大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》期末考試試題及易錯題解析第二章：導(dǎo)數(shù)與微分

PAGEPAGE2第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分這一章的基本思想是用極限理論來研究函數(shù)。這一章內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)微積分部分的基礎(chǔ)，因此必須牢固地掌握其基本理論、基本方法和常用解題技巧。在研究生入學(xué)考試中，本章是所有《高等數(shù)學(xué)》課程的必考內(nèi)容之一，一些綜合考試題往往也要涉及到此章內(nèi)容。通過這一章的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)為同學(xué)們應(yīng)達(dá)到如下要求：1、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，特別是左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)概念。知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率）和物理意義（如速度、加速度等）以及經(jīng)濟(jì)意義（如邊際成本、邊際收入等）。2、熟練掌握求導(dǎo)數(shù)的方法。3、掌握高階導(dǎo)數(shù)的定義，計算方法。4、了解微分定義，可導(dǎo)與可微的關(guān)系，一階微分不變性。知識網(wǎng)絡(luò)圖注：Dini導(dǎo)數(shù)在控制理論與應(yīng)用中有廣泛的應(yīng)用。雖然高等數(shù)學(xué)教材上沒有介紹，但計算機(jī)專業(yè)、電子專業(yè)的后繼課程中有所涉及，因此我們認(rèn)為還是有必要讓學(xué)生知道。定義：函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)，的四種Dini導(dǎo)數(shù)定義為（1），（2），（3），（4）。二、典型錯誤分析例1．設(shè)，其中在處連續(xù)，求。[錯解]因為，則。令，則。[分析]僅在處連續(xù)，在任意點處未必可導(dǎo)，即未必存在，因此是否可導(dǎo)難以判斷，故上述解法不能成立。[正確解]利用導(dǎo)數(shù)的定義==。例2.設(shè)求。[錯解]當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故[分析]問題發(fā)生在分界點處的導(dǎo)數(shù)沒有用定義求。[正確解]當(dāng)時，；當(dāng)時，。由于是該函數(shù)的分界點，由導(dǎo)數(shù)的定義，我們有==，==，因此，于是即例3.設(shè)求當(dāng)時的導(dǎo)數(shù)。[錯解]當(dāng)時，因，不存在，故也不存在。[分析]，存在是存在的充分條件，但不是必要條件。[正確解]用導(dǎo)數(shù)定義處理。由于，故。例4.設(shè)，求。[錯解1]由于，，故，。[錯解2]由于，，則，，故。[分析]的錯誤在于沒有搞清楚是對還是對求導(dǎo)，以為自變量的函數(shù)是不能直接對求導(dǎo)數(shù)的。的錯誤是受的影響而造成的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們提倡聯(lián)想；在科學(xué)研究中，我們鼓勵聯(lián)想，但聯(lián)想的結(jié)果正確與否是需要檢驗的。[正確解]由于，，故=。例5.設(shè)和在上有定義，且滿足下列條件：（1），（2）和在處可微，且，，求。[錯解]將的兩邊對求導(dǎo)，得，令，得，由假設(shè)可得。[分析]和在處可微，未必在的某鄰域內(nèi)可微。例如我們?nèi)菀昨炞C。由于在處不連續(xù)，當(dāng)然不可微。因此缺乏依據(jù)。[正確解]由（2）知道，，于是+。例6.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。[錯解]。[分析]這函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)型的一般復(fù)合函數(shù)，不能按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計算導(dǎo)數(shù)，應(yīng)該兩邊取對數(shù)后再求導(dǎo)。[正確解]兩邊取對數(shù)得，兩邊求導(dǎo)，故有。例7.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。[錯解1]因為函數(shù)是冪函數(shù)，則。[錯解2]因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則。[分析]這函數(shù)既不是指數(shù)函數(shù)也不是冪函數(shù)，而是超越函數(shù)，應(yīng)該兩邊取對數(shù)后再求導(dǎo)。[正確解]兩邊取對數(shù)得，兩邊求導(dǎo)，故有。例8.已知，求。[錯解]因為，則。[分析]這種解法在初學(xué)者中經(jīng)常出現(xiàn)，這是由于學(xué)生沒有真正了解的涵義。的涵義是函數(shù)在處的值。[正確解]因為，則。例9.已知函數(shù)存在二階微分，求。[錯解]因為，所以。[分析]這種解法有問題。當(dāng)是自變量時結(jié)論正確，因為相對于是獨(dú)立的所以對求導(dǎo)時可以看作常量，但是是中間變量，即時，需要另外討論。[正確解]當(dāng)是自變量時，；當(dāng)時，。例10.已知存在，求極限。[錯解]因為==。[分析]表示兩點和函數(shù)值之差，而與在處的取值無關(guān)，因此存在與否和無關(guān)，所以不能把它作為在處的導(dǎo)數(shù)。[正確解]。三、綜合題型分析例11.設(shè)問取何值時在內(nèi)可導(dǎo)。[分析]要使在內(nèi)可導(dǎo)，則分段函數(shù)在分段點是連續(xù)的和可導(dǎo)的，利用這兩點就可以求出的值。[解]容易知道，，，要使在處連續(xù)，必須。因為，，要使在處可導(dǎo)，則，故，。[方法小結(jié)]在內(nèi)可導(dǎo)隱含了函數(shù)在分段點是連續(xù)的和可導(dǎo)的，求待定常數(shù)時我們往往要用這兩個條件。例12．設(shè)，求。[分析]因為，所以當(dāng)和時用公式求導(dǎo)；在處用定義求導(dǎo)。[解]當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，，所以在處不可導(dǎo)，故[方法小結(jié)]在定義域內(nèi)是分段函數(shù)時，不是分段點的導(dǎo)數(shù)直接求；分段點的導(dǎo)數(shù)一定要先分別求出其左右導(dǎo)數(shù)，如果左右導(dǎo)數(shù)相等，則其為分段點的導(dǎo)數(shù)，如果不相等，則在分段點沒有導(dǎo)數(shù)。例13．設(shè)，求。[分析]這是超越函數(shù)，兩邊取對數(shù)后再求導(dǎo)。[解]，兩邊取對數(shù)，，兩邊求導(dǎo)，故。[方法小結(jié)]這函數(shù)既不是指數(shù)函數(shù)也不是冪函數(shù)，而是超越函數(shù)，應(yīng)該兩邊取對數(shù)后再求導(dǎo)。例14．設(shè)，求。[分析]對這類函數(shù)求導(dǎo)，如果按照根式的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)非常麻煩?？梢詢蛇吶?shù)后再求導(dǎo)。[解]兩邊取對數(shù)，，兩邊求導(dǎo)，故。[方法小結(jié)]這類函數(shù)求導(dǎo)，往往兩邊取對數(shù)后再求導(dǎo)。例15．已知是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在的某個鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式，其中是當(dāng)時比高階的無窮小量，且在處可導(dǎo)，求曲線在點處的切線方程。[分析]為了求曲線在點處的切線方程，只需要求出。因為是周期為5的連續(xù)函數(shù)，故只需要求出。[解]由得，則。又，而，所以。而，，所求的切線方程為。[方法小結(jié)]求曲線在某點處的切線斜率等于函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)。例16．設(shè)，求。[分析]由于是分段點，故由定義來求導(dǎo)數(shù)。[解]在處，，則，于是，，當(dāng)時，有，故。[方法小結(jié)]求函數(shù)在分段點的導(dǎo)數(shù)，也可以用定義。例17．設(shè)，，求和（）。[分析]由于是參數(shù)方程的形式，而且是變上限積分，因此可以采用變上限積分的求導(dǎo)公式。[解]因為，，故，。[方法小結(jié)]當(dāng)函數(shù)是參數(shù)方程的形式時，求高階導(dǎo)數(shù)一定要小心，用如下公式。例18．設(shè)，求。[分析]由于是分段函數(shù)，如果按定義硬算非常麻煩，一定有技巧。麥克勞林公式中含有在的各階導(dǎo)數(shù)，故利用麥克勞林公式的唯一性可以求出函數(shù)在的高階導(dǎo)數(shù)。[解]因為，所以當(dāng)時，，又，則，。[方法小結(jié)]當(dāng)函數(shù)是分段函數(shù)時，求函數(shù)在某點的高階導(dǎo)數(shù)，可以考慮用泰勒展開式來處理。例19．證明與在（為整數(shù)，為常數(shù)）相切。[分析]兩曲線在交點處切線斜率相等，則兩曲線相切。為此，先求出曲線的交點，再計算導(dǎo)數(shù)。[解]由得，故交點的橫坐標(biāo)（為整數(shù)）。因為，所以，故與在（為整數(shù)，為常數(shù)）相切。[方法小結(jié)]利用“兩曲線相切的充要條件是兩曲線在交點處切線斜率相等”是解決問題的關(guān)鍵。例20．設(shè)方程，試用變量替換將方程化簡。[分析]可以看成參數(shù)方程的形式，設(shè)想是中間變量。[解]我們?nèi)菀字?，，將上兩式帶入原方程得。[方法小結(jié)]利用參數(shù)方程的求導(dǎo)公式可以將變量替換。四、考研試題分析例21．(1999年高數(shù)二)設(shè)函數(shù)由方程確定，則[答案]1.[分析]這是一個隱函數(shù)，可以利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求解。[解答]把.代入已知等式得。對兩邊求導(dǎo)得，把代入上式得，故。例22．(1998年高數(shù)一)函數(shù)不可導(dǎo)點的個數(shù)是(A)3,(B)2,(C)1,(D)0.[答案](B).[分析]因為函數(shù)帶有絕對值，可以用左右極限的辦法來求函數(shù)在某點的左右導(dǎo)數(shù)判斷。[解答]因為，則函數(shù)除了分段點外都可導(dǎo)，在分段點有可能不可導(dǎo)，因此只要判斷函數(shù)在分段點不可導(dǎo)的個數(shù)。容易判斷函數(shù)在處不可導(dǎo)，而在處可導(dǎo)，故選(B)2。例23．(2003年高數(shù)二)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程（）所確定，求。[分析]運(yùn)用參數(shù)方程求導(dǎo)法則計算。[解答]由，，則，所以，當(dāng)時，由和得，故。例24．（2002年高數(shù)二）已知函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，，，且滿足，求。[分析]先對取對數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)定義列出微分方程，得出。[解答]設(shè)，則，因為，故，由已知條件得，因此，從而，解之得，由得。例25．（1989年高數(shù)三）設(shè)，則。[分析]由于是一個多項式，而且由個一次因式乘積形式給出的，直接計算非常困難。但是用導(dǎo)數(shù)的定義計算反而簡單。[解答]=例26、（1996年高數(shù)三）設(shè)其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，求。[分析]函數(shù)用參數(shù)方程給出，因此可以用參數(shù)方程的求導(dǎo)公式求解。[解答]因為，，所以，故。例27、（2003年高數(shù)二）已知是微分方程的解，則的表達(dá)式為（A）,(B),(C),(D).[分析]將所給的解代入微分方程，求出函數(shù)的表達(dá)式。[解答]由，則有，代入有，故。例28、（2002年高數(shù)二）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，當(dāng)自變量在處取得增量時，相應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部為0。1，則。(A)-1,(B)0.1,(C)1,(D)0.