2023年人教版高中數(shù)學(xué)必修一基本初等函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

人教版高中數(shù)學(xué)必修一第二章基本初等函

數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

(一)指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算

1.根式的概念：

負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作我=0o

注意：(1)(標(biāo))”=。

(2)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，而，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，標(biāo)

—a,a<0

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)募

rn

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，規(guī)定=N*,月人〉1)

二1

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義：。一〃二丁(。〉0,加,〃cN*,且〃>1)

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)寨等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)露沒故意義

3.實(shí)數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)

(1)aras=a,+s(a>0,r,sGR)

r

(2)(ay=a^(a>09r,seR)

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,reR)

I

注意：在化簡過程中，偶數(shù)不能容易約分；如?—后)2戶W1—0而應(yīng)=后—I

(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地，函數(shù)y=a*叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

R.

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.即a>0且arl

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

0<a<la>l

\//

4-?y\y

4-■?

圖

。入

像2-

：1

-------------------9二----；---------

T117

01

X0X

定義域R,值域(0,+°°)

(1)過定點(diǎn)(0,1).即x=0時(shí),y=l

(2)在R上是減函數(shù)(2)在R上是增函數(shù)

性質(zhì)

⑶當(dāng)x>0時(shí)，0<y<l;(3)當(dāng)x>0時(shí),y>1；

當(dāng)xv0時(shí),y>1當(dāng)xV0時(shí),ovyv1

圖象特性函數(shù)性質(zhì)

向X軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽

函數(shù)圖象都在X軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+

共性

圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0,1)過定點(diǎn)(0,1)

自左向右看,圖象逐漸下降減函數(shù)

在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng)x>0時(shí),OVy<1;

0<a<

在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于當(dāng)X<0時(shí),y>l

11

圖象上升趨勢(shì)是越來越緩函數(shù)值開始減小極快，

到了某一值后減小速度較慢；

自左向右看，圖象逐漸上升增函數(shù)

在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng)x>0時(shí),y>l;

a>l

在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<l

圖象上升趨勢(shì)是越來越陡函數(shù)值開始增長較慢，

到了某一值后增長速度極快；

注意:指數(shù)增長模型:y=N(l+p)x指數(shù)型函數(shù):y=kaX

3考點(diǎn):(1)ab=N，當(dāng)b>0時(shí),a,N在1的同側(cè)；當(dāng)b<0時(shí)，a,N在1的異側(cè)。

(2)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時(shí)候要進(jìn)行討論。掌握運(yùn)用單調(diào)性比

較累的大小，同底找相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)，底數(shù)不同指數(shù)也不同插進(jìn)1(=a。)進(jìn)行傳遞或者

運(yùn)用(1)的知識(shí)。

(3)求指數(shù)型函數(shù)的定義域可將底數(shù)去掉只看指數(shù)的式子,值域求法用單調(diào)性。

(4)分辨不同底的指數(shù)函數(shù)圖象運(yùn)用a'=a,用x=1去截圖象得到相應(yīng)的底數(shù)。

(5)指數(shù)型函數(shù):y=N(l+p)x簡寫：y=kax

二、對(duì)數(shù)函數(shù)

（一）對(duì)數(shù)

1.對(duì)數(shù)的概念：一般地，假如優(yōu)=N,那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：

x=logoN

（a—底數(shù)，N—真數(shù),log“N一對(duì)數(shù)式）

說明：1.注意底數(shù)的限制,a>0且a#l;2.真數(shù)N>03.注意對(duì)數(shù)的書寫格式.

2、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：

（1）常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù)，loggN記為IgN;

（2）自然對(duì)數(shù):以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)，log,N記為InN.

3、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化

x=logaN=優(yōu)=N

對(duì)數(shù)式指數(shù)式

對(duì)數(shù)底數(shù)一a一暴底數(shù)

對(duì)數(shù)一X-指數(shù)

真數(shù)一Nf暴

結(jié)論:（1）負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)

(2)logaa=1,1oga1=0特別地,1g10=1,1g1=0,Ine=1,1n1=0

（3）對(duì)數(shù)恒等式：產(chǎn)，'=N

（二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

假如a>0,ar1,M>0,N>0有:

1、loga(M?N)=log“M+loguN兩個(gè)正數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)和

M

2'logfl—=logaM-logaAf兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)

差

3、log((M"=/ilogHM(neR)一個(gè)正數(shù)的n次方的對(duì)數(shù)等于這個(gè)正數(shù)的對(duì)

數(shù)n倍

說明：

1）簡易語言表達(dá):“積的對(duì)數(shù)=對(duì)數(shù)的和"

2）有時(shí)可逆向運(yùn)用公式

3）真數(shù)的取值必須是（0,+8）

4)特別注意：log°MN豐log?M-log〃N

log“(M土N)wlog“M±logaN

注意:換底公式log，=g^=^(a>0,a#l,c>0,cHl,Z?>0)

log,aIga

運(yùn)用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論

]〃

①logab=-------②log?b?log/,c?log,d=log?d③logb"=—log/

log/,a"m

(二)對(duì)數(shù)函數(shù)

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念涵數(shù)y=10g〃x(a>0,且aWl)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量,

函數(shù)的定義域是(0,+8).

注意：(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。

如：y=log“jn,y=log“x+2都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：a>0,且aWl

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì):對(duì)數(shù)函數(shù)y=k)g“x(a>0,且aW1)

重要結(jié)論：在logb中，當(dāng)a,b同在（0,1）或（1,+8）內(nèi)時(shí)，有

a

logb>0;

a

當(dāng)a,b不同在（0,1）內(nèi)，或不同在（1,+8）內(nèi)時(shí)，有l(wèi)ogb<0.

a

口訣：底真同大于0（底真不同小于o）.

（其中，底指底數(shù)，真指真數(shù)，大于0指logb的值）

a

3、如圖，底數(shù)。對(duì)函數(shù)y=log“x的影響。

規(guī)律：底大枝頭低，頭低尾巴翹。

4考點(diǎn)：

I、logab,當(dāng)a,b在1的同側(cè)時(shí),1ogab>0;當(dāng)a,b在1的異側(cè)時(shí),1ogab<0

【I、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時(shí)候要進(jìn)行討論。掌握運(yùn)用單調(diào)

性比較對(duì)數(shù)的大小，同底找相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)，底數(shù)不同真數(shù)也不同運(yùn)用（1）的知識(shí)

不能解決的插進(jìn)1（=log,,a）進(jìn)行傳遞。

III、求指數(shù)型函數(shù)的定義域規(guī)定真數(shù)>0,值域求法用單調(diào)性。

IV、分辨不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象運(yùn)用l=logaa,用y=l去截圖象得到相應(yīng)的底數(shù)。

V、y=ax（a>0且a#1）與y=log,x（a>0且aW1）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱。

5比較兩個(gè)事的形式的數(shù)大小的方法：

（1）對(duì)于底數(shù)相同指數(shù)不同的兩個(gè)累的大小比較