特級(jí)教師改編中考數(shù)學(xué)幾何模型24講：專題10 母抱子模型解直角三角形（教師版）

專題10母抱子模型解直角三角形【模型展示】【中考真題】1、如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6米的B處安置測角儀，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°，已知測角儀高AB為1.5米，求拉線CE的長（結(jié)果保留根號(hào)）．解析：過點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H，由題意可知四邊形ABDH為矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH?tan∠CAH，∴CH=AH?tan∠CAH=6tan30°=6×（米），又∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，∴CE==（4+）（米），答：拉線CE的長為（4+）米．2、如圖，一垂直于地面的燈柱AB被一鋼筋CD固定，CD與地面成45°夾角（∠CDB=45°），在C點(diǎn)上方2米處加固另一條鋼線ED，ED與地面成53°夾角（∠EDB=53°），那么鋼線ED的長度約為多少米？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

【精典例題】1、如圖，一艘輪船在A處時(shí)觀測得小島C在船的北偏東60°方向，輪船以40海里/時(shí)的速度向正東方向航行1.5小時(shí)到達(dá)B處，這時(shí)小島C在船的北偏東30°方向．已知小島C周圍50海里范圍內(nèi)是暗礁區(qū)．（1）求B處到小島C的距離（2）若輪船從B處繼續(xù)向東方向航行，有無觸礁危險(xiǎn)？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）解析：（1）由題意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴CB＝AB＝40×1.5＝60（海里），∴B處到小島C的距離為60海里；（2）過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，∵CE＝CB×sin∠CBE＝60×sin60°＝30≈51.96海里，∴CE＞50，∴輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行，沒有觸礁危險(xiǎn)．

2、金橋?qū)W?！翱萍俭w藝節(jié)”期間，八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的任務(wù)是測量學(xué)校旗桿AB的高，他們在旗桿正前方臺(tái)階上的點(diǎn)C處，測得旗桿頂端A的仰角為45°，朝著旗桿的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)F處，測得旗桿頂端A的仰角為60°，已知升旗臺(tái)的高度BE為1米，點(diǎn)C距地面的高度CD為3米，臺(tái)階CF的坡角為30°，且點(diǎn)E、F、D在同一條直線上，求旗桿AB的高度（計(jì)算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）解析：過點(diǎn)C作CM⊥AB于M．則四邊形MEDC是矩形，∴ME＝DC＝3．CM＝ED，在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，設(shè)EF＝x，則AF＝2x，AE＝x，在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，∴DF＝3，在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，∵ED＝CM，∴AM＝ED，∵AM＝AE﹣ME，ED＝EF+DF，∴x﹣3＝x+3，∴x＝6+3，∴AE＝（6+3）＝6+9，∴AB＝AE﹣BE＝9+6﹣1≈18.4米．答：旗桿AB的高度約為18.4米．

3、如圖，為了測得電視塔AB的高度，在D處用高為1m的測角儀CD測得電視塔頂端A的仰角為30°，再向電視塔方向前進(jìn)100m到達(dá)F處，又測得電視塔頂端A的仰角為60°，則這個(gè)電視塔AB的高度(單位：m)為(C)A．50eq\r(3)B．51C．50eq\r(3)＋1 D．1014、(2019·山東菏澤定陶三模)如圖，小明在熱氣球A上看到橫跨河流兩岸的大橋BC，測得B，C兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，已知熱氣球離地面的高度為120m，且大橋與地面在同一水平面上，求大橋BC的長度．(結(jié)果保留整數(shù)，eq\r(3)≈1.73)解析：如圖，作AD⊥CB交CB所在直線于點(diǎn)D.由題意知，∠ACD＝45°，∠ABD＝60°.在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝120m.在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴tan60°＝eq\f(AD,BD)，∴BD＝eq\f(\r(3),3)AD＝40eq\r(3)m，∴BC＝CD－BD＝120－40eq\r(3)≈51(m)．答：大橋BC的長度約為51m.

5、某數(shù)學(xué)興趣小組為測量河對(duì)岸樹AB的高，在河岸邊選擇一點(diǎn)C．從C處測得樹梢A的仰角為45°，沿BC方向后退10米到點(diǎn)D，再次測得樹梢A的仰角為30°，則樹高為米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）解析：根據(jù)題意可知：∠ABC＝90°，CD＝10，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝CB，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，BD＝CD+BC＝10+AB，∴tan30°＝，即＝，解得AB≈13.7（米）．答：樹高約為13.7米．6、某矩形交通指示牌CDEF如圖所示，AB的距離為5m，從A點(diǎn)測得指示牌頂端D點(diǎn)和底端C點(diǎn)的仰角分別是60°和45°，則指示牌的高度CD約為m．（精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）解析：在Rt△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝5，∵tan∠DAB＝，∴BD＝5?tan60°＝5，在Rt△BAC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝5，∴CD＝BD﹣BC＝（5﹣5）m≈3.7（m）．故答案為：3.7．

7、為做好疫情宣傳巡查工作，各地積極借助科技手段加大防控力度．如圖，亮亮在外出期間被無人機(jī)隔空喊話“戴上口罩，趕緊回家”．據(jù)測量，無人機(jī)與亮亮的水平距離是15米，當(dāng)他抬頭仰視無人機(jī)時(shí)，仰角恰好為30°，若亮亮身高1.70米，則無人機(jī)距離地面的高度約為米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）解析：如圖，根據(jù)題意可知：DE⊥BE，AB⊥BE，過點(diǎn)D作DC⊥AB于點(diǎn)C，所以四邊形DEBC是矩形，∴BC＝ED＝1.70，DC＝EB＝15，在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，∴tan30°＝，即＝，解得AC＝5，∴AB＝AC+CB＝5+1.70≈10.4（米）．答：無人機(jī)距離地面的高度約為10.4米．

8、廣州塔又稱廣州新電視塔，昵稱小蠻腰，位于廣州市海珠區(qū)赤崗塔附近，是中國第一高塔，世界第四高塔．如圖，廣州塔BD附近有一大廈AC高150米，張強(qiáng)在樓底A處測得塔頂D的仰角為45°，上到大廈頂C處測得塔頂D的仰角為37°，求廣州塔BD的高．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解析：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，即四邊形ACEB是矩形∴BE＝AC＝150，CE＝AB，根據(jù)題意可知：∠DAB＝45°，∴DB＝AB＝CE，∴DE＝DB﹣BE＝DB﹣150，在Rt△CDE中，∠DCE＝37°，∴DE＝CE?tan37°，即DB﹣150≈0.75DB，解得DB≈600（米）．答：廣州塔BD的高約為600米．

9、如圖，小明為了測量小河對(duì)岸大樹BC的高度，他在點(diǎn)A測得大樹頂端B的仰角為45°，沿斜坡走3米到達(dá)斜坡上點(diǎn)D，在此處測得樹頂端點(diǎn)B的仰角為30°，且斜坡AF的坡比為1：2．求大樹BC的高度約為多少米？（≈1.732，結(jié)果精確到0.1）解析：作DH⊥AE于點(diǎn)H，作DG⊥BC于點(diǎn)G，如圖，則四邊形DGCH為矩形，在Rt△ADH中，∵，∴