專題13 一次函數(shù)的應(yīng)用（原卷版）

專題13一次函數(shù)的應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)01數(shù)學(xué)建模的一般思路數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，從而得到解決問(wèn)題的最佳方案、最佳策略.在建模的過(guò)程中，為了既合乎實(shí)際問(wèn)題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進(jìn)行抽象化簡(jiǎn)，而這一過(guò)程恰是我們的分析、抽象、綜合、表達(dá)能力的體現(xiàn).函數(shù)建模最困難的環(huán)節(jié)是將實(shí)際情景通過(guò)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為什么樣的函數(shù)模型.知識(shí)點(diǎn)02正確認(rèn)識(shí)實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用在實(shí)際生活問(wèn)題中，如何應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解題，關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，即列出符合題意的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)綜合方程（組）、不等式（組）及圖象求解.【點(diǎn)石成金】要注意結(jié)合實(shí)際，確定自變量的取值范圍，這是應(yīng)用中的難點(diǎn)，也是中考的熱門考點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)03選擇最簡(jiǎn)方案問(wèn)題分析問(wèn)題的實(shí)際背景中包含的變量及對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合一次函數(shù)的解析式及圖象，通過(guò)比較函數(shù)值的大小等，尋求解決問(wèn)題的最佳方案，體會(huì)函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型在分析解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用.【題型探究】題型一待定系數(shù)法求解析式1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個(gè)工程組同時(shí)挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長(zhǎng)度均保持不變，合作一段時(shí)間后，乙組因維修設(shè)備而停工，甲組單獨(dú)完成了剩下的任務(wù)，甲、乙兩組挖掘的長(zhǎng)度之和與甲組挖掘時(shí)間x（天）之間的關(guān)系如圖所示．

(1)甲組比乙組多挖掘了__________天．(2)求乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)當(dāng)甲組挖掘的總長(zhǎng)度與乙組挖掘的總長(zhǎng)度相等時(shí)，直接寫出乙組己停工的天數(shù)．【答案】(1)30；(2)；(3)10天【分析】（1）由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨(dú)做，據(jù)此計(jì)算即可；（2）設(shè)乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，用待定系數(shù)法求解，再結(jié)合圖象即可得到自變量x的取值范圍；（3）先計(jì)算甲乙兩組每天各挖掘多少千米，再計(jì)算乙組挖掘的總長(zhǎng)度，設(shè)乙組己停工的天數(shù)為a，根據(jù)甲組挖掘的總長(zhǎng)度與乙組挖掘的總長(zhǎng)度相等列方程計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨(dú)做，∴甲組挖掘了60天，乙組挖掘了30天，（天）∴甲組比乙組多挖掘了30天，故答案為：30；（2）解：設(shè)乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，將和兩個(gè)點(diǎn)代入，可得，解得，∴（3）解：甲組每天挖（千米）甲乙合作每天挖（千米）∴乙組每天挖（千米），乙組挖掘的總長(zhǎng)度為（千米）設(shè)乙組己停工的天數(shù)為a，則，解得，答：乙組己停工的天數(shù)為10天．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解題意觀察圖象得到有用信息是解題的關(guān)鍵．題型二方案選擇問(wèn)題2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）我市“共富工坊”問(wèn)海借力，某公司產(chǎn)品銷售量得到大幅提升．為促進(jìn)生產(chǎn)，公司提供了兩種付給員工月報(bào)酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同．看圖解答下列問(wèn)題：

(1)直接寫出員工生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，兩種方案付給的報(bào)酬一樣多；(2)求方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(3)如果你是勞務(wù)服務(wù)部門的工作人員，你如何指導(dǎo)員工根據(jù)自己的生產(chǎn)能力選擇方案．【答案】(1)30件；(2)；(3)若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)不足30件，則選擇方案二；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)就是30件，兩種方案報(bào)酬相同，可以任選一種；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)超過(guò)30件，則選擇方案一【分析】（1）由圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到解答；（2）由圖象可得點(diǎn)，設(shè)方案二的函數(shù)表達(dá)式為，利用待定系數(shù)法即可得到方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（3）利用圖象的位置關(guān)系，結(jié)合交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：由圖象可知交點(diǎn)坐標(biāo)為，即員工生產(chǎn)30件產(chǎn)品時(shí)，兩種方案付給的報(bào)酬一樣多；（2）由圖象可得點(diǎn)，設(shè)方案二的函數(shù)表達(dá)式為，把代入上式，得解得∴方案二的函數(shù)表達(dá)式為．（3）若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)不足30件，則選擇方案二；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)就是30件，兩種方案報(bào)酬相同，可以任選一種；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)超過(guò)30件，則選擇方案一．【點(diǎn)睛】此題考查了從函數(shù)圖像獲取信息、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，從函數(shù)圖象獲取正確信息和掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．題型三行程問(wèn)題3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）甲乙兩地相距a千米，小亮8:00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時(shí)刻t（×?xí)r×分）的函數(shù)圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時(shí)刻為（

）

A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35【答案】A【分析】利用待定系數(shù)法求出兩條直線的函數(shù)解析式，將兩個(gè)解析式聯(lián)立，通過(guò)解方程求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可．【詳解】解：令小亮出發(fā)時(shí)對(duì)應(yīng)的t值為0，小瑩出發(fā)時(shí)對(duì)應(yīng)的t值為10，則小亮到達(dá)乙地時(shí)對(duì)應(yīng)的t值為70，小瑩到達(dá)甲地時(shí)對(duì)應(yīng)的t值為40，設(shè)小亮對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，將代入解析式得，解得，小亮對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，設(shè)小瑩對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，將，代入解析式，得，解得，小瑩對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，令，得，解得，小亮與小瑩相遇的時(shí)刻為8:28．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出兩條直線的函數(shù)解析式，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）一輛巡邏車從A地出發(fā)沿一條筆直的公路勻速駛向B地，小時(shí)后，一輛貨車從A地出發(fā)，沿同一路線每小時(shí)行駛80千米勻速駛向B地，貨車到達(dá)B地填裝貨物耗時(shí)15分鐘，然后立即按原路勻速返回A地．巡邏車、貨車離A地的距離y（千米）與貨車出發(fā)時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：

(1)A，B兩地之間的距離是______千米，______；(2)求線段所在直線的函數(shù)解析式；(3)貨車出發(fā)多少小時(shí)兩車相距15千米？（直接寫出答案即可）【答案】(1)60，1；(2)；(3)小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)【分析】（1）根據(jù)貨車從A地到B地花了小時(shí)結(jié)合路程速度時(shí)間即可求出A、B兩地的距離；根據(jù)貨車裝貨花了15分鐘即可求出a的值；（2）利用待定系數(shù)法求解即可；（3）分兩車從A前往B途中相遇前后和貨車從B往A途中相遇前后，四種情況建立方程求解即可．【詳解】（1）解：千米，∴A，B兩地之間的距離是60千米，∵貨車到達(dá)B地填裝貨物耗時(shí)15分鐘，∴，故答案為：60，1（2）解：設(shè)線段所在直線的解析式為將，代入，得解得，∴線段所在直線的函數(shù)解析式為（3）解：設(shè)貨車出發(fā)x小時(shí)兩車相距15千米，由題意得，巡邏車的速度為千米/小時(shí)當(dāng)兩車都在前往B地的途中且未相遇時(shí)兩車相距15千米，則，解得（所去）；當(dāng)兩車都在前往B地的途中且相遇后兩車相距15千米，則，解得；∵，∴貨車裝貨過(guò)程中兩車不可能相距15千米，當(dāng)貨車從B地前往A地途中且兩車未相遇時(shí)相距15千米，則，解得；當(dāng)貨車從B地前往A地途中且兩車相遇后相距15千米，則，解得；綜上所述，當(dāng)貨車出發(fā)小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)時(shí)，兩車相距15千米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，從函數(shù)圖象獲取信息，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確讀懂函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．題型四一次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用5．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)A的直線交y軸于點(diǎn)．

(1)求m的值和直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)若點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線上，求的最大值．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線解析式可求解m，然后設(shè)直線的函數(shù)解析式為，進(jìn)而根據(jù)待定系數(shù)法可進(jìn)行求解函數(shù)解析式；（2）由（1）及題意易得，，則有，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入，得．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，把點(diǎn)，代入得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：∵點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線上，∴，，∴．∵，∴的值隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【隨堂演練】1．如圖，大拇指與小拇指盡量張開時(shí)，兩指尖的距離稱為指距．根據(jù)最近人體構(gòu)造學(xué)的研究成果表明，一般情況下人的身高h(yuǎn)是指距d的一次函數(shù)．下表是測(cè)得的指距與身高的一組數(shù)據(jù)：指距d（cm）20212223身高h(yuǎn)（cm）160169178187根據(jù)上表解決下面這個(gè)實(shí)際問(wèn)題：姚明的身高是226厘米，他的指距為（）A．26.8厘米 B．26.9厘米 C．27.5厘米 D．27.3厘米2．如圖，一次函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．3 C．2 D．13．如圖所示，購(gòu)買一種蘋果，所付款金額（單元：元）與購(gòu)買量（單位：千克）之間的函數(shù)圖像由線段和射線組成，則一次購(gòu)買千克這種蘋果，比分五次購(gòu)買，每次購(gòu)買千克這種蘋果可節(jié)?。ǎ〢．元 B．元 C．元 D．元4．“元旦”期間，老李一家自駕游去了離家320千米的某地，下面是他們離家的距離y（千米）與汽車行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象，當(dāng)他們離目的地還有20千米時(shí)，汽車一共行駛的時(shí)間是（）A．1.25小時(shí) B．4小時(shí) C．4.25小時(shí) D．4.75小時(shí)5．在全民健身越野賽中，甲乙兩選手的行程y（千米）隨時(shí)間（時(shí)）變化的圖象（全程）如圖所示．有下列說(shuō)法：①前半小時(shí)甲選手的速度為8千米/時(shí)；②第1小時(shí)兩人都跑了10千米；③甲比乙先到達(dá)終點(diǎn)；④甲選手的速度一直比乙慢．其中正確的說(shuō)法有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．一列動(dòng)車從甲地開往乙地，一列普通列車從乙地開往甲地，兩車均勻速行駛并同時(shí)出發(fā)，設(shè)普通列車行駛的時(shí)間為x（小時(shí)），兩車之間的距離為y（千米），若如圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．甲、乙兩地相距1000千米B．點(diǎn)B的實(shí)際意義是兩車出發(fā)后3小時(shí)相遇C．普通列車從乙地到達(dá)甲地時(shí)間是9小時(shí)D．動(dòng)車的速度是250千米/小時(shí)7．1號(hào)探測(cè)氣球從海拔5m處出發(fā)，與此同時(shí)2號(hào)探測(cè)氣球從海拔15m處出發(fā)，兩個(gè)氣球所在位置的海拔y（單位：m）關(guān)于上升時(shí)間x（單位：min）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)上升________min時(shí)，兩球之間的距離是5m．8．某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在檢驗(yàn)藥效時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥時(shí)后血液中含藥量最高，達(dá)微克/毫升，接著逐步衰減，服藥時(shí)后血液中含藥盤達(dá)微克/毫升，每毫升血液中含藥盤（微克）隨著時(shí)間（時(shí)）的變化如圖所示．（1）當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用時(shí)，求出時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果每毫升血液中含藥量為微克或微克以上時(shí)，治療疾病是有效的，那么有效時(shí)間有多長(zhǎng)?9．如圖，直線與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且兩直線相交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積．

10．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個(gè)相約登山，他們同時(shí)從入口處出發(fā)，甲步行登山到山頂，乙先步行15分鐘到纜車站，再乘坐纜車到達(dá)山頂．甲、乙距山腳的垂直高度y（米）與甲登山的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)當(dāng)時(shí)，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求乙乘坐纜車上升過(guò)程中，和甲處于同一高度時(shí)距山腳的垂直高度．11．在購(gòu)買某場(chǎng)足球賽門票時(shí)，設(shè)購(gòu)買門票為（張），總費(fèi)用為（元）．現(xiàn)有兩種購(gòu)買方案：方案一：若單位贊助廣告費(fèi)5000元，則該單位所購(gòu)門票的價(jià)格為每張50元；（總費(fèi)用=廣告贊助費(fèi)+門票費(fèi)）方案二：購(gòu)買門票方式如下圖所示：解答下列問(wèn)題：（1）方案一中，y與x的函數(shù)關(guān)系式為______；方案二中，當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為______，當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為______；（2）如果購(gòu)買本場(chǎng)足球賽門票超過(guò)100張，你將選擇哪一種方案，使總費(fèi)用最??？請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）某校與部隊(duì)聯(lián)合開展紅色之旅研學(xué)活動(dòng)，上午7：00，部隊(duì)官兵乘坐軍車從營(yíng)地出發(fā)，同時(shí)學(xué)校師生乘坐大巴從學(xué)校出發(fā)，沿公路（如圖1）到愛(ài)國(guó)主義教育基地進(jìn)行研學(xué)，上午8：00，軍車在離營(yíng)地的地方追上大巴并繼續(xù)前行，到達(dá)倉(cāng)庫(kù)后，部隊(duì)官兵下車領(lǐng)取研學(xué)物資，然后乘坐軍車按原速前行，最后和師生同時(shí)到達(dá)基地，軍車和大巴離營(yíng)地的路程s（km）與所用時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．

(1)求大巴離營(yíng)地的路程s與所用時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式及a的值，(2)求部隊(duì)官兵在倉(cāng)庫(kù)領(lǐng)取物資所用的時(shí)間．【高分突破】1．如圖直線l1：y=ax+b，與直線l2：y=mx+n交于點(diǎn)A（1，3），那么不等式ax+b＜mx+n的解集是（）A．x＞3

B．x＜3

C．x＞1

D．x＜12．如圖是鄰居張大爺去公園鍛煉及原路返回時(shí)離家的距離y（千米）與時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象信息，下列說(shuō)法不正確的是（）A．張大爺去時(shí)所用的時(shí)間多于回家的時(shí)間．B．張大爺在公園鍛煉了40分鐘C．張大爺去是走上坡路，回家時(shí)走下坡路D．張大爺去時(shí)的速度比回家時(shí)的速度慢3．甲、乙兩車從城出發(fā)勻速行駛至城，在整個(gè)行駛過(guò)程中，甲、乙兩車離開城的距離（千米）與甲車行駛的時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論：①，兩城相距300千米；②乙車比甲車晚出發(fā)1小時(shí)，卻早到1小時(shí)；③乙車出發(fā)后2.5小時(shí)追上甲車；④當(dāng)甲、乙兩車相距40千米時(shí)，或，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．甲、乙兩車分別從地出發(fā)勻速行駛到地，在整個(gè)行駛過(guò)程中，甲、乙兩車離開城的距離與甲車行駛的時(shí)間之間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①兩地相距；②乙車比甲車晚出發(fā)1小時(shí)，卻比甲車早到1小時(shí)；③乙車出發(fā)后4小時(shí)時(shí)追上甲車；④甲，乙兩車相距時(shí)，或4.5．A．1 B．2 C．3 D．45．一列慢車從地駛往地，一列快車從地駛往地．兩車同時(shí)出發(fā)，各自抵達(dá)目的地后停止，如圖所示，折線表示兩車之間的距離（km）與慢車行駛時(shí)間（h）之間的關(guān)系．當(dāng)快車到達(dá)地時(shí)，慢車與地的距離為____km．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線分別