定量分析研究方法課件

1MPA定量分析方法

2引言1．為什么學(xué)定量分析方法？（1）實(shí)踐的需要； 社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，環(huán)境生態(tài)與水資源問題，能源問題，信息網(wǎng)絡(luò)與用戶，農(nóng)業(yè)問題，交通運(yùn)輸問題，科技教育與工程項(xiàng)目管理（2）理論研究的需要。32．學(xué)什么？（1）統(tǒng)計(jì)學(xué)①社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)：綜合指標(biāo)，動(dòng)態(tài)數(shù)列，統(tǒng)計(jì)指數(shù)，②數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)：基本概念（樣本，總體etc）,參數(shù)估計(jì)，如估計(jì)一批產(chǎn)品合格率假設(shè)檢驗(yàn)。如從一批產(chǎn)品中抽取200件，有次品兩件，則產(chǎn)品合格率的估計(jì)值是99％。現(xiàn)在規(guī)定一批產(chǎn)品的合格率若低于95％，則這批產(chǎn)品就不合格。提出假設(shè)合格率≥95％，那么如何判定這個(gè)假設(shè)正確，有多大把握，這即為假設(shè)檢驗(yàn)問題！4回歸分析：確定變量的相互關(guān)系和相關(guān)程度，建立相關(guān)模型，檢驗(yàn)變量間的相關(guān)程度并應(yīng)用相關(guān)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)etc函數(shù)關(guān)系（特殊相關(guān)關(guān)系）。線性相關(guān)與非線性相關(guān)。如：年齡與體重，銷售額與廣告費(fèi)用etc都具有一定的相關(guān)關(guān)系。方差分析影響產(chǎn)品質(zhì)量的因素很多：操作不當(dāng)，設(shè)備磨損，潮濕etc。分析哪些因素對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量起顯著作用，并了解什么時(shí)候最起作用，方差分析就是解決這一個(gè)問題的一種有效方法。5其他：多元統(tǒng)計(jì)分析，時(shí)間序列法，正交實(shí)驗(yàn)法etc。

主成分分析：在實(shí)際問題中，常遇到多指標(biāo)問題，不同指標(biāo)之間具有一定的相關(guān)性，增加了分析問題的難度。設(shè)法將原有指標(biāo)重新組合成一組相互獨(dú)立的少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)來代替原有指標(biāo)，并且反映指標(biāo)的主要信息。將多指標(biāo)化為少數(shù)獨(dú)立的綜合指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)方法即為主成分分析法！

6（2）決策學(xué)概論（3）經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)數(shù)量方法①時(shí)間序列法；②回歸分析法；③馬爾可夫法；④灰色模型法7（4）系統(tǒng)評(píng)價(jià)方法①模糊綜合評(píng)價(jià)法；②層次分析法（5）效用理論及應(yīng)用（6）基本決策方法貝葉斯決策法8（7）多目標(biāo)決策目標(biāo)規(guī)劃法、主成分法、因子分析法（8）博弈論初步及其應(yīng)用3．怎樣學(xué)？（1）了解基本思想（2）必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)94．參考書（1）決策理論與方法岳超源，科學(xué)出版社，1987年9月第1版（2）決策分析陳珽，科學(xué)出版社（3）商務(wù)決策數(shù)量方法李一智，徐選華，經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社（4）決策分析張家琦，首都師范大學(xué)出版社10（5）管理科學(xué)定量分析引論侯定丕，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社（6）灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用劉思峰等，科學(xué)出版社（7）多元統(tǒng)計(jì)分析于秀林等，中國統(tǒng)計(jì)出版社（8）數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)方法——線性和非線性規(guī)劃、不動(dòng)點(diǎn)理論.富蘭克林著，俞建等譯，198511（9）工商業(yè)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用的統(tǒng)計(jì)方法〔美〕羅伯特·D·梅森著人大出版社（10）管理研究應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)歐陽文安etc譯北京科學(xué)技術(shù)出版社（11）應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)袁衛(wèi)etc編著人大出版社12（12）應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)孫榮恒編著科學(xué)出版社（13）實(shí)用多元統(tǒng)計(jì)分析方開泰編著華東師范大學(xué)出版社（14）多元統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析——理論·方法·實(shí)例任若恩、王惠文著國防工業(yè)出版社13第一章數(shù)據(jù)的整理與抽樣14一、統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念（一）統(tǒng)計(jì)資料1．統(tǒng)計(jì)資料的定義、分類與性質(zhì)可以推導(dǎo)出某項(xiàng)論斷的事實(shí)或數(shù)字都稱為統(tǒng)計(jì)資料。統(tǒng)計(jì)資料是統(tǒng)計(jì)分析、統(tǒng)計(jì)推斷和預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)。統(tǒng)計(jì)資料分為原始（初級(jí)）資料（未加工）與次級(jí)資料（加工過）如：統(tǒng)計(jì)年鑒etc。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可分：度量數(shù)據(jù)（如銷量等）和品質(zhì)數(shù)據(jù)（性別、民族e(cuò)tc）152.統(tǒng)計(jì)資料收集的方法間接引用或直接收集3.統(tǒng)計(jì)資料收集的途徑直接觀察、訪問、問卷調(diào)查4.統(tǒng)計(jì)資料收集的組織方式可分：專門調(diào)查（普查，重點(diǎn)調(diào)查，抽樣調(diào)查，典型調(diào)查）和統(tǒng)計(jì)報(bào)表（自上而下地逐級(jí)提供統(tǒng)計(jì)資料的一種調(diào)查方法）16

（二）總體與個(gè)體1．定義凡是客觀存在的、具有統(tǒng)一性質(zhì)的若干個(gè)別事物的集合體，就稱為統(tǒng)計(jì)總體。構(gòu)成總體的個(gè)別事物稱為個(gè)體（總體單位）考察一批10000件產(chǎn)品的質(zhì)量情況，10000件產(chǎn)品＝總體，每一件產(chǎn)品＝一個(gè)個(gè)體。172.總體和個(gè)體的必備條件（1）客觀性總體和個(gè)體必須是客觀存在的具體事物。如：工業(yè)企業(yè)是總體（客觀存在），自然數(shù)（集合體）但非總體，因1，2，3，……是抽象的

“產(chǎn)品”，“糧食”非總體（2）大量性總體的個(gè)體須是大量的（足夠多）因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)的目的是反映大量現(xiàn)象的規(guī)律和特點(diǎn)。18（3）同質(zhì)性總體的個(gè)體在性質(zhì)上須相同，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)研究的目的是反映總體的特性。例如，將機(jī)械零件與書本放在一起，就不會(huì)得出整個(gè)總體的任何結(jié)論。（4）差異性如10000件產(chǎn)品雖屬同一種產(chǎn)品，但在質(zhì)量、顏色、尺寸等方面不盡相同。若所有個(gè)體都完全相同的話，就無必要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究了。如：同一種郵票800枚（同時(shí)出版）要研究這種郵票的面值、版面設(shè)計(jì)、圖案花紋etc，只需任取一枚郵票進(jìn)行鑒賞，就能通曉800枚郵票。這種研究方法不是統(tǒng)計(jì)方法。193．總體的分類按其包含的個(gè)體數(shù)目可分：有限總體與無限總體。按其個(gè)體的時(shí)間分：空間總體（個(gè)體處于同一時(shí)間的不同空間），如人口普查，全國總?cè)丝诩礊榭臻g總體，時(shí)間總體（個(gè)體處于同一空間的不同時(shí)間），如某商店一年的銷售情況，即是時(shí)間總體?？傮w與個(gè)體的概念是相對(duì)的！20（三）樣本1．定義樣本，是從總體中抽取出來進(jìn)行調(diào)查并據(jù)以推斷總體的那部分個(gè)體。樣本中包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量，用n表示，n>30，大樣本，反之，小樣本。樣本容量n與總體容量N的比，n/N稱為抽樣比，用f表示。212．樣本的類型（1）代表性樣本樣本單位頻數(shù)是某種特征的樣本占總樣本數(shù)的比例。總體的頻數(shù)是某種特征的個(gè)體占總體的比例若樣本單位頻數(shù)與總體的頻數(shù)成正比，則這種樣本稱之為代表性樣本。22（2）有偏樣本人為因素的影響，這種情況下的樣本稱為有偏樣本，是產(chǎn)生抽樣偏差的來源。（3）隨機(jī)樣本按隨機(jī)原則抽取的樣本。23（4）分層樣本（類型樣本）①將總體按某一標(biāo)志分成若干組。②再從各組中隨機(jī)抽樣?？疾烊珖ど唐髽I(yè)時(shí)，先按行業(yè)分組，再抽樣，以避免所選出的樣本集中在某一行業(yè)。代表性高。24（5）整群樣本按群抽樣的樣本。如：考察某市小學(xué)生身體發(fā)育情況，隨機(jī)抽取若干小學(xué)，對(duì)抽中小學(xué)的全體學(xué)生逐一考察。（省力省時(shí)）（6）系統(tǒng)抽樣按某種規(guī)律（如固定的間隔）在總體中抽取樣本的方法。如：按身份證的編號(hào)抽取尾數(shù)，為了進(jìn)行居民收入狀況調(diào)查。但當(dāng)總體呈現(xiàn)某種系統(tǒng)規(guī)律時(shí)（周期律）則不能采用，否則有系統(tǒng)誤差。25(四)標(biāo)志標(biāo)志是一種名稱，不是具體數(shù)字，是對(duì)個(gè)體某一特征質(zhì)的規(guī)定。標(biāo)志在個(gè)體的不同取值叫標(biāo)志值。其具體表現(xiàn)是文字值或數(shù)值。學(xué)習(xí)成績分別為80，98，91，86等成績=標(biāo)志分?jǐn)?shù)是標(biāo)志值26

標(biāo)志可分為：數(shù)量標(biāo)志：表明個(gè)體數(shù)量方面的特征（如成績）品質(zhì)標(biāo)志：個(gè)體屬性方面的特征（性別）不變標(biāo)志（性別）可變標(biāo)志（成績）27二、抽樣方法1.簡單隨機(jī)抽樣（樣本同分布，抽樣相互獨(dú)立）每個(gè)個(gè)體被抽中的可能性相等。如：抽簽。2.分層隨機(jī)抽樣先分組，在分別從各組中簡單隨機(jī)抽樣，可增大樣本代表性，推斷結(jié)果準(zhǔn)確性高，層內(nèi)差異小，層間差異大。283.整群抽樣將總體分成若干群，在隨機(jī)抽一部分群體做樣本，并對(duì)這些群體的所有個(gè)體全面調(diào)查，隨機(jī)抽組法與組內(nèi)普查法的結(jié)合。4.系統(tǒng)隨機(jī)抽樣法（等距抽樣或機(jī)械抽樣）基本思想：對(duì)于容量為N的總體，將個(gè)體編號(hào)從1到N。若要抽取容量為n的樣本，則應(yīng)先從編號(hào)為1到K(K=［N/n］)的K個(gè)個(gè)體中，隨機(jī)抽取一個(gè)，然后，按照一定的規(guī)律，抽取個(gè)體，順次得到容量為n的樣本。舉例（略）29三、數(shù)據(jù)的整理與圖形表示。（一）分組按一定的變異標(biāo)志，將總體分成若干部分，統(tǒng)計(jì)分組是分組整理的基礎(chǔ)?？蓜澐稚鐣?huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的類型，研究現(xiàn)象的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。統(tǒng)計(jì)分組的要求和基本原則（略）。（二）數(shù)據(jù)的圖形表示餅圖、直方圖、尋形圖、柱狀圖etc表示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，顯直觀。30四、數(shù)據(jù)的描述性指標(biāo)（一）集中趨勢(shì)

1.均值，是算術(shù)平均數(shù)，是數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的最重要測(cè)度值。（1）原始數(shù)據(jù)：

31（2）分組后的數(shù)據(jù)：xi表示第i組的組中值，fi表示第i組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)均值反映了數(shù)據(jù)的數(shù)量集中的特征，是數(shù)據(jù)偶然性、隨機(jī)性特征相互抵消后的穩(wěn)定數(shù)值，反映了一些數(shù)據(jù)必然的特點(diǎn)。

32（3）幾何平均數(shù)G=ai為第i期發(fā)展速度或各個(gè)比率。332.中位數(shù)（中數(shù)）中位數(shù)是將數(shù)據(jù)按大小順序排隊(duì)后，位置處在最中間的那個(gè)數(shù)。不受極端值（大、?。┑挠绊?。如數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則最中間兩數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)。343.上四分位數(shù)（設(shè)為xi），則i=[]xi

表示約有1/4的數(shù)據(jù)比xi

大，3/4的數(shù)據(jù)比xi小4.下是分位數(shù)（設(shè)為x）其中j=[]

表示約有3/4的數(shù)據(jù)比xj

大，1/4的數(shù)據(jù)比xj小。355、眾數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值（可能有多個(gè)），均值是計(jì)算的測(cè)度值，其它從位置考慮。例：某班30MBA學(xué)生的年齡按上升順序排序?yàn)椋?4、24、25、25、25、25、26、26、26、26、27、27、27、27、27、28、28、28、28、28、29、29、30、30、30、30、31、31、31、32

眾數(shù)為27和28（5次），中數(shù)==27.5

平均數(shù)為27.67，上四分位數(shù)為x23=30，下四分位數(shù)x8=26，36（二）離散趨勢(shì)，1.極差（全距）R=max（Xi）－min（Xi）只利用了數(shù)據(jù)兩端的信息。372、方差和標(biāo)準(zhǔn)差：

標(biāo)準(zhǔn)差=σ2大反映均值的代表性差，反之，強(qiáng)。383.四分位差即上四分位數(shù)與下四分位數(shù)的差39五、統(tǒng)計(jì)量的分布（一）統(tǒng)計(jì)量的定義設(shè)X1、X2、……、Xn是來自總體X的一個(gè)樣本，g（X1、X2、……、Xn）是X1、X2、……、Xn的函數(shù)，若g是連續(xù)函數(shù)，且不含任何未知參數(shù)，則g（X1、X2、……、Xn）是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。40（二）常用統(tǒng)計(jì)量設(shè)X1、X2、……、Xn是來自總體X的一個(gè)樣本，x1、x2、……、xn是這一樣本的觀測(cè)值，則1.樣本平均值：2.樣本方差：413.樣本標(biāo)準(zhǔn)差：4.樣本k階（原點(diǎn)）矩：，k=1,2,……5.樣本k階中心矩：，k＝1，2，……用xi代替Xi，相應(yīng)得到觀察值，s2，s，ak，bk（名稱不變）42（三）幾種常用的分布1.χ2分布設(shè)x1，x2，……，xn是來自總體

N（0，1）的樣本，則稱隨機(jī)變量＝x12+x22+……+xn243

服從自由度為n的χ2分布，記為χ2～χ2（n），χ2（n）分布的概率密度為：

44χ2分布的性質(zhì)：

(1)可加性：設(shè)χ12

～χ2（n1），χ22

～χ2（n2），且χ12

與χ22相互獨(dú)立，則有：

χ12+χ22～χ2（n1+n2）

(2)若χ2～χ2（n），則有：

E(χ2)＝n，D（χ2）＝2n45(3)對(duì)于給定的正數(shù)，0<<1，若則為χ2（n）分布的上分布點(diǎn)46如查表知χ0.012（10）＝2.558當(dāng)n充分大時(shí)，有其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。

47附：若Z～N（0，1），則Z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，其密度函數(shù)為：

48（1）若對(duì)，有，則為N（0，1）分布的上點(diǎn)

49(2)若對(duì)，有，則為N（0，1）的雙側(cè)分位點(diǎn)50（3）上點(diǎn)的求法∵，又∴φ（）＝1-，反查表，得512．t分布設(shè)χ～N（0，1），Y～χ2（n），且χ，Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量

服從自由度為n的t－分布，記為t～t（n）52其密度函數(shù)為：53對(duì)給定，若則點(diǎn)為t(n)分布的上分位點(diǎn)54顯然(n)=-(n)(WHY)t0.95(8)=-t0.05(8)=-1.8595當(dāng)n充分大的時(shí)候，有(n)=553、F分布設(shè)U～2（n1）,V～2(n2),且U，V相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為（n1,n2）的F分布，記為F～F（n1,n2）.56其密度函數(shù)為:顯然，若F～F（n1，n2）,則～F(n2，n1)(定義知)57對(duì)于結(jié)果0<α<1,若則稱F（n1，n2）為F（n1,n2）分布的上分位點(diǎn)。

58顯然有(n1,n2）=(定義知)F0.9（5,10）＝＝0.3030594．正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的分布（1）設(shè)總體X的均值為μ，方差為σ2，x1，x2，……，xn是X的一個(gè)樣本，則有，（2）設(shè)x1，x2，……，xn為來自總體X～N（μ，σ2）的一個(gè)樣本，則，60（3）設(shè)x1，x2，……，xn為來自總體X～N（μ，σ2）的一個(gè)樣本，則有①②與S2相互獨(dú)立

61(4)x1，x2，……，xn為來自總體X～N（μ，σ2）的一個(gè)樣本，與S2分別是樣本均值和樣本方差，則有：

62(5)設(shè)x1，x2，……，xn1與Y1，Y2，……，Yn2分別是具有相同方差的兩個(gè)正態(tài)總體N（μ1，σ2），N（μ2，σ2）的樣本，且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。設(shè)，，分別是這兩個(gè)樣本的均值

63

，分別是這兩個(gè)樣本的方差，則有其中64（6）（獨(dú)立同分布的）中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量x1，x2，……，xn相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差：，，k＝1，2，……，n）則（樣本均值）65將其標(biāo)準(zhǔn)化：66設(shè)Zn分布函數(shù)為Fn（x），則有即Yn極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。推論：不論總體是什么分布，只要μ和σ2存在，則樣本容量為n的樣本均值近似～（n足夠大時(shí)）。67

第3章

參數(shù)估計(jì)§3.1參數(shù)估計(jì)概述

參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的基本方法之一。我們把刻劃總體X的某些特征的常數(shù)稱為參數(shù)，最常用的參數(shù)是總體X的數(shù)學(xué)期望和方差。假如總體X~N（），則X的分布是由參數(shù)μ和σ2確定的，其中，μ=E（X），σ2=D（X）。

在實(shí)際問題中，總體X的參數(shù)是未知的，例如紗廠細(xì)紗機(jī)上的斷頭次數(shù)X~P（λ），如果求每只紗綻在某一時(shí)間間隔內(nèi)斷頭的次數(shù)為K的概率，就需要先確定參數(shù)λ，才能求出所求的概率。又如，燈泡廠生產(chǎn)的燈泡，由經(jīng)驗(yàn)知其壽命X~N（），但是由于生產(chǎn)過程中各種隨機(jī)因素的影響，生產(chǎn)出來的燈泡的壽命是不一致的，為了保證燈泡的質(zhì)量，必須進(jìn)行抽樣檢查，根據(jù)樣本所提供的信息，對(duì)總體X的分布做出估計(jì)，也即對(duì)參數(shù)μ,σ2做出估計(jì)。這類問題稱為參數(shù)估計(jì)問題。

參數(shù)估計(jì)問題，就是要從樣本出發(fā)構(gòu)造一些統(tǒng)計(jì)量作為總體某些參數(shù)的估計(jì)量，當(dāng)取得一個(gè)樣本值時(shí)，就以相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量的值作為總體參數(shù)的估計(jì)值。例如，常以統(tǒng)計(jì)量作為總體數(shù)學(xué)期望的估計(jì)量。當(dāng)要估計(jì)某批燈泡的平均壽命時(shí)，就從該批燈泡中隨機(jī)地抽取若干個(gè)，分別測(cè)出其壽命，以這些測(cè)量數(shù)據(jù)的平均值作為該批燈泡的平均壽命的估計(jì)值。

設(shè)總體X的分布函數(shù)的類型已知，但是其中有一個(gè)或多個(gè)參數(shù)未知，設(shè)X1，X2，X3，……，Xn為總體X的容量為n的樣本。參數(shù)估計(jì)就是討論如何由樣本X1，X2，X3，……，Xn提供的信息對(duì)未知參數(shù)作出估計(jì)，以及討論如何建立一些準(zhǔn)則對(duì)所作出的估計(jì)進(jìn)行評(píng)價(jià)。一般是建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量（X1，X2，X3，……，Xn），當(dāng)樣本觀察值為x1，x2，x3，……，xn時(shí)，如果以（x1，x2，x3，……，xn）作為總體分布中未知參數(shù)的估計(jì)值，這樣的估計(jì)方法叫做點(diǎn)估計(jì)，如果總體分布函數(shù)中有t個(gè)未知參數(shù)，則要建立t個(gè)估計(jì)量作為t個(gè)未知參數(shù)的估計(jì)量。

參數(shù)估計(jì)的形式分為兩類：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。由估計(jì)量的觀察值作為未知參數(shù)的估計(jì)值，這種作法稱為點(diǎn)估計(jì)或定值估計(jì)。而有時(shí)并不要求對(duì)參數(shù)作定值估計(jì)，只要求估計(jì)出未知參數(shù)的一個(gè)所在范圍，并指出參數(shù)被包含在該范圍的概率，這種方法稱為區(qū)間估計(jì)，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)并不一定要預(yù)先知道總體的分布類型。有時(shí)，雖然未知總體的分布類型，但仍可對(duì)總體的某些數(shù)字特征作出估計(jì)。

§3.2參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

點(diǎn)估計(jì)方法很多，本節(jié)介紹最常見的矩估計(jì)法和極大似然法。一、矩估計(jì)法

由大數(shù)定律可知，樣本分布函數(shù)依概率收斂于總體分布函數(shù)，樣本均值依概率收斂于總體均值，我們自然會(huì)想到，是否能用有關(guān)的樣本矩來估計(jì)總體分布的相應(yīng)矩呢？統(tǒng)計(jì)實(shí)踐表明，這個(gè)方法是可取的，這種用樣本矩來估計(jì)總體分布參數(shù)的方法稱為矩估計(jì)法，通常，用樣本均值來估計(jì)總體的均值，用樣本方差S2來估計(jì)總體的方差。

【例3.1】試用矩估計(jì)法對(duì)總體X~N（）的參數(shù)μ，σ2作出估計(jì)。

解:因E（X）=μ，D（X）=σ2設(shè)X1，X2，……，Xn為X的一個(gè)樣本，其樣本均值為，樣本方差為S2。令E（X）=，D（X）=S2，即得的估計(jì)量為，。

【例5.2】設(shè)X1，X2，……，Xn是取自總體X的樣本，已知X的概率密度為：

試用矩估計(jì)法估計(jì)總體參數(shù)。解:

由于

樣本均值為，令E（X）=，得:,

從而總體參數(shù)的矩估計(jì)為，其

中。

【例5.3】X1，X2，……，Xn為總體X~B（N，P）的樣本，其中N，P為未知參數(shù)，試用矩估計(jì)法估計(jì)參數(shù)N及P。

解：∵

E（X）=NPD（X）=NP（1-P）樣本均值與方差分別為，S2。令

E（X）=D（X）=S2

即

解得N、P的矩估計(jì)量為

，其中，。

二、極大似然估計(jì)法

先考察兩個(gè)簡單的例子。

【例3.4】某同學(xué)與一位男獵人一起外出打獵，只見一只野雞在前方竄過，只聽一聲槍響，野雞被他們兩人中某一位一槍命中，試推測(cè)這一發(fā)命中的子彈是誰打的，答案是簡單的，既然只發(fā)一槍且命中，而男獵人的命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率，因此可以認(rèn)為這一槍是男獵人射中的。

【例3.5】假定在一個(gè)箱子里放著黑、白兩種球共4只，且知道這兩種球的數(shù)目之比為1∶3，但不知道究竟哪一種顏色的球多。

設(shè)黑球所占的比例為P，由上述假定推知P僅可能取1/4和3/4這兩個(gè)值，現(xiàn)在采用有放回抽樣的方法，從箱子中隨機(jī)地抽取三個(gè)球，觀察到球的顏色為黑、白、黑，你會(huì)對(duì)箱子中的黑球數(shù)作出什么推斷呢？即你認(rèn)為P的值是1/4，還是3/4？直觀上覺得P=3/4（即箱子中黑球數(shù)為3）更可信，因?yàn)楫?dāng)P=1/4時(shí)抽到這樣一個(gè)具體樣本的概率為1/4

3/4

1/4=3/64，當(dāng)P=3/4時(shí)，抽到這樣一個(gè)具體樣本的概率為3/4

1/4

3/4=9/64，由于9/64>3/64，因此在觀察到上述樣本中的三個(gè)球的顏色之后，覺得P=3/4更可信，即你傾向于認(rèn)為箱子中放有三個(gè)黑球，這里體現(xiàn)了極大似然法的基本思想。

現(xiàn)在我們來闡明極大似然法的基本原理。

設(shè)總體X的概率密度為，它只含一個(gè)未知參數(shù)（若X是離散型，表示概率），X1，X2，X3，……，Xn是取自X的樣本，x1,x2,x3,……,xn為樣本觀察值。X1，X2，X3，……,Xn的聯(lián)合密度等于，顯然,對(duì)于樣本的一組觀察值x1,x2,x3,……,xn，它是的函數(shù)，記作

并稱為似然函數(shù)

當(dāng)已知時(shí)，似然函數(shù)描述了樣本取得樣本觀察值x1,x2,x3,……,xn的可能性。同樣，當(dāng)一組樣本觀察值取定時(shí)（即抽樣完成時(shí)），要問它最大可能取自什么樣的總體（即總體的參數(shù)應(yīng)等于什么時(shí)的可能性最大），也要從似然函數(shù)的極大化中求出相應(yīng)的值來，這個(gè)值就是的一個(gè)估計(jì)值。于是，我們可以給出極大似然估計(jì)的定義。

定義3.1設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù)，x1，x2，…，xn為X的一組樣本觀察值。若能求得觀察值的某個(gè)函數(shù)，使得似然函數(shù)取極大值，即，則稱為的一個(gè)極大似然估計(jì)值，其相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，稱為參數(shù)的極大似然估計(jì)量。

由定義3.1可知，求總體參數(shù)的極大似然估計(jì)值的問題，就是求似然函數(shù)L（）的極大值問題。在L（）可微時(shí)，要使L（）取極大值必須滿足（3.1）從上式可解得的極大似然估計(jì)值。

由于lnL（）與L（）有相同的極值點(diǎn)，而且，求lnL（）的極值點(diǎn)更為容易，所以常用下式

（3.2）來代替（3.1）式。方程（3.1）或（3.2）都稱為似然方程。

當(dāng)似然函數(shù)包含多個(gè)參數(shù)時(shí)，即：

若L關(guān)于各參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則j的極大似然估計(jì)

一般可由方程組：或解得。上面方程組稱為似然方程組。

[注意]上面的討論中，我們沒有提到似函數(shù)取極大值的充分條件，對(duì)于具體的函數(shù)可作驗(yàn)證。

【例3.6】設(shè)總體X服從參數(shù)為的泊松分布，求參數(shù)的極大似然估計(jì)量。

解

設(shè)X1，X2，X3，……，Xn是來自X的樣本，則

∴

令

∴

的極大似然估計(jì)量為。其中

為樣本均值。

【例3.7】設(shè)總體X~N，其中及是未知參數(shù)，如果取得樣本觀測(cè)值為x1,x2,…，xn，求參數(shù)及的極大似然估計(jì)值。

解：

似然函數(shù)為：∴

對(duì)及求偏導(dǎo)數(shù)，并讓它們等于零，得：

解此方程組，即得及的極大似然估計(jì)值為：

【例3.8】設(shè)總體X服從均勻分布，求參數(shù)與的極大似然估計(jì)量

解

設(shè)X1，X2，…，Xn是X的樣本，則

∴從而有

顯然由此方程組解不出

1與

2，現(xiàn)利用定義求

1與

2的極大似然估計(jì)量，因?yàn)椋?/p>

又

∵

，即∴

的極大似然估計(jì)量分別為。三、估計(jì)量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)

在對(duì)總體參數(shù)做出估計(jì)時(shí)并非所有的估計(jì)量都是優(yōu)良的，從而產(chǎn)生了評(píng)價(jià)估計(jì)量是否優(yōu)良的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于點(diǎn)估計(jì)量來說，一個(gè)好的估計(jì)量有如下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：

1．無偏性如果樣本統(tǒng)計(jì)量的期望值等于該統(tǒng)計(jì)量所估計(jì)的總體參數(shù)，則這個(gè)估計(jì)量叫做無偏估計(jì)量。這是一個(gè)好的估計(jì)量的一個(gè)重要條件。用樣本平均數(shù)作為總體平均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量，就符合這一要求。無偏性也就是沒有系統(tǒng)的偏差，它是從平均意義講的，即如果這種估計(jì)方法重復(fù)進(jìn)行，則從估計(jì)量所獲得的平均數(shù)等于總體參數(shù)。顯然，如果說一個(gè)估計(jì)量是無偏的，并不是保證用于單獨(dú)一次估計(jì)中沒有隨機(jī)性誤差，只是沒有系統(tǒng)性的偏差而已。若以代表被估計(jì)的總體參數(shù)，代表的無偏估計(jì)量，則用數(shù)學(xué)式表示為：

我們知道，總體參數(shù)中最重要的一個(gè)參數(shù)是總體平均數(shù)，樣本平均數(shù)是它的一個(gè)無偏估計(jì)量，即。另外，樣本方差也是總體方差的無偏估計(jì)量。

2．一致性當(dāng)樣本容量n增大時(shí)，如果估計(jì)量越來越接近總體參數(shù)的真值時(shí)，就稱這個(gè)估計(jì)量為一致估計(jì)量。估計(jì)量的一致性是從極限意義上講的，它適用于大樣本的情況。如果一個(gè)估計(jì)量是一致估計(jì)量，那么，采用大樣本就更加可靠。當(dāng)然，在樣本容量n增大時(shí)，估計(jì)量的一致性會(huì)增強(qiáng)，但調(diào)查所需的人力、物力也相應(yīng)增加。

3．有效性有效性的概念是指估計(jì)量的離散程度。如果兩個(gè)估計(jì)量都是無偏的，其中方差較小的（對(duì)給定的樣本容量而言）就可認(rèn)為相對(duì)來說是更有效的。嚴(yán)格地說，如果和是的兩個(gè)無偏估計(jì)量，它們的相對(duì)有效性按下述比率決定：其中，是較小的方差。

以上這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)并不是孤立的，而應(yīng)該聯(lián)系起來看。如果一個(gè)估計(jì)量滿足這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)估計(jì)量就是一個(gè)好的估計(jì)量。數(shù)理統(tǒng)計(jì)已證明，用樣本平均數(shù)來估計(jì)總體平均數(shù)和用樣本比率來估計(jì)總體比率時(shí)，它們是無偏的，一致的和有效的?！?.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)的概念

對(duì)未知參數(shù)來說，我們除了關(guān)心它的點(diǎn)估計(jì)外，往往還希望估計(jì)出它的一個(gè)范圍，以及這個(gè)范圍覆蓋參數(shù)真值的可靠程度，這種范圍通常用區(qū)間的形式給出，這種區(qū)間就叫參數(shù)的置信區(qū)間。

定義3.2設(shè)總體分布含有一個(gè)未知參數(shù)

,若由樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量

（X1，X2，X3，…，Xn）與（X1，X2，X3，…，Xn），對(duì)于給定數(shù)值，滿足

（3.3）

則稱隨機(jī)區(qū)間為

的一個(gè)雙側(cè)置信區(qū)間，稱為雙側(cè)置信下（上）限，1-稱為置信水平或置信度。

（3.3）式表示置信區(qū)間包含未知參數(shù)

真值的概率是1-，若反復(fù)抽樣多次（每次樣本容量相等），每組樣本觀察值確定一個(gè)區(qū)間，每個(gè)這樣的區(qū)間或者包含

的真值，或者不包含

的真值，按貝努利定理，在所有這些區(qū)間中，包含

真值的約占，不包含

真值的僅占左右。

當(dāng)和時(shí)，稱為置信區(qū)間觀察值，也稱為置信區(qū)間。

在有些問題中，我們關(guān)心的是未知參數(shù)至少有多大（如設(shè)備元件使用的壽命），或不超過多大（如產(chǎn)品的次品率），因此下面給出單側(cè)置信區(qū)間的概念。定義3.4在定義3.3中，如果將（3.3）式改成

則稱或?yàn)閱蝹?cè)置信區(qū)間，和分別稱為單側(cè)置信下限與單側(cè)置信上限。

評(píng)價(jià)一個(gè)置信區(qū)間的好與壞有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，一是精度，即越小精度越高，也就越好。另一個(gè)是置信度，即越大越好。我們當(dāng)然希望盡可能地小，同時(shí)希望盡可能地大，但是當(dāng)樣本容量n固定時(shí)，精度與置信度不可能同時(shí)提高。

因?yàn)楫?dāng)精度提高時(shí)即變小時(shí)，（）覆蓋真值

的可能性也變小，從而降低了置信度，相反，當(dāng)置信度增大時(shí)，必然也增大，從而降低了精度，在實(shí)際問題中，一般是根據(jù)實(shí)際問題的需要，先選定置信度為1-，然后再通過增加樣本容量n提高精度。

二、區(qū)間估計(jì)的步驟

（1）構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量g(

)（含待估計(jì)的未知參數(shù)，分布已知）；

（2）給定置信水平，使；

（3）從不等式

中解出即

得的置信區(qū)間；（4）將xi代替中的xi，即得觀察區(qū)間。

§3.4單正態(tài)總值均值與方差的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)總體X~N（），構(gòu)造與的置信區(qū)間有重要的實(shí)用意義，而且有關(guān)結(jié)果是完滿的。

一、均值的置信區(qū)間

從總體X中取樣本（X1，X2，…，Xn），設(shè)樣本值為（x1,x2,x3,…，xn）由于

隨機(jī)變量很明顯，統(tǒng)計(jì)量Z的分布函數(shù)不依賴于未知參數(shù)μ。

設(shè)已給定對(duì)μ的區(qū)間估計(jì)置信度為1-令

為Z的雙側(cè)點(diǎn)）解不等式（關(guān)于μ）：

得從而所求的100(1-)%置信區(qū)間為將樣本平均值取其觀察值，則100(1-)%的置信區(qū)間為

【例3.9】某廠質(zhì)量管理部門的負(fù)責(zé)人希望估計(jì)移交給接受部門的5500包原材料的平均重量，一個(gè)由250包原材料組成的隨機(jī)樣本所給出的平均值=65千克?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差

=15千克。試構(gòu)造總體未知的平均值的μ置信區(qū)間，假定95%的置信區(qū)間已能令人滿意，并假定總體為正態(tài)分布

解：（1）樣本平均值=65千克

（2）由1-

=0.95，/2=0.025，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得

（3）寫出置信區(qū)間==

=(63.14,66.86)于是，我們有95%的把握說總體平均值μ介于63.14和66.86千克之間。

[注意]在很多情況下，我們遇到的總體為非正態(tài)分布，但中心極限定理告訴我們，當(dāng)樣本容量n足夠大，無論總體服從什么分布，的柚樣分布將近似地服從正態(tài)分布，因此當(dāng)樣本取自總體方差已知的非正態(tài)分布時(shí)，我們?nèi)钥梢杂?/p>

公式來近似求出總體平均值μ的置信區(qū)間。

2．未知時(shí)，求μ的置信區(qū)間

稍微留意上述求得的μ的置信區(qū)間，不難發(fā)現(xiàn)只有在已知時(shí)方法才可行。如果未知，則可用樣本方差S2代替總體方差，從而根據(jù)統(tǒng)計(jì)量：

對(duì)給定的置信水平1-，令可解得μ的1-置信區(qū)間為將、S2分別取其觀察值則μ的1-置信區(qū)間為例3.10為了估計(jì)一分鐘一次廣告的平均費(fèi)用，抽出了15電視臺(tái)的隨機(jī)樣本。樣本的平均值=2000元，其中標(biāo)準(zhǔn)差S=1000元。假定所有被抽樣的這類電視臺(tái)服從正態(tài)分布，試構(gòu)造總體平均值μ的95%的置信區(qū)間。解：（1）樣本均值與方差分別為=2000元，S=1000元

（2）由1-

=0.95，得/2=0.025，n-1=14，查t分布表，得

（3）寫出置信區(qū)間：顯然我們有95%的把握說明，總體平均數(shù)處在1447.5元和2552.5元之間。

=（1447.5,2552.5）[注意]當(dāng)

未知但樣本容量n>30，即大樣本時(shí)，可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似地當(dāng)作t分布。因此，在實(shí)際工作中，只有在小樣本的情況下，即樣本容量n<30時(shí)，才應(yīng)用t分布，而對(duì)于大樣本，則通常采用正態(tài)分布來構(gòu)造總體平均數(shù)的置信區(qū)間。另外，根據(jù)中心極限定理，從非正態(tài)總體中抽樣時(shí)，只要能夠抽取大樣本，那么，樣本平均數(shù)的抽樣分布就會(huì)服從正態(tài)分布。這時(shí)，我們也就能夠用來構(gòu)造置信區(qū)間，但由于

是未知的，因此，只能用來構(gòu)造置信區(qū)間。

二、方差

2的置信區(qū)間設(shè)X1，X2，X3，…，Xn是總體X~N(

,

2)的一個(gè)樣本，其觀察值為x1，x2，x3，…，xn。因?yàn)樵谝话闱闆r下，總體的均值是未知的，所以我們只討論均值

未知時(shí)，對(duì)

2的區(qū)間估計(jì)。要對(duì)

2進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，須考慮樣本方差S2，由分布理論知隨機(jī)變量對(duì)于給定的置信水平1-，有

由此得

2的置信水平為1-的置信區(qū)間為而

標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為1-的置信區(qū)間是例3.11某制造廠的一名生產(chǎn)管理人員需要知道完成某件工作所需的時(shí)間。為此他進(jìn)行了一項(xiàng)研究，得出一個(gè)適于分析的31個(gè)觀察值組成的隨機(jī)樣本，從樣本數(shù)據(jù)算出的方差為0.3小時(shí)，試問：（1）構(gòu)造方差

2的95%的置信區(qū)間（2）構(gòu)造

的95%的置信區(qū)間（3）構(gòu)造置信區(qū)間時(shí)作了何種假定？解：（1）S2=0.3，自由度=n-1=31-1=30查分布表得：從而求得0.1916<

2

<0.5360因此，我們有95%的把握說

2落在0.1916和0.5360之間的范圍內(nèi)。（2）其總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為：0.4377<

<0.7321（3）被抽樣的總體服從或近似服從正態(tài)分布是置信區(qū)間估計(jì)的假定條件。上面我們討論了正態(tài)總體的兩個(gè)參數(shù)

與

2的雙側(cè)置信區(qū)間，至于單側(cè)置信區(qū)間的求法完全類同，只是所用的百分位點(diǎn)不同，舉例說明如下。例3.12從某一批燈泡中隨機(jī)地抽取5只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命（以小時(shí)計(jì)）如下：10501100112012501280設(shè)壽命X~N（

,

2），

2未知，求壽命X的均值

的置信水平為95%的單側(cè)置信下限和單側(cè)置信區(qū)間。155解：∵X~N（

,

2），

2未知∴隨機(jī)變量其中，S分別為總體X的樣本均值與樣本方差。對(duì)于給定的置信水平1-，有由不等式，可解得

的1-單側(cè)置信下限與單側(cè)置信區(qū)間分別為：

根據(jù)本題所給數(shù)據(jù)，具體計(jì)算（1050+1100+1120+1250+1=1160查t分布表得

故所求單側(cè)置信下限是

單側(cè)置信區(qū)間為（1065，+∞）。

§3.5兩個(gè)正態(tài)總體均值差與方差比的區(qū)間估計(jì)

在實(shí)際應(yīng)用中常有這樣的問題，如已知某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布，但由于設(shè)備改善，工藝改革或原料改變等因素，使得總體X的均值和方差有所改變，對(duì)于這種情況，就需要知道均值和方差的改變情況，因此，需要考慮二正態(tài)均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)問題。

一、二正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間

設(shè)和S12

是總體X~N（

1,

12

）的容量為n1的樣均值和樣本方差；和S22是總體Y~N（

2,

22

）的容量為n2的樣本均值和樣本方差，并設(shè)這兩個(gè)總體相互獨(dú)立?，F(xiàn)在考慮二正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)。因?yàn)榉謩e是的點(diǎn)估計(jì)量，故服從正態(tài)分布，而且

所以

1．已知

12，

22時(shí)，求的

1-2置信區(qū)間

由于隨機(jī)變量

所以對(duì)于給定的置信水平1-，有

從不等式中解出

1-

2，即得

1-

2的置信水平為1-的置信區(qū)間為將取其觀察值，得置信區(qū)間為2．

12，

22都未知時(shí)，求

1-2的置信區(qū)間當(dāng)樣本容量n1,n2都很大時(shí)（>30），可用S12,S22、分別代替

12、

22，于是可用區(qū)間作為

1-

2的近似的1-置信區(qū)間。

3．未知時(shí)，求

1-

2的置信區(qū)間，則t分布理論知其中

在給定的置信水平1-的條件下，有由此可得

1-

2的置信水平為1-的置信區(qū)間當(dāng)及Sw取樣本觀察值時(shí)，置信區(qū)間為

【例3.13】某銀行負(fù)責(zé)人想知道存戶存入兩家銀行的錢數(shù)，他從每一家銀行各抽選了一個(gè)由25個(gè)存戶組成的隨機(jī)樣本。樣本平均值如下：銀行A：=450元；銀行B：

=325元。兩個(gè)總體均服從方差分別為

A2=750和

B2=850的正態(tài)分布。試構(gòu)造

A-

B的95%的置信區(qū)間。

解

由于兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布，因此也服從正態(tài)分布，從而計(jì)算總體均值之差的置信區(qū)間可用：

這個(gè)公式。

已知

12=750，

22=850，=450，=325，所以所求的置信區(qū)間為:這意味著有95%的把握認(rèn)為總體均值之差在109.32元和140.68元之間。：

【例3.14】某工廠中有兩臺(tái)生產(chǎn)金屬棒的機(jī)器。一個(gè)隨機(jī)樣本由機(jī)器A生產(chǎn)的11根金屬棒組成，另一個(gè)隨機(jī)樣本由機(jī)器B生產(chǎn)的21根金屬棒組成。兩個(gè)樣本分別給出兩臺(tái)機(jī)器所生產(chǎn)金屬棒的長度數(shù)據(jù)如下： =6.10英寸，=5.95英寸，SA2=0.018，SB2=0.020。假定兩個(gè)總體近似服從正態(tài)分布，且總體方差相等，試構(gòu)造

A-

B的95%的置信區(qū)間。解

1-=95%，=0.05，查t分布表得t/2=t0.025(30)=2.042所以所求置信區(qū)間為：

=（0.05,0.25）4．兩個(gè)總體均不服從正態(tài)分布且方差未知對(duì)于一般不服從正態(tài)分布的兩個(gè)總體，我們往往根據(jù)中心極限定理采用大樣本抽樣方法。如果兩個(gè)總體方差未知，就用S1和S2分別作為

1和

2的估計(jì)值，當(dāng)n1和n2足夠大時(shí)，

1-

2的置信水平為1-的近似置信區(qū)間為：

【例3.15】東大和西大兩所大學(xué)某學(xué)期期末英語考試采用同一試題，東大認(rèn)為該校學(xué)生英語考試成績能比西大高出10分，為了證實(shí)這一說法，主管部門從兩校各抽取一個(gè)隨機(jī)樣本并得到如下數(shù)據(jù)：n東=75人，n西=80人，東=78.6分，

西=73.8分，S東=8.2分，S西=7.4分。試在95%的置信度下確定兩校平均分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間。

解：

分1-=0.95，=0.025，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得，從而其置信區(qū)間為：（78.6–73.8±1.96×1.26）=（2.3,7.3）

因此，我們有95%的把握說東大、西大兩校英語考試成績之差在2.3分和7.3分之間。這一結(jié)果說明東大的平均成績確實(shí)高于西大，但并未高出10分。二、二正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間

在實(shí)際工作中還常常需要比較兩個(gè)總體的方差。例如，在選擇產(chǎn)品時(shí)，我們通常需要方差較小的產(chǎn)品，因?yàn)榉讲钶^小的產(chǎn)品的質(zhì)量比較均勻。比較兩個(gè)總體方差的大小，可以將兩個(gè)方差相比，當(dāng)兩個(gè)方差相等時(shí)其比值為1。但兩個(gè)總體方差

12和

22都是未知的，所以需要通過兩個(gè)樣本方差來加以比較推斷。設(shè)二正態(tài)總體X~N(

1,

12)與Y~N(

2,

22)，其中的參數(shù)均未知，它們相互獨(dú)立的兩個(gè)樣本的容量分別為n1,n2，樣本方差為S12與S22，現(xiàn)在求其方差比

12/

22的置信區(qū)間由分布理論知

從而

于是，對(duì)給定的置信水平為1-，有：

所以

12/

22的置信水平為1-的置信區(qū)間為：

（此處利用了公式：）

【例3.16】為了比較用兩種不同方法生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的壽命，進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)。試驗(yàn)中抽選了由方法1生產(chǎn)的16個(gè)產(chǎn)品組成一個(gè)隨機(jī)樣本，其方差為1200小時(shí)。又抽選了用方法2生產(chǎn)的21個(gè)產(chǎn)品組成另一個(gè)隨機(jī)樣本，得出的方差為800小時(shí)。試以95%的置信度估計(jì)

12/

22的置信區(qū)間解：由于S12=1200，S22=800，S12>S22從而所求的置信區(qū)間為：即：0.58<

12/

22<4014

也就是（0.58，4.14）§3.6關(guān)于比例的區(qū)間估計(jì)一、一個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

我們?cè)趯?shí)際工作中時(shí)常會(huì)碰到對(duì)總體比例的估計(jì)問題。例如，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)想知道本企業(yè)生產(chǎn)中合格品率是多少？商店經(jīng)理想了解對(duì)他們服務(wù)滿意的顧客在全部顧客中所占的比率等等。我們知道樣本比例的抽樣分布，當(dāng)nP和n（1-P）兩者皆大于5時(shí)（P為總體比例），的分布近似服從平均值為P，標(biāo)準(zhǔn)差

p為的正態(tài)分布。但是，在實(shí)際工作中P往往是未知的，我們所要估計(jì)的也正是這個(gè)總體比例P，所以，就需要用樣本比例來代替P。這樣，我們就得到了標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值：因此，可對(duì)總體比例的區(qū)間估計(jì)作表述如下：如果nP和n（1-P）兩者皆大于5，并且n相對(duì)總體容量來說很小，則P的近似100(1-)%的置信區(qū)間由下式給出：如果我們研究的總體是有限的，尤其是抽樣比重較大時(shí)，即n/N>0.05，就要采用有限總體修正系數(shù)，從而P的區(qū)間估計(jì)公式為：【例3.17】某一大公司的人事處長希望知道本公司內(nèi)專業(yè)不對(duì)口的職員究竟占多大比例。于是，他從2000名具有大專以上學(xué)歷的職員中隨機(jī)抽取了一個(gè)由150人組成的樣本進(jìn)行研究，結(jié)果表明，其中有45人說他們從事的工作與所學(xué)專業(yè)不對(duì)口。試在95.5%的置信度下構(gòu)造出專業(yè)不對(duì)口人員所占真正比例的置信區(qū)間。解：由于樣本容量很大，n=150，

=45/150=0.3，和都大于5，故可用正態(tài)分布逼近。但又由于抽樣比重，故需用有限總體修正系數(shù)計(jì)算Sp，則

=（0.228，0.372）

計(jì)算結(jié)果表明，我們有95.5%的把握說，該公司具有大專以上學(xué)歷的人員中，有22.8%~37.2%的

人專業(yè)不對(duì)口。

二、兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)

為了估計(jì)兩個(gè)總體比例之差P1-P2，我們可從每一個(gè)總體中各抽一個(gè)隨機(jī)樣本，并利用兩個(gè)樣本比例之差。這樣就可以按通常的方式構(gòu)造出一個(gè)區(qū)間的估計(jì)值。我們知道，當(dāng)n1和n2都很大，即大樣本，而且總體比例不太接近0或1時(shí)，兩個(gè)獨(dú)立樣本的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，其平均值為P1-P2，標(biāo)準(zhǔn)差為：

因?yàn)镻1和P2皆未知，所以標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)通過下式來估計(jì)：于是上述條件下P1-P2的100（1-）%的置信區(qū)間由下式給出：

【例3.18】某企業(yè)有兩個(gè)車間，分別用A和B表示。為了降低廢品率，該企業(yè)對(duì)車間B的工人首先進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn)。3個(gè)月后，該企業(yè)負(fù)責(zé)人對(duì)兩個(gè)車間的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行了檢驗(yàn)。從車間A抽取了200件產(chǎn)品，從車間B抽取了220件產(chǎn)品。查得廢品率A車間為，B車間為，試在95%的把握程度下，構(gòu)造兩個(gè)廢品率之間的置信區(qū)間。解：

Z

/2=Z0.025=1.96，從而其區(qū)間估計(jì)為：（0.15-0.03±1.96×0.0277）=（0.066,0.174）

根據(jù)這一結(jié)果，我們有95%的把握說，車間A和車間B的廢品率之差為6.6%~17.4%。這說明，車間B人員的業(yè)務(wù)培訓(xùn)收到了效果?！?.7樣本容量的確定

以上所舉的例子中，都假定樣本容量已定。在實(shí)際設(shè)計(jì)抽樣方案中有一個(gè)重要的問題，就是在特定的情況下，應(yīng)該用多大的樣本？如果使用一個(gè)比需要大的樣本，就會(huì)浪費(fèi)資料；如果樣本太小，就不能達(dá)到分析的目的。

事實(shí)上，決定樣本大小的因素有以下三點(diǎn)：（1）受總體方差

2數(shù)值大小的影響。總體方差大，抽樣誤差大，則應(yīng)多抽一些樣本容量，反之，則可少抽一些。當(dāng)然，當(dāng)總體方差為0時(shí)，那么只需抽出其中一個(gè)就能代表總體。問題是實(shí)際工作中我們往往不知道總體方差，因而必須作試驗(yàn)性調(diào)查，或以過去的歷史資料作參考。

（2）可靠性程度的高低。要求可靠性越高，所必需的樣本容量就越大，也就是說，為獲得所需精度而指定的概率越大，所需要的樣本容量就越大。

（3）允許誤差的大小。這主要由研究目的而定。若要求推斷比較精確，允許誤差應(yīng)該低一些，隨之抽取的樣本容量也要求多一些。反之，若允許誤差可以大一些，樣本容量也可以少一些。

一、估計(jì)總體平均數(shù)樣本容量的確定

在重復(fù)抽樣的條件下，我們用△表示允許誤差，用

表示總體標(biāo)準(zhǔn)差，用1-表示可靠性，用Z/2表示相應(yīng)的概率度，那么，允許誤差的公式可表述如下：

∴

這就是在重復(fù)抽樣條件下確定樣本容量的計(jì)算公式。當(dāng)我們采用不重復(fù)抽樣時(shí)，就要采用有限總體修正系數(shù)。這時(shí)∴

這就是不重復(fù)抽樣條件下確定樣本容量的計(jì)算公式。

【例3.19】某批產(chǎn)品的平均重量=70千克，總體標(biāo)準(zhǔn)差

=5千克?，F(xiàn)準(zhǔn)備對(duì)這批產(chǎn)品采用重復(fù)抽樣方式進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣檢驗(yàn)，要求可靠程度達(dá)到95%，允許誤差不超過0.9千克。試問需要抽多少樣本容量？解：

=5，Z/2=1.96，（件）即應(yīng)抽取樣本容量119件。在實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)可能是未知的，因此必須通過某種途徑來估計(jì)

，主要有：（1）當(dāng)以前有過類似的抽樣，并且總體變動(dòng)又不太大時(shí)，便可用以往的資料來估計(jì)，總體標(biāo)準(zhǔn)差

。（2）在正式抽樣研究之前，先抽出一個(gè)實(shí)驗(yàn)樣本，算出其標(biāo)準(zhǔn)差S，并用它來代替

。（3）當(dāng)總體近似服從正態(tài)分布時(shí)，便可根據(jù)全距來估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差S。二、估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定估計(jì)總體比例時(shí)，其樣本容量的確定類似Z于估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)樣本容量的確定。在重復(fù)抽樣時(shí)，由于

∴

在不重復(fù)抽樣時(shí)，由于∴

上述兩個(gè)公式的計(jì)算都需要知道總體比例P，但一般情況下P是未知的。因此，要想確定其樣本容量，必須首先尋找P的估計(jì)值，一般有以下幾種方式：（1）用以往的資料估計(jì)P。（2）在正式抽樣之前，先抽一個(gè)實(shí)驗(yàn)樣本，用此樣本比例來代替P。（3）當(dāng)研究者對(duì)某一總體比例有很大把握時(shí)，則可用它作為P的估計(jì)值。（4）如果什么資料也沒有，那么可以令P=0.5，因?yàn)榇藭r(shí)，P（1-P）最大，從而所需的樣本也比較多，推斷也就比較可靠。【例3.20】一家市場調(diào)查公司希望估計(jì)某地區(qū)有25英寸彩色電視機(jī)的家庭所占的比例。該公司希望對(duì)P的估計(jì)誤差不超過0.07，置信度為95.5%，但沒有可利用的P的估計(jì)值。試問應(yīng)抽取多大容量的樣本？解：

由于沒有較好的P的估計(jì)值可供利用，因此只能取P=0.5，從而即應(yīng)抽取容量為204的樣本。215第四章假設(shè)檢驗(yàn)216§4.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念

對(duì)總體的概率分布或分布參數(shù)作出某種“假設(shè)”，根據(jù)抽樣得到的樣本觀測(cè)值，運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分析方法，檢驗(yàn)這種“假設(shè)”是否正確，從而決定接受或拒絕“假設(shè)”，這就是本章要討論的假設(shè)檢驗(yàn)問題。2171、小概率原理小概率原理是假設(shè)檢驗(yàn)的基本依據(jù)，即認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的。當(dāng)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，先假設(shè)H0正確，在此假設(shè)下，若小概率事件A出現(xiàn)的概率很小，例如P（A）=0.01，經(jīng)過取樣試驗(yàn)后，A出現(xiàn)了，則違反了上述原理，我們認(rèn)為這是一個(gè)不合理的結(jié)果。218

這時(shí)，我們只能懷疑作為小概率事件A的前提假設(shè)H0的正確性，于是否定H0。反之，如果試驗(yàn)中A沒有出現(xiàn)，我們就沒有理由否定假設(shè)H0，從而做出接受H0的結(jié)論。下面我們通過實(shí)例來說明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想及推理方法。2192、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想及推理方法例1某車間為了提高零件的強(qiáng)度進(jìn)行了技改，已知零件強(qiáng)度X（單位：kg/mm）服從正態(tài)分布N（52.8，0.8），其中μ0=52.8kg/mm是零件強(qiáng)度，現(xiàn)進(jìn)行了技改后，抽取n=16的樣本，測(cè)得強(qiáng)度為：（kg/mm）

51.953.452.954.353.852.453.754.052.452.553.551.354.952.854.552.9

假設(shè)=0.8不變，試問技改后零件強(qiáng)度是否發(fā)生了實(shí)質(zhì)性變化？2

2

2

2

2

2

220

我們的問題就是：已知總體X~N（），且要求檢驗(yàn)下面的假設(shè)：（4-1）通常把H0稱為原假設(shè)或零假設(shè)，把H1稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)。從取樣結(jié)果看，樣本均值與總體均值之間存在差異，這種差異是因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性導(dǎo)致的不可避免的誤差，還是因?yàn)榧几亩鴮?dǎo)致的實(shí)質(zhì)性差異？

221

為了回答這個(gè)問題，首先給定一個(gè)小概率，稱為顯著性水平，通常取較小的值，如0.05，0.01。在本例中，我們選取。選取統(tǒng)計(jì)量，它包含待檢驗(yàn)參數(shù)，當(dāng)H0為真時(shí)，它的分布是已知的，本例中，選?。?-2）于是有

222

其中，為臨界值，查表得。

|μ|的拒絕域?yàn)椋海ǎ⒊闃又荡?-1式得：

落入拒絕域中，即小概率事件竟然出現(xiàn)，于是否定假設(shè)H0，認(rèn)為技改后零件強(qiáng)度發(fā)生了變化。223

應(yīng)當(dāng)注意的是，上面例1的結(jié)論是在顯著性水平的情況下得出的，如果，則,代入觀察值，則會(huì)得出，技改后零件強(qiáng)度無實(shí)質(zhì)變化的相反結(jié)論?？梢姡僭O(shè)取舍與否與的取值直接相關(guān)，當(dāng)我們傾向于不要輕易否H0時(shí)，可取小一些，反之，取大一些。2243、單邊檢驗(yàn)在上面例中，我們關(guān)心的是總體均值μ是否比μ0大，我們要確定是接受假設(shè)，還是接受另一假設(shè)，即技改后，零件的強(qiáng)度是否得到了提高。這樣，問題就是要檢驗(yàn)下面的假設(shè)：

這一假設(shè)檢驗(yàn)稱為右邊檢驗(yàn)，同樣存在左邊檢驗(yàn)，統(tǒng)稱單邊檢驗(yàn)。

225

例2在例1中，是否可以認(rèn)為技改后，零件的強(qiáng)度有明顯的提高？（）解：依題意假設(shè)：

選擇統(tǒng)計(jì)量查表得拒絕域?yàn)椋ǎ⒊闃又荡氲?26

落入拒絕域中，拒絕H0，接受H1，認(rèn)為零件的強(qiáng)度技改后有明顯的提高。根據(jù)實(shí)際問題可以進(jìn)行不同形式的假設(shè)，歸納如下：右邊檢驗(yàn)，假設(shè)形式為：左邊檢驗(yàn)，假設(shè)形式為：

2274、兩類錯(cuò)誤小概率原理是假設(shè)檢驗(yàn)的基本依據(jù)，然而，對(duì)于小概率事件，無論其概率多么小，還是可能發(fā)生的，所以，利用小概率原理為基礎(chǔ)的假設(shè)檢驗(yàn)方法進(jìn)行檢驗(yàn)，可能會(huì)做出錯(cuò)誤的判斷，主要有以下兩種形式228（1）原假設(shè)H0實(shí)際是正確的，但卻錯(cuò)誤地拒絕了H0，這樣就犯了“棄真”的錯(cuò)誤，通常稱為第一類錯(cuò)誤。由于僅當(dāng)所考慮的小概率事件A發(fā)生時(shí)才拒絕H0，所以犯第一類錯(cuò)誤的概率就是條件概率。229

（2）原假設(shè)A0實(shí)際是不正確的，但是卻錯(cuò)誤地接受了H0，這樣就犯了“取偽”的錯(cuò)誤，通常稱為第二類錯(cuò)誤。犯第二類錯(cuò)誤的概率記為。我們自然希望犯這兩類錯(cuò)誤的概率越小越好。但當(dāng)樣本容量n確定后，犯這兩類錯(cuò)誤的概率不可能同時(shí)被控制，通常在我們根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)選取恰當(dāng)?shù)娘@著性水平后，通過擴(kuò)大樣本容量n的方式來使第二類錯(cuò)誤的概率減小。2305、假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟（1）根據(jù)實(shí)際問題提出基本假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1。（2）選取適當(dāng)?shù)娘@著性水平，通常等。（3）根據(jù)H0選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)，該統(tǒng)計(jì)量的分布應(yīng)為已知。（4）求出此檢驗(yàn)的拒絕域，記作w。（5）根據(jù)樣本觀察值，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀察值。（6）作出判斷，若0落在拒絕域內(nèi)，則拒絕H0，接受H1，否則接受H0。。231§4.2單個(gè)正態(tài)總體均值和方差的檢驗(yàn)

我們首先討論單個(gè)正態(tài)總體中參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題。設(shè)從總體抽取樣本容量為n的樣本，其中2321、已知，關(guān)于的檢驗(yàn)（z檢驗(yàn)）在上一節(jié)例1中，已討論過正態(tài)總體，當(dāng)已知時(shí)，關(guān)于=0的檢驗(yàn)問題。在這些問題中，我們都是利用H0為真時(shí)服從N（0，1）分布的統(tǒng)計(jì)量來確定拒絕域的，這種檢驗(yàn)法常稱為z檢驗(yàn)法。2

2

233

下面我們?cè)賮砗唵谓榻B其步驟：已知=0，假設(shè)

易知統(tǒng)計(jì)量對(duì)于給定的顯著性水平，

234

查正態(tài)分布表得拒絕域?qū)颖居^察值代入，如果，

則否定H0，接受H1，否則接受H1。其單邊檢驗(yàn)參照有關(guān)內(nèi)容，在此不再敘述。

235

2、未知，關(guān)于的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）設(shè)總體，其中未知，是來自總體x的樣本。因?yàn)橐阎?，不能用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)H0成立時(shí)，我們可以使用此統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行在未知的情況下的檢驗(yàn)。2

2

236

具體檢驗(yàn)過程如下： 未知，假設(shè)

選取統(tǒng)計(jì)量（4-3）對(duì)于給定的，查表得臨界值確定拒絕域

237

代入樣本觀察值，如果則否定H0，接受H1，否則，接受H0。其單邊檢驗(yàn)過程如下：右邊檢驗(yàn)：假設(shè)

拒絕域：

238

例3某種電子元件壽命x（以小時(shí)計(jì)）服從正態(tài)分布，，未知，現(xiàn)抽取9只元件測(cè)得壽命如下：

10599971009698103104107

問：是否可以認(rèn)為元件的壽命大于100小時(shí)？解：依題意假設(shè)：

選取統(tǒng)計(jì)量n=9。

2

239

對(duì)于給定的，查表得臨界值，拒絕域?yàn)椋?.753，）計(jì)算代入（4-3）式

t沒有落入拒絕域，故接受H0，認(rèn)為元件的壽命不超過100小時(shí)。

2403、未知，檢驗(yàn)關(guān)于的假設(shè)（檢驗(yàn)法）設(shè)總體，其中未知，是來自等于總體x的樣本。假設(shè)，，0為已知常數(shù)當(dāng)H0成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量

241對(duì)于給定的顯著性水平，查表得：拒絕域?yàn)?42

其單邊檢驗(yàn)情況如下：右邊檢驗(yàn)：假設(shè)

拒絕域：

243

左邊檢驗(yàn)：假設(shè)

拒絕域：

計(jì)算s代入得，如果落入拒絕域，則否定H0，否則接受H0。244例4假設(shè)鋼板重量總體近似服從正態(tài)分布，按照規(guī)定，這種鋼板的方差不得超過0.016kg，現(xiàn)隨機(jī)抽取n=25的鋼板樣本，測(cè)得其樣本，試問：是否可以認(rèn)為這批鋼板不合規(guī)格？2

245

解：依題意，假設(shè)選取統(tǒng)計(jì)量對(duì)于給定的顯著性水平，查表得將樣本值代入得：

落入拒絕域中，拒絕假設(shè)H0，即鋼板的方差不合格。

246§4.2兩個(gè)正態(tài)總體均值與方差的檢驗(yàn)

1、關(guān)于兩個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）設(shè)總體，，與分別是來自總體x與Y的樣本，且兩樣本獨(dú)立。均未知，但要注意在這里，假設(shè)兩總體的方差是相等的。247

檢驗(yàn)假設(shè)

當(dāng)H0成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量

其中

248

對(duì)于給定的顯著性水平，查表得