人教A版選擇性必修第一冊(cè)142第1課時(shí)用空間向量研究距離問題課件

第1課時(shí)用空間向量研究距離問題第一章2023內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.掌握點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)到平面的距離公式.2.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條平行直線以及兩個(gè)平行平面的距離問題.3.能描述用向量方法解決距離問題的程序,體會(huì)向量方法在研究幾何距離問題中的作用.4.提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、點(diǎn)到直線的距離(2)設(shè)與b方向相同的單位向量為e,那么向量a在向量b上的投影向量等于什么?(3)在上圖中,怎樣求線段MM1的長(zhǎng)度?長(zhǎng)度的表達(dá)式是什么?提示:在Rt△MOM1中,由勾股定理,2.點(diǎn)到直線的距離

3.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,點(diǎn)F,G分別是AB,CC1的中點(diǎn),則點(diǎn)D1到直線GF的距離為

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解析:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為坐標(biāo)軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,連接GD1,則D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),二、點(diǎn)到平面的距離1.如圖,平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點(diǎn),P是平面α外一點(diǎn),過點(diǎn)P作平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,回答下列問題:(1)點(diǎn)P到平面α的距離是哪一線段的長(zhǎng)度?提示:線段PQ.(2)從向量投影的角度來看,點(diǎn)P到平面α的距離又是什么?(3)根據(jù)向量投影的定義,你能得出點(diǎn)P到平面α的距離的表達(dá)式嗎?2.點(diǎn)到平面的距離

3.已知平面α的一個(gè)法向量n=(-2,-2,1),點(diǎn)A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則點(diǎn)P(-2,1,4)到平面α的距離為(

)答案:D【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)點(diǎn)到直線的距離實(shí)質(zhì)上就是點(diǎn)與直線上的一點(diǎn)構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的模.(×)(2)點(diǎn)到平面的距離實(shí)質(zhì)就是從該點(diǎn)出發(fā)的斜線段對(duì)應(yīng)的向量在平面的法向量上的投影向量的長(zhǎng)度.(√)(3)線面距離、面面距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離,用求點(diǎn)面距離的方法進(jìn)行求解.(√)合作探究釋疑解惑探究一點(diǎn)到直線的距離【例1】

如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)M是線段DC1的中點(diǎn),求點(diǎn)M到直線AD1的距離.分析:利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.若本例中的“點(diǎn)M是線段DC1的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)M是線段DC1上的動(dòng)點(diǎn)”,其他條件不變,試求點(diǎn)M到直線AD1距離的最小值.反思感悟

用向量方法求直線外一點(diǎn)N到直線的距離的步驟第一步:依據(jù)圖形先求出直線的單位方向向量u.解:取AC的中點(diǎn)D,以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,探究二點(diǎn)到平面的距離【例2】

設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,求:(1)點(diǎn)D1到平面A1BD的距離;(2)平面A1BD與平面B1CD1間的距離.(2)平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點(diǎn)D1到平面A1BD的距離.解:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),取x=1,則y=-1,z=-1.所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一個(gè)法向量.(2)根據(jù)題意,知A1D1

BC,所以四邊形A1BCD1為平行四邊形.所以A1B∥D1C.因?yàn)锳1B?平面B1CD1,D1C?平面B1CD1,所以A1B∥平面B1CD1.同理BD∥平面B1CD1.因?yàn)锳1B∩BD=B,A1B?平面A1BD,BD?平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1CD1.所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點(diǎn)D1到平面A1BD的距離.反思感悟

用向量方法求點(diǎn)面距的步驟(1)建系:建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求點(diǎn)坐標(biāo):寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).提醒:用向量方法求線面距、面面距時(shí)一般要轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距.【變式訓(xùn)練2】

如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中點(diǎn),試問在線段A1B上是否存在一點(diǎn)E(不與端點(diǎn)重合),使得點(diǎn)A1到平面AED的距離為?解:如圖,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CA,CB,CC1所在直線為x軸、y軸和z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),所以,存在點(diǎn)E且當(dāng)點(diǎn)E為A1B的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)A1到平面AED的距離為

.【易錯(cuò)辨析】

用向量方法求點(diǎn)到平面的距離時(shí)因選錯(cuò)向量致誤【典例】

如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為4,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d=

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錯(cuò)解:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?防范措施

1.平面的法向量要計(jì)算正確.2.計(jì)算點(diǎn)到平面的距離時(shí),選取的向量是該點(diǎn)與平面內(nèi)的一點(diǎn)構(gòu)成的向量.【變式訓(xùn)練】

如圖,已知△ABC是以∠ABC為直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,N,D分別是AB,BC的中點(diǎn),則點(diǎn)A到平面SND的距離為

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解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.∵N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),隨堂練習(xí)1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,E是CC1的中點(diǎn),則點(diǎn)E到A1B的距離為(

)答案:D解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.連接A1E.∵A1(4,0,4),B(4,4,0),E(0,4,2),2.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,則點(diǎn)C1到平面A1BD的距離是(

)答案:D解析:以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,連接AC1,BC1,如圖所示.3.若直角三角形ABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,則點(diǎn)P到AB的距離是

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解析:連接AP,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,答案:34.已知直線AB∥平面α,平面α的法向量為n=(1,0,1),平面α內(nèi)一點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0,1),直線AB上點(diǎn)A的坐標(biāo)為