場(chǎng)),J
稱為旋度源(或渦旋源)。若矢量場(chǎng)處處
A=0,稱之為無旋場(chǎng)。下頁上頁返回4、斯托克斯定理(Stockes’Theorem)矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。圖0.4.3斯托克斯定理——斯托克斯定理下頁上頁
在電磁場(chǎng)理論中,高斯定理和斯托克斯定理是兩個(gè)非常重要的公式。返回
0.5
亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理:在有限區(qū)域V內(nèi),矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知:矢量A的通量源密度矢量A的旋渦源密度場(chǎng)域邊界條件(矢量A惟一地確定)電荷密度
電流密度J場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中HymherzeTheorem下頁上頁返回例
試判斷下列各圖中矢量場(chǎng)的性質(zhì)。000000下頁上頁返回(1)無旋場(chǎng)(irrotationalfield)例如靜電場(chǎng)
從而由矢量恒等式
可定義(
—電位函數(shù))
無旋場(chǎng)中,矢量沿場(chǎng)域中任意閉合路徑的環(huán)量等于零無旋場(chǎng)可以表示為某一標(biāo)量函數(shù)梯度場(chǎng)(2)無散場(chǎng)(無源場(chǎng)、管量場(chǎng)solenoidalfield)例如恒定電流的磁場(chǎng)無源場(chǎng)中穿過場(chǎng)域中任一個(gè)矢量管的所有截面的通量都相等無源場(chǎng)存在著矢勢(shì)(磁矢位)(4)一般的場(chǎng)例如時(shí)變電磁場(chǎng)
(3)調(diào)和場(chǎng):散度和旋度都等于零的矢量場(chǎng)調(diào)和場(chǎng)位函數(shù)滿足拉普拉斯方程0.6
特殊形式的電磁場(chǎng)
如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為z
軸)的一族平行平面上,場(chǎng)F
的分布都相同,即F=f(x,y),則稱這個(gè)場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。1.平行平面場(chǎng)SpecialFormsofElectromagneticField如無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)。下頁上頁返回0
如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為z
軸)的一族子午面上,場(chǎng)F
的分布都相同,即F=f(r,
),則稱這個(gè)場(chǎng)為軸對(duì)稱場(chǎng)。2.軸對(duì)稱場(chǎng)
如螺線管線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng);有限
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