專題1.5 特殊四邊形中的折疊問題的四大題型（北師大版）（原卷版）

專題1.5特殊四邊形中的折疊問題的四大題型【北師大版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學(xué)生對特殊四邊形中的折疊問題的四大題型的理解！【題型1矩形中的折疊問題】1．（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐【操作感知】如圖①，在矩形紙片ABCD的AD邊上取一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM、BM．∠DPM=60°，則∠MBC的大小為【遷移探究】如圖②，將矩形紙片換成正方形紙片，將正方形紙片ABCD按照【操作感知】進行折疊，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．（1）判斷△MBQ與△CBQ的關(guān)系并證明．（2）若正方形ABCD的邊長為4，點P為AD中點，則CQ的長為．2．（2023春·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期末）已知長方形ABCD(對邊平行且相等，四個角都是直角)中，AB=6，AD=8，點P在邊BC上，且不與點B、C重合，直線AP與DC的延長線交于點E．

(1)如圖1，當(dāng)點P是BC的中點時，求證：△ABP≌△ECP；(2)如圖2，將△APB沿直線AP折疊得到△APB'，點B'落在長方形ABCD的內(nèi)部，延長PB'交直線①證明FA=FP，并求出在1條件下AF的值；②連接B'C，求3．（2023春·湖南岳陽·九年級校考期中）如圖，將矩形紙片ABCDAD>AB折疊，使點C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC、AD相交，設(shè)折疊后點C、D的對應(yīng)點分別為點G、H，折痕分別與邊BC、AD相交于點E、F

(1)判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論．(2)若CD=2，GD=16，求DF的長．4．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期末）數(shù)學(xué)課上老師讓學(xué)生們折矩形紙片．由于折痕所在的直線不同，折出的圖形也不同，所以各個圖形中所隱含的“基本圖形”也不同．我們可以通過發(fā)現(xiàn)基本圖形，來研究這些圖形中的幾何問題．

問題解決：（1）如圖1，將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使得點C與點A重合，點D落在點D1的位置，連接MC，AN，AC，線段AC①△CDM與△AD1M的關(guān)系為，線段AC與線段MN的關(guān)系為，小強量得∠MNC=50°，則②小麗說：“圖1中的四邊形ANCM是菱形”，請你幫她證明．拓展延伸：（2）如圖2，矩形紙片ABCD中，BC=2AB=6cm，BM=4cm，小明將矩形紙片ABCD沿直線AM折疊，點B落在點B1的位置，MB1交AD綜合探究：（3）如圖3，ABCD是一張矩形紙片，AD=1，AB=5，在矩形ABCD的邊AB上取一點M（不與A和B點重合），在邊CD上取一點N（不與C和D點重合），將紙片沿MN折疊，使線段MB與線段DN交于點P，得到△MNP，請你確定△MNP面積的取值范圍5．（2023春·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期末）【問題背景】矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點P在AB邊上，點Q在BC邊上，將紙片沿PQ折疊，使頂點B落在點E處．

【初步認(rèn)識】（1）如圖1，折痕的端點P與點A重合．①當(dāng)∠CQE=50°時，∠AQB=__________°；②若點E恰好在線段QD上，則BQ的長為__________；【深入思考】（2）若點E恰好落在邊AD上．①如圖2，過點E作EF∥AB交PQ于點F，交BC于點G，連接BF．請根據(jù)題意，補全圖2并證明四邊形PBFE是菱形；②在①的條件下，當(dāng)AE=3時，求PQ的長；【拓展提升】（3）如圖3，若DQ⊥PQ，連接DE，若△DEQ是以DQ為腰的等腰三角形，求BQ的長．6．（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)研究課上，老師帶領(lǐng)大家探究《折紙中的數(shù)學(xué)問題》時，出示如圖①所示的長方形紙條ABCD，其中AD=BC=2，AB=CD=10．然后在紙條上任意畫一條線段MN，將紙片沿MN折疊，MB與DN交于點K，得到△MNK．如圖②所示：

【基礎(chǔ)回顧】(1)在圖②中，若∠1=52°，∠MKN＝【操作探究】(2)改變折痕MN位置，△MNK始終是______三角形，請說明理由；(3)愛動腦筋的小明在研究△MNK的面積時，發(fā)現(xiàn)KN邊上的高始終是個不變的值．根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，他很快研究出△KMN的面積最小值為2，此時∠1的大小可以為______；【拓展延伸】(4)小明繼續(xù)動手操作進行折紙，發(fā)現(xiàn)了△MNK面積存在最大值，請你求出這個最大值．7．（2023春·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）小明嘗試著將矩形紙片ABCD（如圖1，AD>CD）沿過點A的直線折疊，使得點B落在AD邊上的點F處，折痕為AE（如圖2）；再沿過點D的直線折疊，使得點C落在AD邊上的點N處，點E落在AE上的點M處，折痕為DG（如圖3）．若第二次折疊后，點M正好在∠NDG的平分線上，連接DM，且CD=1，則AD＝．

8．（2023春·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖是一張矩形紙片ABCD，點E在邊BC上，且滿足AB=2BE，把△ABE沿直線AE折疊，使點B落在點F處，EF的延長線與邊CD交于點G．若CG=DG，則CEBE=

【題型2菱形中的折疊問題】1．（2023春·安徽淮南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，BC=4，∠B=120°，點E是AD的中點，點F是AB上一點，以EF為對稱軸將△EAF折疊得到△EGF，以CE為對稱軸將△CDE折疊得到△CHE，使得點H落到EG上，連接AG．下列結(jié)論錯誤的是（

）

A．∠CEF=90° B．CE∥AG C．FG=1.6 D2．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=2，點E是邊AB上一點，以DE為對稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點B的對應(yīng)點為點H，折痕為EF且交BC于點F．

（1）∠DEF=；（2）若點E是AB的中點，則DF的長為．3．（2023秋·河南開封·九年級開封市第十三中學(xué)校考期末）如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，M為邊AB的中點，N為邊BC上一動點（不與點B重合），將△BMN沿直線MN折疊，使點B落在點E處，連接DE，CE，當(dāng)△CDE為等腰三角形時，BN的長為．

4．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學(xué)校考期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AC=6，菱形ABCD的面積為24，點E是邊AB上一點，將菱形ABCD沿DE折疊，使B、C的對應(yīng)點分別是B'、C'，若∠BEB'=90°，則

5．（2023春·廣西來賓·九年級?？计谀┤鐖D，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕為EF，若DG=2，AD=6，則BE的長為．

6．（2023春·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD中，AB=2，M為邊AB上的一點，將菱形沿DM折疊后，點A恰好落在BC的中點E處，則AM=．

7．（2023春·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，菱形紙片ABCD的邊長為6cm，∠ABC=60°，將菱形ABCD沿EF，GH折疊，使得點B，D兩點重合于對角線BD上的點P（如圖2）．若AE=2BE，則六邊形AEFCHG的面積為cm

【題型3正方形中的折疊問題】1．（2023春·陜西西安·九年級校考期末）在正方形ABCD中，點G是邊DC上的一點，點F是直線BC上一動點，F(xiàn)E⊥AG于H，交直線AD于點E．（1）當(dāng)點F運動到與點B重合時(如圖1)，線段EF與AG的數(shù)量關(guān)系是________．（2）若點F運動到如圖2所示的位置時，（1）探究的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明：如果不成立，請說明理由．（3）如圖3，將邊長為6的正方形ABCD折疊，使得點A落在邊CD的中點M處，折痕為PQ，點P、Q分別在邊AD、BC上，請直接寫出折痕PQ的長．2．（2023春·山西大同·九年級校聯(lián)考期中）綜合與實踐問題情境：在數(shù)學(xué)綜合與實踐活動課上，老師以“正方形的折疊問題”為主題開展數(shù)學(xué)活動.如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使得邊AB與CD重合，展開鋪平，折痕為PQ.然后，再將正方形紙片沿著過點C的直線折疊，此時點B恰好落在折痕PQ的點F處，展開鋪平，設(shè)CE與PQ交于點G，連接BG，得到圖2.

(1)操作發(fā)現(xiàn)：小康發(fā)現(xiàn)，四邊形BGFE是菱形，請說明理由；(2)問題解決：若正方形ABCD的邊長為6，求FQ的長；(3)問題拓展：如圖3，M是正方形ABCD的邊AD上一點，正方形ABCD的邊長為8，連接BM，將△ABM沿著BM折疊，使得點A落在正方形ABCD的內(nèi)部點K處，連接DK，求出DK的最小值.3．（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）【模型建立】如圖1，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE⊥BF，AE與BF相交于點P．AE，BF有什么數(shù)量關(guān)系?請說明理由．

【遷移應(yīng)用】如圖2，請僅用無刻度的直尺畫圖（保留作圖痕跡，不用證明）（1）以AB為邊畫正方形ABCD；（2）取CD中點E，連接AE：（3）在AD上找點G，連接BG，使BG=AE．

【拓展提升】如圖3，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，將正方形沿EF折疊，點A，D的對應(yīng)點分別為A'，D'，使得點A'始終落在邊BC上，A'D（1）若AB=5，BA'=2（2）點E，F(xiàn)在邊AB，CD上運動時，連接AG，則∠A

4．（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）動手操作：利用“正方形紙片的折疊”開展數(shù)學(xué)活動，探究在正方形折疊的過程中圖形的變化及其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法．

折一折：如圖1，已知正方形ABCD的邊長AB=6，將正方形ABCD沿過點A的直線折疊，使點B的對應(yīng)點M落在AC上，展開正方形ABCD，折痕為AE，延長EM交CD于點F，連接AF．思考探究：（1）圖1中，與△ABE全等的三角形有________個，∠EAF=________，BE、EF、DF三者的數(shù)量關(guān)系是________．轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置，與BC、CD的交點分別為E、F，連接EF．證明推理：（2）圖2中，BE、EF、DF三者的數(shù)量關(guān)系是________，并給出證明．開放拓展：（3）如圖3，在旋轉(zhuǎn)∠EAF的過程中，當(dāng)點F為CD的中點時，BE的長為________．5．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期中）點E．F分別為正方形ABCD邊AD．AB上的點，連接CE，DF交于點P．(1)如圖1，若DE=AF，則線段DF與CE具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？說明理由．(2)如圖2，若E為AD中點，F(xiàn)為AB中點，求證BP=BC．(3)若將正方形ABCD折疊，使得A點的對應(yīng)點A'落在BC邊上，折痕MN分別交AB，CD于M，N．若正方形的的邊長為6，線段A'B=2，則DN的長為．6．（2023春·廣東江門·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐：如圖1，已知正方形紙片ABCD．實踐操作第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD沿AC，BD分別折疊．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于點O．第二步：如圖2，將正方形ABCD折疊，使點B的對應(yīng)點E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF與BD相交于點G，然后展平，連接GE，EF．問題解決（1）∠AGD的度數(shù)是______；（2）如圖2，請判斷四邊形BGEF的形狀，并說明理由；探索發(fā)現(xiàn)（3）如圖3，若AB=1，將正方形ABCD折疊，使點A和點F重合，折痕分別與AB，DC相交于點M，N．求MN7．（2023春·海南省直轄縣級單位·九年級統(tǒng)考期末）已知正方形ABCD的邊長AB=6，將正方形ABCD沿過點A的直線折疊，使點B的對應(yīng)點M落在AC上，展開正方形ABCD，折痕為AE，延長EM交CD于點F，連接AF．則∠EAF=°，BE的長為．

【題型4坐標(biāo)系中的折疊問題】1．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期中）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、C的坐標(biāo)分別為0,a和b,0，且a，b滿足b=a-8+8-a+4．將矩形OABC沿對角線AC所在的直線折疊，點B落在點

(1)a=___________，b=___________；(2)試證明△ADE≌△COE，并直接寫出點E的坐標(biāo)；(3)若點F是線段AC上的一個動點，則EF+OF的最小值為___________；(4)平面內(nèi)是否存在點M與點N使四邊形ACMN為正方形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2017春·北京豐臺·九年級統(tǒng)考期中）已知菱形OABC在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，O是坐標(biāo)原點，點C(1,2)，點A在x軸上，點M(0，2)．(1)點P是直線OB上的動點，求PM+PC最小值.(2)將直線y=-x-1向上平移，得到直線y=kx+b.①當(dāng)直線y=kx+b與線段OC有公共點時，結(jié)合圖像，直接寫出b的取值范圍.②當(dāng)直線y=kx+b將四邊形OABC分成面積相等的兩部分時，求k，b．（只需寫出解題的主要思路，不用寫出計算結(jié)果）.3．（2023春·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形OABC為矩形，其中O為原點，A、C兩點分別在x軸和y軸上，B點的坐標(biāo)是（4，7）．點D，E分別在OC，CB邊上，且CE：EB＝5：3．將矩形OABC沿直線DE折疊，使點C落在AB邊上點F處．（1）求F點的坐標(biāo)；（2）點P在第二象限，若四邊形PEFD是矩形，求P點的坐標(biāo)；（3）若M是坐標(biāo)系內(nèi)的點，點N在y軸上，若以點M，N，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出所有滿足條件的點M和點N的坐標(biāo)．4．（2023春·天津南開·九年級統(tǒng)考期末）將一個矩形紙片OABC放置于平面直角坐標(biāo)系中，點O0,0，點B10,6，點A在x軸，點C在y軸．在AB邊上取一點D，將△CBD沿CD翻折，點B恰好落在邊OA上的點E處．

(1)如圖1，求點E坐標(biāo)和直線CE的解析式；(2)點P為x軸正半軸上的動點，設(shè)OP=t．①如圖2，當(dāng)點P在線段OA（不包含端點A，O）上運動時，過點P作直線l∥y軸，直線l被△CED截得的線段長為d．求d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；②在該坐標(biāo)系所在平面內(nèi)找一點G，使以點C，E，P，G為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出點G的坐標(biāo)．5．（2023春·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形OABC的頂點A、C分別位于x軸和y軸的正半軸上，線段OA、OC的長度滿足：OA-15+OC-9=0，點N在OC上，將△BCN沿直線BN折疊，點C恰好落在x軸上的點D

(1)求點B的坐標(biāo)；(2)求直線BN的解析式；(3)坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點P，使以B、N，D、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請說明理由并求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2023春·陜西西安·九年級西安市曲江第一中學(xué)校考期末）如圖1，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點B落在邊AD（含端點）上，落點記為E．這時折痕與邊BC或者邊CD（含端點）交于