基于二維偏微分方程解的吸引子拓撲結構分岔的宏觀經(jīng)濟建模

基于二維偏微分方程解的吸引子拓撲結構分岔的宏觀經(jīng)濟建模

一對經(jīng)濟周期的理論經(jīng)濟研究非常重視經(jīng)濟的自發(fā)變化。各個時代、各種流派都對此進行了許多分析,也有許多建樹。維克塞爾指出,“資本的自然利率”與“真實的貨幣利率”之間的差異,引起間接作用過程和累積過程,將使經(jīng)濟產(chǎn)生周期性擴張和收縮。米爾達爾更進一步認為,“資本的自然利率”實際上是實物資本的邊際生產(chǎn)率,從而把理論與實際拉近了一步。哈伯勒在1937年把已經(jīng)問世的經(jīng)濟周期理論劃分為六種:純貨幣理論,投資過度論,消費不足論,心理理論,收獲論,凱恩斯的經(jīng)濟周期理論;他自己則指出:經(jīng)濟波動是一個自然累積和走向終結的相互轉化過程。凱恩斯開創(chuàng)了宏觀總量經(jīng)濟分析方法,以資本所有者的沖動投資作為經(jīng)濟周期的起因。但從該理論體系出發(fā)導致的經(jīng)濟周期是外生型的。而薩繆爾森更進一步擴展了凱恩斯的“沖動”范圍,把“沖動消費”也納入其中,提出由加速數(shù)—乘數(shù)相互作用產(chǎn)生周期。諾德豪斯開創(chuàng)性地研究了政府行為對經(jīng)濟周期的影響。盧卡斯則分析了市場信息對于供需雙方的影響,認為供需雙方的信息是不對稱的,故而可由此導致產(chǎn)生經(jīng)濟周期。20世紀下半葉,產(chǎn)生了一場被稱之為“非線性產(chǎn)生混沌”的革命,大家比之20世紀初遭遇漂浮在物理界的“光速不變”和“紫外災難”兩朵烏云時有著更多的心理準備和探索意識。人們歡呼并目睹著這種曾被科學史家?guī)於鳉w納、描繪為“科學范式”的革命如何在眼前發(fā)生、展開、站住腳根、生根開花結果。科學家們更是躍躍欲試,大量的領域被圈入到這場革命的領地,經(jīng)濟學也不例外。從證券交易所的股票價格變動,從延續(xù)了一個世紀之久的棉花價格變化,從長長短短的經(jīng)濟周期,在各種各樣的層次上,經(jīng)濟學發(fā)現(xiàn)了混沌存在的各種蹤跡。本文的論證就是基于這樣的認識和這樣的經(jīng)濟學事實。二不動點及其穩(wěn)定性為了下文研究宏觀經(jīng)濟的需要,我們先討論可用二維非線性微分方程表示的動力系統(tǒng)解在相平面上的拓撲結構形式與它可能的種種變化?？紤]定義在開集W?R2上的兩維帶參數(shù)μ∈Rn的動力系統(tǒng):˙x=f(x,y,μ)?˙y=g(x,y?μ).(1)x˙=f(x,y,μ)?y˙=g(x,y?μ).(1)或者它的矢量形式:˙x=Φ(x,μ),x∈W?R2?μ∈Rn?(2)x˙=Φ(x,μ),x∈W?R2?μ∈Rn?(2)微分動力系統(tǒng)方程Φ(x,μ)通常也被看成一個矢量場。如果記Φt是系統(tǒng)Φ(x,μ)的軌跡或者流線。當存在一個時間序列t→∞,使limt→∞Φt(x,μ)=l?limt→∞Φt(x,μ)=l?則稱點集l∈W為x∈W的一個吸引子。x∈W的所有吸引子集合L={l1,l2,l3,…}被定義為吸引子集合。開集W上的吸引子既可以連通也可以不連通;既可以僅為一個,也可以多為無限個。分析的目標是了解微分動力系統(tǒng)的最終趨向,即微分動力系統(tǒng)解在相平面上的吸引子集合。首先,我們看相平面W內這樣的一個區(qū)域U,在這個區(qū)域U的邊界C上,所有穿越邊界的流線都是從外進入該區(qū)域的內部。于是,人們可以斷言,此區(qū)域U內部必定有吸引子(圖1)。其所以有上述結論,是按照拓撲學的一條最著名的定理:每一個平面向著自身的連續(xù)映射,即公式(1)的不斷求解,必然至少存在一個不動點。不動點的含義是由平面這點重新又映射到平面自身的這點。對于圖1中的U區(qū)域來說,能進不能出,這就是說,U區(qū)域內的點不管怎樣映射,總還是落于U區(qū)域內,決不可能逸出U區(qū)域的邊界。這意味著這樣的微分動力系統(tǒng)肯定存在著如此情景:x*=Φt(x*,μ)。而在不動點上,又必然有著˙x*=Φ(x*,μ)=0x˙?=Φ(x?,μ)=0這一特征(圖2)。但是,不動點是可以分類的。根據(jù)系統(tǒng)受到干擾后,開始位于不動點上的狀態(tài)點是持續(xù)地離開該不動點還是最終回歸該不動點,不動點分成不穩(wěn)定的和穩(wěn)定兩類。如何說明該點的穩(wěn)定性呢?方法很簡單,給系統(tǒng)在不動點x*處加以小小的擾動后,看擾動的持續(xù)發(fā)展是不斷擴大,還是不斷縮小,還是被限止在一定范圍內。在不動點x*處,即(x0,y0)處施以擾動δx和δy,將x0+δx和y0+δy代入方程(1),取不動點δ(x0,y0)處雅可比矩陣J,可得線性方程δ˙x=?f?x|x0?y0δx+?f?y|x0?y0δy,(3)δ˙y=?g?x|x0?y0δx+?g?y|x0?y0δy.δx˙=?f?x|x0?y0δx+?f?y|x0?y0δy,(3)δy˙=?g?x|x0?y0δx+?g?y|x0?y0δy.由常微分理論知,線性方程(3)應有著eλt形式的線性組合解。其中的λ是雅可比矩陣J的特征值。雅可比矩陣為下列形態(tài)(?f?x?f?y?g?x?g?y)x0?y0(4)????f?x?g?x?f?y?g?y???x0?y0(4)如果令p=-trJ,q=detJ,則特征值λ滿足下面的特征方程λ2+pλ+q=0.(5)它的解是λ1,2=-p2±√p24-qλ1,2=?p2±p24?q?????√.(6)在參數(shù)平面(p,q)上,由p和q決定根λ的各種各樣流線分布情況見圖3。由于解的基本形式是eλt,如果根λ的實部Reλ≠0的情況時,方程(3)的解不是指數(shù)性的增長,就是指數(shù)性的衰減。前者對應著不動點(x0,y0)附近的不穩(wěn)定性,微量擾動δx和δy必將指數(shù)性地被放大增加。后者對應不動點(x0,y0)附近的穩(wěn)定性,微量擾動δx和δy不但不會擴大,相反,它們將指數(shù)性地縮小。在圖3中,對應著動力系統(tǒng)穩(wěn)定的區(qū)域僅是p>0和q>0這一塊子區(qū)域,此中,包括向內吸引的匯點和不斷向內旋進的穩(wěn)定焦點;而p,q取值落在其他區(qū)域導致動力系統(tǒng)都不穩(wěn)定。由圖3中看,它們包括向外發(fā)散的源點、不斷向外旋出的不穩(wěn)定焦點和在某兩個方向上向內吸引,而又在另外兩個方向上向外發(fā)散的鞍點。p,q兩個坐標軸和p2=4q這條曲線,把整個p-q坐標平面分成了五個部分。在這五個部分的內部區(qū)域,解的拓撲結構完全相同。在以上的前提條件下,線性方程(3)和非線性方程(1)在相平面不動點(x0,y0)附近解的拓撲結構完全相同。如果線性方程(3)得到的結果是匯點,那么非線性方程(1)得到結果也一定是匯點。線性方程(3)得到的結果是不穩(wěn)定焦點,那么非線性方程(1)得到結果也一定是不穩(wěn)定焦點。順此類推。我們一旦了解了線性方程(3)的穩(wěn)定與不穩(wěn)定情況,也就了解了非線性方程(1)在不動點附近的穩(wěn)定和不穩(wěn)定情況。但是,自然界是不斷變化的,描述自然界某種運行的一個動力系統(tǒng)結構也在不斷地變化。在數(shù)學上,我們可以把一個動力系統(tǒng)的這種結構變化認為是受參數(shù)μ的控制,這相當于雅可比矩陣中的每一個系數(shù)都是參數(shù)μ的函數(shù)。當參數(shù)μ發(fā)生變化后,使得p(μ)=-trJ(μ)和q(μ)=detJ(μ)數(shù)值變動。絕大部分情況下,p(μ),q(μ)的變動,并不會導致動力系統(tǒng)解的拓撲結構發(fā)生變化,源仍是源,匯仍是匯,因為此時,p(μ),q(μ)變化前后仍處在同一區(qū)域內。但是,不能排除,也有的時候μ的變化,會導致p(μ),q(μ)從一個區(qū)域進入另一個區(qū)域,這樣,系統(tǒng)解的拓撲結構就一定發(fā)生變化。當然,我們最關心的是動力系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化。當隨著μ變化,雅可比矩陣的特征值λ發(fā)生雙曲性破壞,這時位于圖3上p-q右上平面(代表穩(wěn)定平面)上的點,可能會越過豎直軸q或者水平軸p,分別進入左上和右下不穩(wěn)定區(qū)域內,或者沿著p2=4q曲線,越過O點。這時,系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生了深刻的變化——系統(tǒng)的吸引子會從一種形態(tài)變成另一種形態(tài)。吸引子的這種性質上的變化,已被授予一個專門的名詞——分岔。見圖4。首先,我們看一看在p-q右上平面上的點越過垂直軸q,系統(tǒng)會產(chǎn)生什么變化。只要受μ驅動的點運動的路徑不是正巧經(jīng)過原點O,即在原點O的上方經(jīng)過q軸,此刻,有著Reλ=0,解的結構就有著e±iat形式。這提示,系統(tǒng)的運動是一種圓周性的周期運動。這相當于,系統(tǒng)由原來穩(wěn)定于(x0,y0)不動點的靜止狀態(tài),突然開始呈現(xiàn)環(huán)繞(x0,y0)不動點,作不停旋轉的圓周運動。系統(tǒng)前后處于兩種運動性質,這就是一種分岔,它被稱作霍普分岔。當點越過q軸繼續(xù)向左推進,則系統(tǒng)的運動是一種從焦點向外不停旋出的螺旋運動。霍普分岔后,動力系統(tǒng)是否穩(wěn)定?這時,僅著眼不動點(x0,y0)附近區(qū)域進行分析遠遠不夠,還必然要考察非線性方程(1)有意義的大范圍區(qū)域,即圖1中的U區(qū)域。運用一條被稱作龐加萊—班狄克生的定理可以判斷此刻的系統(tǒng)是否穩(wěn)定。該定理說:如果x-y相平面上一條簡單閉曲線C1套在簡單閉曲線C2的外面,C1曲線上的矢量都指向內部,而C2曲線的矢量都指向外部;并且,C1和C2所圍成的環(huán)形區(qū)域內不再有不動點,那么,這個環(huán)形區(qū)域內必定有一個穩(wěn)定的極限環(huán)。在此,我們看到圖1規(guī)定的U區(qū)域邊界C上軌道穿越指向至關重要,它必須總是指向U區(qū)域內部。而我們又可以在不動點(x0,y0)附近作一封閉曲線,此時,從不動點向外螺旋旋出的軌線族總是自內向外穿越此封閉曲線。由這兩條封閉曲線形成的環(huán)形區(qū)域內要是沒有不動點的話,我們可以斷定,環(huán)形區(qū)域內必然存在著一個極限環(huán)。此刻,系統(tǒng)的穩(wěn)定解是一個環(huán)繞不動點不停旋轉的周期運動。其次,讓我們看一看在p-q右上平面上的點越過水平軸p時,系統(tǒng)會發(fā)生什么變化。在水平軸的上方,因為有著q=0+,所以得到λ1=-ε和λ2=-p,ε是一個極小的正數(shù)。而在水平軸的下方,因為有著q=0-,所以得到λ1=+ε和λ2=-p。水平軸上方,不動點應是匯點;水平軸下方,不動點就是鞍點。鞍點解的形式是Ae+εt+Be-pt。解的這種形式,說明在x-y平面的一個特征矢量方向上,隨著時間t的正流逝,一個點將無限地接近不動點;而在另一個特征矢量方向上,隨著時間的倒溯流逝,另一個點也將無限地接近不動點。這就是說,系統(tǒng)就從原來的匯點穩(wěn)定狀態(tài)突然變成了鞍點的狀態(tài)。系統(tǒng)前后處于兩種狀態(tài),這又是一種分岔,被稱作為鞍—結分岔。當點越過p軸后深入下方,系統(tǒng)更是處在鞍點狀態(tài)。欲了解鞍—結分岔后,系統(tǒng)是否穩(wěn)定?這一分析過程更為復雜。我們仍要從動力系統(tǒng)式(1)有意義區(qū)域U的整體入手。因為在U區(qū)域的點,不管如何運動,都不可能跑出U區(qū)域外。我們設想,在無窮早的時刻-∞,有一個點離開(x0,y0)不動點出發(fā),隨著時間的流逝,它肯定在區(qū)域U內隨意漫游。如果U內沒有其它的吸引子,則它最后必將被吸引回原出發(fā)點(x0,y0)。按照定義,它回到原出發(fā)點的時刻是+∞。這個點在U區(qū)域內漫游行程畫出的軌道,稱作同宿軌道。在二維相平面內,由于式(1)的規(guī)定,區(qū)域U內的任一個點只有一個前進方向。如果同宿軌道自己相交的話,比如糾纏成8字形,那么在相交點上,必須會有兩個前進方向。既然點只能有一個前進方向,又怎么能向兩個不同方向運行呢?因此,同宿軌道自己不相交,也不會糾纏打結。它必定是一條簡單封閉曲線。又因為在(x0,y0)點上,有兩個出發(fā)方向,又有兩個歸宿方向,所以,從鞍點出發(fā)而又回歸的曲線必然畫出二個簡單的封閉曲線環(huán)。見圖5。兩條同宿軌道可以把U區(qū)域分成三個隔絕的部分。為什么如此?如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)落于同宿軌道上,則它的運動歸縮就是沿著同宿軌道奔向(x0,y0)不動點。如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)沒有落于同宿軌道上,則它永遠不會歸并到同宿軌道上。這是因為同宿軌道無窮早時刻-∞就已從(x0,y0)點出發(fā),它囊括了后來所有時刻落于同宿軌道上的系統(tǒng)初始狀態(tài)的歸宿。而不在同宿軌道上的系統(tǒng)初始狀態(tài),之后也就絕不會并于同宿軌道上。這就是兩條同宿軌道把U區(qū)域分成三個隔絕部分的理由。系統(tǒng)初始狀態(tài)落于那個部分,系統(tǒng)今后的運行狀態(tài)就必然歸于該部分,從不逾規(guī)。一旦動力系統(tǒng)初始狀態(tài)落在邊界C內和平臥8字形同宿軌道之外的環(huán)形區(qū)域內,它的運行狀態(tài)怎樣?結論是:只要在這個區(qū)域內沒有不動點的話,就有一個環(huán)繞于平臥8字形同宿軌道之外的周期運動穩(wěn)定解,即在此區(qū)域內存在著極限環(huán)。道理很簡單。我們想象,把這個環(huán)形區(qū)域分成若干個子區(qū)域,因為沒有不動點,這意味著˙x≠0?˙y≠0x˙≠0?y˙≠0。這樣,就不可能出現(xiàn)點狀的吸引子,又由于此,則這個子區(qū)域內也絕對不會產(chǎn)生極限環(huán)。這時,就應有雅可比矩陣的跡trJ不變號,也就是?f?x+?g?y在此子區(qū)域內的不變號。不用說,一個從一邊進入這個子區(qū)域內的點,總會從相對的另一個邊滑出這個子區(qū)域。由于,所有的子區(qū)域是從環(huán)形區(qū)域分割出來,一個子區(qū)域的出邊,必然是鄰接子區(qū)域的入邊,它們的合并保證了狀態(tài)點不斷向前運動時,順序經(jīng)過環(huán)形的每一個子區(qū)域,最終形成了一個周而復始的極限環(huán)。如果動力系統(tǒng)初始狀態(tài)落在平臥8字形兩個同宿軌道之內的一個區(qū)域中,那系統(tǒng)將又有怎樣的運行規(guī)律呢?對此的第一反映,則是此區(qū)域內必然存在至少一個新的不動點。因為,在圖1中已經(jīng)說明,一個區(qū)域內部的點連續(xù)不斷地映射到該區(qū)域內部的話,至少應存在著一個不動點。由于同宿軌道是一道戒備森嚴的隔絕“墻”,絕不會讓落進區(qū)域內部的點重新逸出。這樣,區(qū)域內的點按照公式(1)不斷地行進映射,必然會產(chǎn)生至少一個不動點。最后,讓我們看一看在p-q右上平面上的點沿著圖3中p2=4q曲線,越過垂直軸q后,系統(tǒng)會發(fā)生什么變化。點沿著p2=4q曲線移動,則雅可比矩陣J的特征值λ是重根,即λ1,2=-p2。當p>0時,λ<0,系統(tǒng)最終狀態(tài)被吸引于不動點,不動點是一匯點吸引子。而當p<0時,λ>0,系統(tǒng)狀態(tài)則從不動點處被排斥向外發(fā)散,不動點成為源點。按照上述霍普分岔的性質,可知,在U區(qū)域內,這種向外發(fā)散的運動也會形成一個環(huán)繞不動點旋轉的極限環(huán)。敘述至此,可以知道,一旦系統(tǒng)參數(shù)μ驅動點(p,q)從右上平面運行到其他平面中去后,相平面就從一個匯點吸引子,至少分岔出一個極限環(huán)。如果有可能出現(xiàn)鞍點的情景,則除了一個極限環(huán)外,在兩條同宿軌道內,還會出現(xiàn)兩個新的不動點。我們不妨縮小視野,對其中的一個同宿軌道的內部區(qū)域進行再分析。這樣的分析過程完全可以套用以上對于區(qū)域U的一切分析。在這個縮小的區(qū)域內,可以有自己的點狀吸引子,也可以有自己的極限環(huán)吸引子,甚至,還可以再出現(xiàn)自己的鞍點!如果出現(xiàn)了鞍點的話,我們又可以得到新的兩條同宿軌道。于是,又可以再套用這些分析。這樣的分析可以不斷地無窮地進行下去,這是所謂的自嵌套分析。它的無限遞歸可在區(qū)域U內形成了一個圖6所示的康托爾集合。而這種康托爾集合形式就是系統(tǒng)混沌出現(xiàn)的必要保證。由于大自然的巧合,一個二維的動力系統(tǒng)的結構參數(shù)μ恰使得它的狀態(tài)運動相平面形成了圖6的康托爾集合,那么,我們就可以判別出該動力系統(tǒng)最有可能采取的運動方式——極限環(huán)吸引子。經(jīng)過上面的討論后大家自然都很清楚:系統(tǒng)的運動,除了與系統(tǒng)的結構有關外,還必然與系統(tǒng)的初始狀態(tài)密切相關,即系統(tǒng)的初始點落在圖6的康托爾集合的哪一區(qū)域上。在康托爾集合中,雖然有著無窮多的雅可比矩陣J特征根λ的實部小于0的不動點,從而對它的小小鄰域中產(chǎn)生巨大的吸引力。但由最簡單的幾何等比級數(shù)可知,這些產(chǎn)生穩(wěn)定點區(qū)域的總和與整個康托爾集合區(qū)域相比,仍是無窮小。所以,把系統(tǒng)的初始狀態(tài)隨機地擲在康托爾集合中,一般地,它們當落在形成極限環(huán)的區(qū)域中,從而開始或大或小的周期循環(huán)。再考慮到系統(tǒng)的運行除了受到公式(1)決定性刻畫的作用之外,還會受到許多其他因素的影響。這些影響相當于把狀態(tài)點在康托爾集合中作有規(guī)律或者是隨機的移動,狀態(tài)點在各個極限環(huán)區(qū)域之間跳動,必然使得系統(tǒng)的運行呈現(xiàn)出豐富多彩的周期運行特性。三卡爾多s形投資函數(shù)與b點自1936年凱恩斯開創(chuàng)性地提出宏觀經(jīng)濟分析方法以來,人們?yōu)閷ふ液暧^經(jīng)濟周期波動的解釋進行了不懈的努力?？柖?940年提出的經(jīng)濟周期模型是在動態(tài)經(jīng)濟學中研究非線性作用的最初嘗試之一。在卡萊茨基關于商業(yè)周期的研究和凱恩斯理論的啟發(fā)下,他分析研究了儲蓄和投資函數(shù)之間的相互作用,并且檢驗了為呈現(xiàn)周期運動而對模型特征的基本要求。但是,卡爾多模型并沒有獲得應有的重視。由于該模型假設的非線性相當特殊,并且它對實際經(jīng)濟生活中的解釋也不能真正令人信服,所以,它起的基本作用不超過在高級宏觀經(jīng)濟教材中作練習之用。但是,有識之士一致認為,它與其他模型不同,這是一個真正具有內在自行發(fā)生周期變化的經(jīng)濟模型。同時由于它具有顯著的純樸表述、雅致風格,仍然受到人們的不斷重視和不停分析,也作為構造其他周期模型的胚模。下面我們簡略敘述這個模型。在每一時點上投資I均是國民實際產(chǎn)出Y的一個函數(shù),Ι=Ι(Y),dΙdY>0.(7)進而,考慮一個凱恩斯的儲蓄S函數(shù),S=S(Y),dSdY>0.(8)為了說明它們能夠導致經(jīng)濟產(chǎn)生周期運行,必需先闡述線性的投資和儲蓄函數(shù)相互作用情況。在圖7(a)中,由于表示著dSdY>dΙdY這么一種情景,一旦E點的均衡受到了干擾,經(jīng)濟運行還會重新返回平衡點E。于是,這種系統(tǒng)具有全局漸近穩(wěn)定的結構特征。而圖7(b),由于dSdY<dΙdY,一旦E點的均衡受到了干擾,經(jīng)濟運行將永遠離開平衡狀態(tài)E。此系統(tǒng)具有全局不穩(wěn)定的結構特征。僅是圖7所示的線性函數(shù),當然不會產(chǎn)生周期運行。卡爾多假設了相當特殊的S形投資函數(shù)I(Y)和鏡像的反S形儲蓄函數(shù)S(Y)。圖8中,這兩條函數(shù)曲線形成了A,B,和E三個交點。顯然,E點處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)上,而A點和B點都是漸近平衡處。從而,初始產(chǎn)出Y低于E點的將會有一個趨于低點B的調整過程,而初始產(chǎn)出Y高于E點的將有一個趨于高點A的調整過程。僅是圖8所示的S形函數(shù)仍然不會引發(fā)周期運動,最終結果只能得到兩者占一的低點或高點平衡。但是,投資函數(shù)I(Y)和儲蓄函數(shù)S(Y)并不恒定,這兩條曲線會在坐標系中上下浮動,從而導致周期運動。其過程機理是:在高點A附近處,投資I不斷投入,使得資本存量K不斷增加。但是,資本存量增加會降低資本的邊際收益。(這是假定在技術水平不變的情況下)這意味著對于每一產(chǎn)出水平Y而言,投資I會伴隨著資本存量K的增加而降低,投資曲線I就在高點附近整體下降。另一方面,在高點A附近處,隨著人們的財富積累,即對資本存量K的擁有增多,人們的積蓄愿望進一步增加,使得儲蓄曲線整體向上移動。兩條曲線一高一低的相對運動,使得原來間距很遠的E,A兩點逐漸接近,最終,E,A兩點融合成一個點:E-A。原本一直向右支撐著A點的力量突然失去,E-A點在前拉后推的兩股力量協(xié)同作用下,從高點的A向著低點的B退行。見圖9。退行至低點B處,因重新獲得了向右支撐的力量,經(jīng)濟系統(tǒng)又處于平衡中。這是一種痛苦的平衡:大量的工人失業(yè)和大量的企業(yè)破產(chǎn)。人們的儲蓄量急劇地減少,使得S儲蓄曲線逐漸地下降,而企業(yè)破產(chǎn)使得社會資本保有量K大大降低,能夠堅持生產(chǎn)廠家的資本邊際收益很高,這使得I投資慢慢升高。B點與E點越來越接近,最終形成了B-E點,此后,高昂的投資I帶動著國民生產(chǎn)總值Y不斷上升,最終在高點A重新達到了平衡。見圖10。自此而始,將重新進行一輪新的周期循環(huán)?？柖嗵岢龅慕?jīng)濟系統(tǒng)產(chǎn)生周期運動的必要條件可以用數(shù)學語言表達如下:(1)在Y≥0時,I(Y,K)>0,并且?Ι?Y≥0?？梢哉业揭粋€Y1,使得?2Ι?Y2>0當0<Y<Y1時,并且使?2Ι?Y2≤0當Y1<Y時。(2)在Y≥Y0>0時,S(Y,K)>0,并且?S?Y≥0?？梢哉业揭粋€Y2,使得?2S?Y2<0當0<Y<Y2時,并且使?2S?Y2≥0當Y2<Y時。(3)?Ι?Κ<0,?S?Κ>0。(4)在某一個YE上,存在有S(YE,K)=I(YE,K),并且在此點上,?Ι?Y|YE>?S?Y|YE。上面數(shù)學語言表達的卡爾多周期運行模型有兩個基本變量:生產(chǎn)總量Y和資本存量K。因此,可以用基本變量Y,K重建該模型,并且用更清晰的方法顯示出卡爾多模型的周期性。我們采用剝離了通貨膨脹的凈價值概念,建立兩維微分動力系統(tǒng)如下:˙Y=α[Ι(Y,Κ)-S(Y,Κ)]?˙Κ=Ι(Y,Κ)-β(Κ).(9)式中表示,總產(chǎn)出Y的變化率與投資數(shù)量I與儲蓄數(shù)量S之差成函數(shù)關系,資本存量K的變化率是投資數(shù)量I與資本折舊β(K)之差。為了保證該動力系統(tǒng)的運行軌道必然被限定在一個有意義的相關區(qū)域里,我們應該尋找一條簡單封閉曲線,并判定該曲線上的矢量均指向封閉曲線內部區(qū)域。首先,考慮能使資本存量不變的那些點(Y,K)的集合˙Κ=0=Ι(Y?Κ)-β(Κ).通過全微分可得:dΚdY|˙Κ=0=-ΙYΙΚ-βΚ>0.上式的dΚdY表示在YK相平面上,˙Κ=0的軌跡總為一條向上傾斜的曲線。之所以如此,是由于IY總是正值,IK總是負值,而βK隨著資本存量K的邊際增長,它也邊際增加。所以斜率的分子總為正,分母總為負,加上符號“-”的運算后,它總是大于0。˙Κ=0曲線形狀見圖11。很明顯,對于˙Κ=0曲線上面的所有K,由于IK-βK<0,它的變化率朝下,有˙Κ<0。反之,對于曲線˙Κ=0下面所有的K,有˙Κ>0。這樣,以曲線˙Κ=0為分界,它的上部,矢量的K分量都朝下,它的上部,矢量的K分量都朝上。其次,考慮能使總產(chǎn)出量Y不變的那些點(Y,K)的集合˙Y=0=α[Ι(Y,Κ)-S(Y,Κ)].此軌跡的在相平面上的斜率是dΚdY|˙Y=0=ΙY-SYSΚ-ΙΚ.因為SK>0,而IK<0,上式分母總大于0。又由于IY>0,SY>0,均為正值,分子的正負以及曲線的斜率就都取決于IY和SY的量值大小。對于高水平和低水平產(chǎn)出時,IY-SY<0,而對于中間水平產(chǎn)出時,IY-SY>0。因此,此曲線在高Y和低Y區(qū)間時,不斷向下傾斜,在中間Y區(qū)間時,卻昂頭返回向上。曲線走向見圖12。根據(jù)dΚdY|˙Y=0<0?>0?<0,把相平面分成高、中、低三個區(qū)域,在高和低區(qū)域中,由于IY-SY<0,對于曲線右邊(左邊)的點(Y,K),產(chǎn)出是減少的(增加的)。在中區(qū)域中,由于IY-SY>0,對于曲線右邊(左邊)的點(Y,K),產(chǎn)出是增加的的(減少的)。把這些結合標于圖12中,可以發(fā)現(xiàn),整個區(qū)域以˙Y=0曲線劃界,位于曲線右上方的Y分矢量均向左,說明產(chǎn)出減少;位于曲線左下方的Y分矢量均向右,說明產(chǎn)出增多。把圖11和圖12相疊加,得到圖13。作出矩形封閉曲線C1,則可看到,矩形的每一條邊上,都有一個分矢量與之平行,另一分矢量指向C1曲線內部區(qū)域。不言而喻,這表明穿越C1曲線的軌線僅為從外進內,而不可能從內向外。相平面中被C1包圍的內部區(qū)域,必然至少存在著一個不動點,示于圖13中,這就是˙Y=0和˙Κ=0兩條曲線的交點E。對于不動點的分類,可由位于不動點上的雅可比矩陣進行判斷。公式(9)在不動點E上的雅可比矩陣為J=[α′(ΙY-SY)α′(ΙΚ-SΚ)ΙYΙΚ-βΚ].(10)當不動點E是一個漸近穩(wěn)定點時,應有trJ<0和detJ>0同時成立。即{α′(ΙY-SY)+ΙΚ-βΚ<0,(SΚΙY-SYΙΚ)-βΚ(ΙY-SY)>0.(11)在一般的凱恩斯假設IY-SY<0的情況下,因α′,βK,SK均大于0,而IK<0,所以,不管如何,上式的結論都成立。故在這樣的情況下,不動點必定是一漸近穩(wěn)定點。公式(11)還可以化成下列的形式{ΙY-SY<βΚ-ΙΚα′,ΙY-SY<SΚΙY-SYΙΚβΚ.(12)此時,只要ΙY-SY<min(βΚ-ΙΚα′,SΚΙY-SYΙΚβΚ),即可保證不動點仍是一漸近穩(wěn)定點。這里我們看到,卡爾多當年所提出的當斜率IY-SY>0時,圖8的E點肯定是一個不穩(wěn)定點的結論是錯誤的。這可能是因為在圖形分析中,將資本存量K對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響忽略了。一旦trJ>0和detJ>0,系統(tǒng)發(fā)生了霍普分岔,不動點E變成一個旋出的焦點。此時公式(12)的上一式不等號改向,即{ΙY-SY>βΚ-ΙΚα′,ΙY-SY<SΚΙY-SYΙΚβΚ.(13)發(fā)生這種情景,可以是分子βK-IK變小,也可能是分母α′變大,或者兩者的同時組合變化,總之,可以在上述三個數(shù)的笛卡爾乘積集合中尋得一個臨界曲面μ0,使得臨界曲面μ0兩邊的元素恰使得上述不等號改向而發(fā)生霍普分岔。因為示于圖13區(qū)域邊界C1上的矢量一概朝內,所以,發(fā)生霍普分岔后,必在此區(qū)域中產(chǎn)生一個極限環(huán)吸引子。由此,經(jīng)濟系統(tǒng)自動開始周期性的波動振蕩。一旦系統(tǒng)不動點處的detJ>0變成了detJ<0后,系統(tǒng)就發(fā)生鞍—結分岔,此時的不動點是為鞍點類型。我們看一看此時系統(tǒng)參數(shù)間數(shù)值的相互關系。ΙYSY>SΚβΚ-1ΙΚβΚ-1.始發(fā)于這個鞍點并且最終歸宿于這個鞍點的兩條同宿軌道,可把系統(tǒng)的相平面分成了三個互相隔絕部分。系統(tǒng)的初始狀態(tài)落在哪個區(qū)域中,它的運動軌道就被限在那個區(qū)域部分中。如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)落在兩個同宿軌道之外的區(qū)域中,系統(tǒng)運行就是周期性的振蕩運動。但如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)落在兩個同宿軌道之中的一個區(qū)域,則系統(tǒng)運行規(guī)律就視該區(qū)域中新產(chǎn)生不動點處的雅可比行列式的性質而定。新的不動點可能是漸近吸引子,也可以是極限環(huán)吸引子,還可以是不穩(wěn)定的鞍點。對于后者來說,又