2023年人教版高考數(shù)學總復習規(guī)范答題系列-數(shù)列綜合問題

規(guī)范答題系列一一數(shù)列綜合問題

［典例］(12分)(2021?全國乙卷)設瓜｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛bj滿足b0=等.已知

a”3a2,9a3成等差數(shù)列.

⑴求｛4｝和｛bj的通項公式；

S

(2)記出和T”分別為｛aj和｛bj的前n項和.證明：TW”.

?導引助思?析考題

(1)看到設｛a、｝是首項為1的等比數(shù)列，想到設首項，表示其通項；然后根據(jù)已知a>3a2,

9a成等差數(shù)列，列方程即可求得a“進而得解；

(2)看到證明：T?<|,想到分別求出兩個數(shù)列之和，進而證得不等式.

【標準答案】(1)因為a“3a2,9a3成等差數(shù)列,

所以6a2=ai+9a3,①1分

因為｛a“｝是首項為1的等比數(shù)列，設其公比為qf

則6ql+9q，所以q2,................②3分

_n—1

所以a”aQH,...............③4分

所以bn3—n*1g1..................?5分

(2)證明：由(1)知=,b,,=n?(上)1

—31nT

所以S0’22xQI,...................⑤6分

1-3

TklX?1+2x(32+…+為@n,①

所以,2+2X3)3+…+n*(I)n+1

,(2)...........(§)7分

①一②得,

3

所以T三⑦9分

31/1\n

S0X1

-----1-

244\37

s

所以T“〈W................................................⑨12分

?滿分點撥?悟考題

考查知識：主要是等差數(shù)列的概念，性質(zhì)和通項公式等基礎知識.

命題探源

核心素養(yǎng)：數(shù)學運算，邏輯推理

①準確利用等差數(shù)列性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件，得1分；

②求出公比q,得2分.

③寫出數(shù)列｛aj的通項公式，得1分；

④寫出數(shù)列｛bj的通項公式，得1分.

⑤求出S”的表達式，得1分.

注意其形式也可以寫為出=|(1—.

閱卷現(xiàn)場

⑥寫出得1分.若末項寫錯，不得分.

0

9

⑦求出Tn，得2分；只寫出兩式之差可心，得1分.

O

⑧作差并準確判斷，得2分；差準確，結(jié)果判錯，只得1分.

⑨寫出結(jié)論，得1分.不寫結(jié)論不得分.

錯位相減法

1.一般地，若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，｛b?｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛a_bj的

前n項和，則可以采用錯位相減法求和.一般是先將和式兩邊乘以等比數(shù)列

滿分策略

｛bj的公比，然后作差求解；

2.在寫出S.與qS”的表達式時，應特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步

準確寫出S“一qSn的表達式；

3.在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和

不等于1兩種情況求解.

“跟蹤訓練

(2021?全國甲卷)已知數(shù)列｛aj的各項均為正數(shù)，記S.為｛aj的前n項和，從下面①②③中選

取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數(shù)列｛aj是等差數(shù)列；②數(shù)歹U｛的｝是等差數(shù)列；

③a?=3a1.

【解析】①③"②

設等差數(shù)列｛3｝的公差為d,因為也=3a”所以小+d=3a”

則d=2a”所以Sn=nai+JL_LLL_J_2_d=nai+n(n-=

所以當n22時，y/sn—正二—(n—1)退=y[a],

所以數(shù)列h氏｝是首項為丘，公差為岐的等差數(shù)列.

②③今①

證明：因為a“〉0,a2=3a,,數(shù)列｛次｝是等差數(shù)列，

所以數(shù)歹U｛小｝的首項為低=?，

公差為小z—=^/ai+&2\/ai=>ai+3al=^/ai,

所以小=y[a[+(n—=n^/a^,S?=ain".

22

當n22時，a?=Sn—Sn-^ain—a,(n—l)=ai(2n—1)；

當n=1時，an=a,(2n—1)也成立.

所以數(shù)列｛aj的通項公式是a?=a|(2n-l),

公差為an+i—a?=ai(2n+l)—a,(2n—1)=2a]

所以數(shù)列｛%｝是公差為2a,的等差數(shù)列.

①②今③

證明：設數(shù)列｛aj的公差為d,因為｛aj的各項均為正.

n(口_])d

=

所以dN0,an=a1+(n-1)d,Srina]+,

因為數(shù)歹(J｛低｝是等差數(shù)列，所以小+低=2低.

此式兩邊平方得2，S|S3—4S2—S)—S3,

將Si=a”S2=2a,+d,S3=3a1+3d代入得

2、ai(3ai+3d)=4(2ai+