新高考數(shù)學一輪復習提升訓練5.1 三角函數(shù)的定義（精講）（解析版）

5.1三角函數(shù)的定義（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一扇形的弧長與面積【例1-1】（2022·廣東廣東·一模）數(shù)學中處處存在著美，機械學家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為SKIPIF1<0，則其面積是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由條件可知，弧長SKIPIF1<0，等邊三角形的邊長SKIPIF1<0，則以點A、B、C為圓心，圓弧SKIPIF1<0所對的扇形面積為SKIPIF1<0，中間等邊SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0所以萊洛三角形的面積是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【例1-2】（2022·江蘇·徐州市第七中學高三階段練習）已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上兩點，動點SKIPIF1<0從SKIPIF1<0出發(fā)，沿著圓周按逆時針方向走到SKIPIF1<0，其路徑長度的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的終邊，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的終邊上，設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0優(yōu)弧的圓心角為SKIPIF1<0弧長=SKIPIF1<0，故選:C【例1-3】（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習（文））在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P在長方體的面上運動，且滿足SKIPIF1<0，則P的軌跡長度為（

）A．12π B．8π C．6π D．4π【答案】C【解析】如圖，SKIPIF1<0在左側面的軌跡為弧SKIPIF1<0，在后側面的軌跡為弧SKIPIF1<0，在右側面的軌跡為弧SKIPIF1<0，在前側面內的軌跡為弧SKIPIF1<0.易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴P的軌跡長度為6π，故選：C.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）希波克拉底是古希臘醫(yī)學家，他被西方尊為“醫(yī)學之父”，除了醫(yī)學，他也研究數(shù)學．特別是與“月牙形”有關的問題．如圖所示．陰影郭分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是SKIPIF1<0的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該月牙形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的外接圓的圓心為O，半徑為R，如圖所示，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，內側圓弧為SKIPIF1<0的外接圓的一部分，且其對應的圓心角為SKIPIF1<0，則弓形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，外側的圓弧以SKIPIF1<0為直徑，所以半圓SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則月牙形的面積為SKIPIF1<0.故選：A．2．（2022·全國·高三專題練習）在棱長為6的正方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0（包括邊界）上運動，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點的軌跡周長為________.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，在棱長為6的正方體SKIPIF1<0中，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，如圖，在平面SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，化簡整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0的圓，所以SKIPIF1<0點的軌跡為圓SKIPIF1<0與四邊形SKIPIF1<0的交點，即為圖中的SKIPIF1<0其中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由弧長公式知SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）若球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常量），且球面上兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最短距離為SKIPIF1<0，經過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點的平面SKIPIF1<0截球所得的圓面與球心的距離為SKIPIF1<0，則在此圓面上劣弧SKIPIF1<0所在的弓形面積為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，球面上兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最短距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設經過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點的平面SKIPIF1<0截球所得的圓面為圓SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以截面圓圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在此圓面上劣弧SKIPIF1<0所在的弓形面積為扇形SKIPIF1<0的面積減去SKIPIF1<0的面積，即為：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.考點二三角函數(shù)的定義【例2-1】（2022·河南）在平面直角坐標系中SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的終邊經過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D．【例2-2】（2022·全國·模擬預測）已知角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的頂點為坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，角SKIPIF1<0的終邊過點SKIPIF1<0，將角SKIPIF1<0的終邊順時針旋轉SKIPIF1<0得到角SKIPIF1<0的終邊，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題知，點SKIPIF1<0到原點的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.【一隅三反】1．（2022·內蒙古赤峰·高三期末（文））在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0和角SKIPIF1<0的頂點均與原點O重合，始邊均與x軸的非負半軸重合，它們的終邊關于直線SKIPIF1<0對稱，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】角SKIPIF1<0和角SKIPIF1<0的終邊關于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．故選：C．2．（2022·新疆昌吉·一模（文））在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，已知角SKIPIF1<0的終邊與圓SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由三角函數(shù)定義可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．3．（2022·重慶八中高三階段練習）在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的始邊為SKIPIF1<0軸的非負半軸，終邊與單位圓SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0在第一象限內.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為角SKIPIF1<0的終邊與單位圓SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0在第一象限內，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（舍）；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.故選：C.考點三判斷三角函數(shù)值的正負【例3-1】．（2022·全國·高三專題練習）已知角SKIPIF1<0第二象限角，且SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】因為角SKIPIF1<0第二象限角,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0是偶數(shù)時，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0為第一象限角；當SKIPIF1<0是奇數(shù)時，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0為第三象限角.；綜上所述：SKIPIF1<0為第一象限角或第三象限角，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為第三象限角．故選：C．【例3-2】（2022·陜西·西安中學模擬預測（文））已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0另解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C【例3-3】（2022·全國·高三專題練習（理））若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的化簡結果是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：C．【一隅三反】1．（2022·重慶八中高三階段練習）（多選）已知角SKIPIF1<0的頂點與原點重合，始邊與SKIPIF1<0軸的非負半軸重合，終邊經過點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列各式的符號無法確定的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】由三角函數(shù)定義，SKIPIF1<0，所以，對于A選項，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以選項A符號無法確定；對于B選項，SKIPIF1<0，所以選項B符號確定；對于C選項，SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以選項C的符號無法確定；對于D選項，SKIPIF1<0，所以選項D符號確定.所以下列各式的符號無法確定的是AC選項.故選：AC.2（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0是第二象限角，則下列選項中一定正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0是第二象限角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為第三或第四象限角或終邊在SKIPIF1<0軸負半軸上，所以選項A不一定正確；可能不存在SKIPIF1<0，選項B也不一定正確；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是第一象限或第三象限角，則選項C正確，選項D不一定正確.故選:C．3．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為陰影區(qū)域內的動點（不包括邊界），這里SKIPIF1<0，則下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設與SKIPIF1<0相平行的直線的方程為SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．則由圖中陰影部分可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，這里SKIPIF1<0．則一定有SKIPIF1<0．考點四三角函數(shù)線【例4-1】（2021·河南·高三階段練習（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：D【例4-2】（2022·河南·南陽市第二完全學校高級中學高一階段練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】先證明：當0＜x＜SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0如圖，角x終邊為OP，其中點P為角x的終邊與單位圓的交點，PM⊥x軸，交x軸與點M，A點為單位圓與x軸的正半軸的交點，AT⊥x軸，交角x終邊于點T，則有向線段MP為角x的正弦線，有向線段AT為角x的正切線，設弧PA＝l＝x×1＝x，由圖形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0又由函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0又由函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故選：C．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）已知點SKIPIF1<0在第一象限，則在SKIPIF1<0內的SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知點SKIPIF1<0在第一象限得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：B．2．（2022·全國·高三專題練習）設SKIPIF1<0,則下列命題:①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0是單調減函數(shù).其中真命題的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3