專訓(xùn)14.2.2 完全平方公式應(yīng)用+與面積有關(guān)問題-簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)之2021-2022學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)考點(diǎn)專訓(xùn)（解析版）（人教版）

專訓(xùn)14.2.2完全平方公式應(yīng)用+與面積有關(guān)問題一、單選題1．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】各項(xiàng)利用合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，冪的乘方和積的乘方以及完全平方公式計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：A、原式不能合并，不符合題意；B、原式=2a-2a2，符合題意；C、原式=-a3b6，不符合題意；D、原式=a2+2ab+b2，不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．2．計(jì)算（a﹣3）2的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2﹣6a+9 B．a(chǎn)2+6a+9 C．a(chǎn)2﹣6a+3 D．a(chǎn)2﹣6a+6【答案】A【分析】利用完全平方公式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】（a﹣3）2＝a2﹣6a＋9，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．3．下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】A選項(xiàng)考查的是同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減；B選項(xiàng)不是同類項(xiàng)，不能相加減；C選項(xiàng)考查的是積的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)分別相乘；D選項(xiàng)考查的是完全平方和公式．【詳解】解：A．，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．不是同類項(xiàng)，無法運(yùn)算，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．，故C選項(xiàng)正確；D．，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的除法、同類項(xiàng)的運(yùn)算，以及積的乘方，完全平方公式等運(yùn)算，熟練掌握各類運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．若，下列等式：①②③④⑤，其中錯(cuò)誤的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】利用完全平方公式以及平方差公式，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：故①說法正確；故②說法錯(cuò)誤；故③說法正確，④說法錯(cuò)誤；，故⑤說法正確；錯(cuò)誤的有2個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘法公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．5．與下列哪個(gè)代數(shù)式的和是完全平方式（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式求解即可．【詳解】解：∵，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查完全平方公式，熟記公式的構(gòu)成形式是解題的關(guān)鍵．6．已知多項(xiàng)式x2﹣2kx+16是完全平方式則k的值為（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8【答案】B【分析】根據(jù)完全平方式得出，再求出答案即可．【詳解】解：多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，，解得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，能熟記完全平方式是解此題的關(guān)鍵，注意：完全平方式有：和．7．x2+mx+16是一個(gè)完全平方式，則m的值為（）A．4 B．8 C．4或﹣4 D．8或﹣8【答案】D【分析】先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定m的值．【詳解】解：∵x2＋mx＋16是一個(gè)完全平方式，∴＝16，解得m＝8或m＝﹣8．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是完全平方式，熟練掌握完全平方式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二、多選題8．定義運(yùn)算：下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的幾種結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）A． B．C．若，則 D．若，則或【答案】ACD【分析】先根據(jù)的運(yùn)算法則，分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算得出正確結(jié)果，最后判斷出所選的結(jié)論．【詳解】A、，故本選項(xiàng)正確；B、，，不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、若，則；故本選項(xiàng)正確；D、若，則或，故本選項(xiàng)正確；正確結(jié)論的是：ACD；故答案為：ACD．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．三、填空題9．已知：，，則的值是_____________【答案】3【分析】根據(jù)完全平方公式可得：，，兩式相減即可求解．【詳解】解：∵，∴，即①，∵，∴②，由①-②，得：，解得：．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握，是解題的關(guān)鍵．10．若，，則________．【答案】29【分析】根據(jù)完全平方公式變形計(jì)算即可得解．【詳解】∵

∴∴故答案為29．【點(diǎn)睛】本題考查整體代入法和完全平方公式，掌握這兩點(diǎn)是解題關(guān)鍵．11．邊長(zhǎng)分別為a和b的兩個(gè)正方形按如圖的樣式擺放，則圖中的陰影部分的面積為___．【答案】【分析】結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：陰影部分的面積=大正方形的面積的+小正方形的面積-兩個(gè)直角三角形的面積．【詳解】解：圖中的陰影部分的面積為＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是列出求陰影部分面積的式子．12．代數(shù)與幾何的聯(lián)手?。?）(a+b)2與(a－b)2有怎樣的聯(lián)系，能否用一個(gè)等式來表示兩者之間的關(guān)系?并嘗試用圖形來驗(yàn)證你的結(jié)論（2）若x滿足（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20，則（40﹣x）2+（x﹣30）2的值為_____．（3）若x滿足（x﹣3）（x﹣1）＝，則（x﹣3）2+（x﹣1）2的值為_____．（4）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE＝14，CG＝30，長(zhǎng)方形EFGD的面積是200，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長(zhǎng)方形，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果必須是一個(gè)具體的數(shù)值）【答案】（1），見解析；（2）140；（3）8.5；（4）1056【分析】（1）用完全平方公式展開，找到兩式子的聯(lián)系即可；根據(jù)問題構(gòu)建以a和b為邊長(zhǎng)的正方形面積即可；（2）利用兩數(shù)和的完全平方公式變形即可求出值；（3）利用兩數(shù)差的完全平方公式變形即可求出值；（4）依據(jù)已知圖形，用含x的代數(shù)式表示出各線段的長(zhǎng)，陰影部分面積為正方形的面積，然后利用（1）的結(jié)論，利用兩數(shù)和與差的完全平方公式消去x，即可求出陰影部分的面積．【詳解】（1）∴用圖驗(yàn)證如下：（2）∵（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20∴（40﹣x）2+（x﹣30）2=故答案為：140（3）∵（x－3）（x﹣1）＝∴（x﹣3）2+（x﹣1）2=故答案為：8.5（4）∵四邊形ABCD的邊長(zhǎng)為x∴ED=x-14，DG=x-30∵長(zhǎng)方形EFGD的面積為200∴ED×DG=200∴(x-14)(x-30)=200∵四邊形NGDH和MEDQ都是正方形∴FN=FG+GN=FG+GD=(x-14)+(x-30)，MF=ME+EF=ED+EF=(x-14)+(x-30)∴=1056故答案為：1056【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式中乘法公式的靈活運(yùn)用，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握完全平方公式特點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．四、解答題13．計(jì)算（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法以及乘法公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵．14．先化簡(jiǎn)，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．【答案】﹣x﹣y，1【分析】原式中括號(hào)里利用完全平方公式，平方差公式，以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并后利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x與y的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x=（x2-4xy+4y2+x2-4y2-4x2+2xy）÷2x=（-2x2-2xy）÷2x=-x-y，當(dāng)x=1，y=-2時(shí)，原式=-1+2=1．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．15．已知，（為任意實(shí)數(shù)），試探索、的大小關(guān)系并說明理由．【答案】，理由見解析【分析】由題意表示出P-Q，再根據(jù)化簡(jiǎn)后的代數(shù)式的特征即可作出判斷．【詳解】解：∵P=，Q=∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式在代數(shù)式的值大小比較中的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式及求差比大小的方法，是解題的關(guān)鍵．16．若三邊，，滿足，試判斷的形狀．【答案】等邊三角形【分析】根據(jù)題意，將代數(shù)式進(jìn)行變形即可【詳解】即即即是等邊三角形【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，等邊三角形的判定，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．17．閱讀理解：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．參考上述過程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，則x2+y2＝，（x+y）2＝；（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．【答案】（1）5，1；（2）124【分析】（1）根據(jù)x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，可求出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，進(jìn)而再求出（x+y）2的值，（2）把（m﹣p）看作一個(gè)整體，就轉(zhuǎn)化為（1），再利用（1）的方法求解即可．【詳解】解：（1）∵x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝5﹣4＝1，故答案為：5，1；（2）∵m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，∴（m﹣p）2+n2＝（m﹣p+n）2﹣2（m﹣p）n＝100+24＝124．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式．18．（1）填空：________________；（2）若，求的值；（3）若，求的值．【答案】（1）2，2；（2）23；（3）7．【分析】（1）用完全平方公式進(jìn)行解答即可得，（2）用完全平方公式進(jìn)行解答即可得，（3）先將變形為，即可求得．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴；（2）；（3），，，則．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用完全平方公式．19．若，，求和的值．【答案】49，169【分析】根據(jù)完全平方公式及其公式變形求解即可．【詳解】，，【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．20．若滿足，求的值．閱讀下面求解的方法：解：設(shè)，，則，∵，∴，∴．請(qǐng)仿照上面的方法求解下面的問題：（1）若滿足，求的值；（2）如圖，正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，，長(zhǎng)方形的面積是，分別以、為邊作正方形，若，則①，（用含的代數(shù)式表示）；②直接寫出圖中陰影部分的面積．【答案】（1）；（2）①，；②【分析】（1）設(shè)，，則，可得，再利用完全平方公式，即可求解；（2）①由，，可求得，再由正方形的邊長(zhǎng)相等，可得；②根據(jù)題意可得，可設(shè)，，則，從而求出，，再利用平方差公式，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)，，則，∵，∴，∴；（2）①∵，，∴，在正方形中，，∵，∴，②∵長(zhǎng)方形的面積是，∴，即，設(shè)，，則，∴，∴，∴，∴或（舍去），∴陰影部分的面積=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式和平方差公式，并會(huì)利用類比思想是解題的關(guān)鍵．21．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a、寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）觀察圖2，請(qǐng)你直接寫出下列三個(gè)代數(shù)式（a＋b）2，（a－b）2，ab之間的等量關(guān)系為；（2）運(yùn)用你所得到的公式解答下列問題：①若m、n為實(shí)數(shù)，且m＋n＝－2，mn＝－3，求m－n的值．②如圖3，S1、S2分別表示邊長(zhǎng)為a，b的正方形的面積，且A、B、C三點(diǎn)在一條直線上．若S1＋S2＝20，AB＝a＋b＝6，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）；（2）①±4；②8【分析】（1）根據(jù)圖2，用面積相等列出等量關(guān)系即可；（2）①由第一問知：，結(jié)合已知條件，代入數(shù)值，求解即可；②由題意知：，，所以可以由，得到的值，即可得到陰影部分的面積．【詳解】解：（1）（2）①由第一問知：故所以即②因?yàn)樗砸驗(yàn)樗杂忠驗(yàn)椋宜运浴军c(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的實(shí)際應(yīng)用，掌握好數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．22．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4b、寬為a的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．（1）觀察圖2請(qǐng)你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是．（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值．（3）變式應(yīng)用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值．【答案】（1）（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2；（2）±4；（3）-8【分析】（1）由觀察圖形可得，（a-b）2+4ab=（a+b）2；（2）由（1）題結(jié)論（a-b）2+4ab=（a+b）2可得，（a-b）2=（a+b）2-4ab，將x+y=5，xy=代入，可求得（x-y）2的值，最后就可求出結(jié)果；（3）由（a+b）2=a2+2ab+b2得，ab=(a+b)2?(a2+b2)2，運(yùn)用整體代入法可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）由題意得圖1中長(zhǎng)方形面積為4ab，圖2中陰影部分面積是（a﹣b）2，整體面積是（a+b）2，∴（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2，故答案為：（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2；（2）由（1）題結(jié)論（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，當(dāng)x+y＝5，xy＝時(shí)，∴（x﹣y）2＝52﹣4×，＝16，∴x﹣y＝±＝±4，（3）由（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab＝，∴（2019﹣m）（m﹣2021），＝{[（2019﹣m）+（m﹣2021）]2﹣[（2019﹣m）2+（m﹣2021）2]}，＝[（﹣2）2﹣20]，＝×（﹣16），＝﹣8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合與完全平方公式的變形應(yīng)用能力，解決本題的關(guān)鍵能將公式變形應(yīng)用．23．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖①的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖②的大正方形．（1）觀察圖②，請(qǐng)你寫出代數(shù)式（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系是；（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系，解決下列問題；①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值．【答案】（1）；（2）①3；②【分析】（1）正方形的總面積等于各部分面積和，就可得出答案；（2）①由，可知，再代入（1）中的結(jié)論，即可求得的值；②用換元法，令，則，，代入原式化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【詳解】解：（1）由正方形的總面積等于各部分面積和，得到：；（2）①∵∴又∵，且∴∴②令，則，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式的應(yīng)用，平分根的運(yùn)算，根據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解題是關(guān)鍵．24．學(xué)習(xí)整式乘法時(shí)，老師拿出三種型號(hào)卡片，如圖．（1）利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，計(jì)算：；（2）選取張型卡片，張型卡片，則應(yīng)取張型卡片才能用他們拼成一個(gè)新的正方形，此新的正方形的邊長(zhǎng)是（用含，的代數(shù)式表示）；（3）選取張型卡片在紙上按圖的方式拼圖，并剪出中間正方形作為第四種型卡片，由此可檢驗(yàn)的等量關(guān)系為；（4）選取張型卡片，張型卡片按圖的方式不重復(fù)的疊放長(zhǎng)方形框架內(nèi)，已知的長(zhǎng)度固定不變，的長(zhǎng)度可以變化，且．圖中兩陰影部分（長(zhǎng)方形）的面積分別表示為，，若，則與有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）4，；（3）；（4）或，見解析．【分析】（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則解題；（2）利用完全平方公式解題；（3）由圖可知型卡片的面積為，是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形的面積減去張型卡片的面積，即，據(jù)此得到等量關(guān)系；（4）根據(jù)圖形列等量關(guān)系，，再結(jié)合計(jì)算解題即可．【詳解】解：（1），故答案為：；（2）取張型卡片，張型卡片，面積之和為：，由完全平方公式的幾何背景可知，一個(gè)正方形的面積可以表達(dá)成一個(gè)完全平方公式，即，故應(yīng)取4張型卡片能拼成一個(gè)新的正方形，此正方形的邊長(zhǎng)為：，故答案為：4，；（3）選取張型卡片在紙上按圖的方式拼圖，由圖可知，型卡片是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，也可以是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，減去張型卡片的面積，即，即得到等量關(guān)系：，故答案為：；（4）設(shè)MN的長(zhǎng)度為x，或（舍去）或或．【點(diǎn)睛】本題以數(shù)形結(jié)合的方式巧妙考查了完全平方公式的幾何背景，題目新穎獨(dú)特，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．25．如圖1，是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．（1）自主探究：如果用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，從而發(fā)現(xiàn)一個(gè)等量關(guān)系是；（2）知識(shí)運(yùn)用：若x﹣y＝5，xy＝6，則（x+y）2＝；（3）知識(shí)遷移：設(shè)A＝，B＝x+2y﹣3，化簡(jiǎn)（A﹣B）2﹣（A+B）2的結(jié)果；（4）知識(shí)延伸：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝9，代數(shù)式（2019﹣m）（m﹣2021）＝．【答案】（1）（a-b）2=(a+b）2-4ab；（2）（x+y）2＝49；（3）﹣x2+6x﹣9+4y2；（4）【分析】（1）陰影部分是邊長(zhǎng)為（a﹣b）的正方形，根據(jù)正方形的面積公式可得面積為（a﹣b）2，陰影部分也可以看作邊長(zhǎng)為（a+b）的大正方形面積減去4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形的面積，即為（a+b）2﹣4ab，于是可得等式；（2）由（1）得（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，代入計(jì)算即可；（3）（A﹣B）2﹣（A+B）2化簡(jiǎn)結(jié)果為﹣4AB，再代入計(jì)算即可；（4）設(shè)A＝2019﹣m，B＝m﹣2021，則A+B＝﹣2，A2+B2＝9，由（A+B）2＝A2+B2+2AB可求出AB的值，即可得出答案．【詳解】解：（1）圖2中的陰影部分是邊長(zhǎng)為（a﹣b）的正方形，因此面積為（a﹣b）2，圖2的陰影部分也可以看作邊長(zhǎng)為（a+b）的大正方形面積減去4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形的面積，即為（a+b）2﹣4ab，所以有：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案為：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）由（1）得（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，當(dāng)x﹣y＝5，xy＝6，則（x+y）2＝52+4×6＝49，故答案為：49；（3）∵A＝，B＝x+2y﹣3，∴原式＝A2﹣2AB+B2﹣（A2+2AB+B2）＝﹣4AB＝﹣4??（x+2y﹣3）＝﹣（x﹣3﹣2y）（x﹣3+2y）＝﹣[（x﹣3）2﹣（2y）2]＝﹣（x2﹣6x+9﹣4y2）＝﹣x2+6x﹣9+4y2；（4）設(shè)A＝2019﹣m，B＝m﹣2021，則A+B＝2019﹣m+m﹣2021＝﹣2，A2+B2＝9，∵（A+B）2＝A2+B2+2AB，∴4＝9+4AB，∴AB＝﹣，即（2019﹣m）（m﹣2021）＝﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式變形是解決問題的前提．26．認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)圖①中的條件，試用兩種不同方法表示兩個(gè)陰影圖形的面積的和．方法1：____________________；方法2：____________________．（2）從中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來：____________________；（3）利用（2）中結(jié)論解決下面的問題：如圖②，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為m，n，如果m＋n＝mn＝4，求陰影部分的面積．【答案】（1）a2＋b2；（a＋b）2－2ab；（2）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab；（3）2【分析】（1）用兩個(gè)正方形面積相加或用大正方形面積減去兩個(gè)矩形面積均可表示陰影部分面積；（2）陰影部分面積相等即可得到等式；（3）用、表示出陰影部分面積，再變形成含和的形式，將代入即可得答案．【詳解】解：（1）陰影部分面積可表示為兩個(gè)正方形面積的和，即；陰影部分面積也可表示為大正方形面積減去兩個(gè)矩形面積，即，故答案為：，；（2）陰影部分面積相等，即得：，故答案為：；（3）陰影部分的面積，陰影部分的面積，，陰影部分的面積，答：陰影部分面積為2．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將陰影部分面積用含、的代數(shù)式表示出來，再變形成含和的形式．27．利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識(shí)能解決代數(shù)式一些問題，觀察下列式子：①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此，代數(shù)式x2+4x+2有最小值﹣2；②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代數(shù)式﹣x2+2x+3有最大值4；閱讀上述材料并完成下列問題：（1）代數(shù)式x2﹣4x+1的最小值為；（2）求代數(shù)式﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10的最大值；（3）如圖，在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長(zhǎng)為100米的木柵欄圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，為了設(shè)計(jì)一個(gè)盡可能大的花圃，設(shè)長(zhǎng)方形垂直于圍墻的一邊長(zhǎng)度為x米，則花圃的最大面積是多少？【答案】（1）-3；（2）3；（3）當(dāng)x=25時(shí)，花圃的最大面積為1250平方米【分析】（1）將代數(shù)式x2-4x+1配方可得最值；（2）將代數(shù)式-a2-b2-6a+4b-10配方可得最值；（3）利用長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，表示出花圃的面積再利用配方法即可解決問題．【詳解】解：（1）x2-4x+1=（x2-4x+4）-3=（x-2）2-3，∵（x-2）2≥0，∴（x-2）2-3≥-3，原式有最小值是-3；故答案為：-3；（2）-a2-b2-6a+4b-10=-（a2+6a+9）-（b2-4b+4）+3=-（a+3）2-（b-2）2+3，∵（a+3）2≥0，（b-2）2≥0，∴-（a+3）2≤0，-（b-2）2≤0，∴-（a+3）2-（b-2）2+3的最大值為3；（3）花圃的面積：x（100-2x）=（-2x2+100x）平方米；-2x2+100x=-2（x-25）2+1250，∵當(dāng)x=25時(shí)，100-2x=50＜100，∴當(dāng)x=25時(shí)，花圃的最大面積為1250平方米．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法，利用配方法可以確定最值問題，屬于中考?？碱}型．28．先化簡(jiǎn)再求值：[a3+（2a﹣b）（2a+b）﹣4（a+b）2+5b2]÷(a)，其中a＝2，b＝1．【答案】3a2﹣24b，﹣12．【分析】直接利用乘法公式化簡(jiǎn)，再合并同類項(xiàng)，再利用整式除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：[a3+（2a﹣b）（2a+b）﹣4（a+b）2+5b2]÷(a)＝[a3+4a2﹣b2﹣4（a2+2ab+b2）+5b2]÷()＝（a3+4a2﹣b2﹣4a2﹣8ab﹣4b2+5b2）÷()＝（a3﹣8ab）÷()＝a3÷(a)﹣8ab÷()＝3a2﹣24b；當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，原式＝3×22﹣24×1＝3×4﹣24＝12﹣24＝﹣12．【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值，正確運(yùn)用乘法公式化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．29．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，72【分析】根據(jù)平方差公式和完全平方公式以及合并同類項(xiàng)法則，先化簡(jiǎn)，再代入求值．【詳解】解：原式===，當(dāng)時(shí)，原式=．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握平方差公式和完全平方公式以及合并同類項(xiàng)法則是解題的關(guān)鍵．30．問題再現(xiàn)：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．例如：利用圖形的幾何意義推證完全平方公式．將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形的邊長(zhǎng)增加b，形成兩個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)正方形，如圖1，這個(gè)圖形的面積可以表示成：或∴這就驗(yàn)證了兩數(shù)和的完全平方公式，問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法推證：？如圖2，A表示1個(gè)的正方形，即：，B表示1個(gè)的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)的正方形，因此：B，C，D就可以表示2個(gè)的正方形，即：，而A，B，C，D恰好可以拼成一個(gè)的大正方形，由此可得：．圖2嘗試解決：請(qǐng)你類比上述推導(dǎo)過程，探究：_____________；（直接寫出結(jié)論，不必寫出解題過程）類比歸納：請(qǐng)用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：_____________．（直接寫出結(jié)論，不必寫出解題過程）拓展延伸：（1）圖3是由棱長(zhǎng)