高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破練習(xí)：抽象函數(shù)問題

抽象函數(shù)問題一、單項選擇題1．[2023·河北衡水模擬]已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0，4]，則函數(shù)y＝eq\f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0的定義域是()A．(1，5]B．(1，2)∪(2，5)C．(1，2)∪(2，3]D．(1，3]2．[2023·江蘇鎮(zhèn)江模擬]若函數(shù)y＝f(2x)的定義域為[－2，4]，則y＝f(x)－f(－x)的定義域為()A．[－2，2]B．[－2，4]C．[－4，4]D．[－8，8]3．[2023·安徽銅陵模擬]已知函數(shù)y＝f(x)，x∈N＋，滿足以下條件：①f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋ab，其中a，b∈N＋；②f(2)＝3.則f(2023)＝()A．2023×2024B．2022×2023C．1013×2023D．1012×20234．[2023·廣東揭陽模擬]已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＋f(2－x)＝0，函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且f(1)＝1，則f(2023)＝()A．－1B．0C．1D．25．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x＋4)，且f(x＋1)是偶函數(shù)，則()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱C．f(x)是奇函數(shù)D．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(1,2)，0)對稱6．[2023·遼寧沈陽模擬]已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，滿足f(x－4)＝f(－x)，且滿足f(3x－1)為奇函數(shù)，則下列說法一定正確的是()A．函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x＝1對稱B．函數(shù)f(x)的周期為2C．函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))中心對稱D．f(2023)＝07．[2023·遼寧大連模擬]已知對于每一對正實(shí)數(shù)x，y，函數(shù)f(x)滿足：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－xy－1，若f(1)＝1，則滿足f(n)＝n(n∈N＋)的n的個數(shù)是()A．1個B．2個C．3個D．4個8．[2023·廣東珠海模擬]已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，記g(x)＝f′(x).若f(x＋3)為奇函數(shù)，g(eq\f(3,2)＋2x)為偶函數(shù)，且g(0)＝－3，g(1)＝2，則eq\i\su(i＝1,2023,g)(i)＝()A．670B．672C．674D．676二、多項選擇題9．已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足：?x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，則下列結(jié)論成立的是()A．f(0)＝2B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x)為奇函數(shù)D．f(2)＝－110．[2022·新高考Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，記g(x)＝f′(x).若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2x))，g(2＋x)均為偶函數(shù)，則()A．f(0)＝0B．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0C．f(－1)＝f(4)D．g(－1)＝g(2)三、填空題11．已知函數(shù)f(x)滿足f(x－y)＝eq\f(f（x）,f（y）)，且f(1)<f(3)，請寫出一個符合上述條件的函數(shù)f(x)＝________．12．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－2為奇函數(shù)，則f(198)＝________．13．[2023·安徽合肥模擬]若定義域為R的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，且f(1)＝2，則f(2024)＝________．14．[2023·河北張家口模擬]已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，且f(x＋2)為奇函數(shù)，f′(2－x)＋f′(x)＝2，f′(2)＝2，則eq\i\su(i＝1,50,f)′(i)＝________．

1．解析：因為函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0，4]，又函數(shù)y＝eq\f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0有意義，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x＋1≤4,x－1>0,x－2≠0))，解得1<x<2或2<x≤3，所以函數(shù)y＝eq\f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0的定義域是(1，2)∪(2，3].故選C.答案：C2．解析：因為函數(shù)y＝f(2x)的定義域為[－2，4]，則－2≤x≤4，可得－4≤2x≤8，所以函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－4，8]，對于函數(shù)y＝f(x)－f(－x)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4≤x≤8,－4≤－x≤8))，解得－4≤x≤4，因此，函數(shù)y＝f(x)－f(－x)的定義域為[－4，4].故選C.答案：C3．解析：令a＝b＝1，則f(2)＝f(1)＋f(1)＋1，又f(2)＝3，所以f(1)＝1，令b＝1，則f(a＋1)＝f(a)＋a＋1，即f(a＋1)－f(a)＝a＋1.所以f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝3，…，f(2022)－f(2021)＝2022，f(2023)－f(2022)＝2023，累加得：f(2023)－f(1)＝2＋3＋4＋…＋2022＋2023，所以f(2023)＝1＋2＋3＋4＋…＋2023＝eq\f(2023×（2023＋1）,2)＝1012×2023.故選D.答案：D4．解析：由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，①又函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，即f(x)＝f(－x)，②聯(lián)立①②兩式，可得f(4＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的一個周期為8，又f(1)＝1，所以f(2023)＝f(253×8－1)＝f(－1)＝f(1)＝1，故A，B，D錯誤．故選C.答案：C5．解析：由f(x＋2)＝f(x＋4)可得f(x)＝f(x＋2)，所以函數(shù)f(x)的周期是2，因為f(x＋1)是偶函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，所以f(x)＝f(2－x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函數(shù)，故A正確，C錯誤，當(dāng)f(x)＝－x＋1，0≤x≤1時，通過上述的周期為2，且關(guān)于x＝1對稱得到以下圖象，通過圖象可發(fā)現(xiàn)f(x)不關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱，也不關(guān)于點(diǎn)(eq\f(1,2)，0)對稱，故BD錯誤．故選A.答案：A6．解析：因為f(x)滿足f(x－4)＝f(－x)，所以f[－2＋(x－2)]＝f[－2－(x－2)]，所以函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x＝－2對稱，因為f(3x－1)為奇函數(shù)，所以f(－3x－1)＝－f(3x－1)，即f(－3x－1)＋f(3x－1)＝0，則函數(shù)f(x)圖象關(guān)于(－1，0)對稱，則f(－2＋x)＝－f(x)，令x＝－1得f(－1)＝0，由f(－2＋x)＝－f(x)，得f(－4＋x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，所以f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝f(－1)＝0，故選D.答案：D7．解析：令x＋1＝x1>x＝x2>0且均屬于N*，則f(x2)＋f(1)＝f(x1)－x2－1，所以f(x1)－f(x2)＝x2＋2>0，故f(x2＋1)＝f(x1)＝f(x2)＋x2＋2，又f(1)＝1，故f(x)>0在x∈N*上恒成立，且f(x)在x∈N*上單調(diào)遞增，所以，滿足f(n)＝n(n∈N＋)僅有f(1)＝1，即n僅有1個．故選A.答案：A8．解析：∵f(x＋3)為奇函數(shù)，∴f(－x＋3)＝－f(x＋3)，∴－f′(－x＋3)＝－f′(x＋3)，即：f′(－x＋3)＝f′(x＋3)，又∵g(x)＝f′(x)，∴g(－x＋3)＝g(x＋3)，①又∵g(eq\f(3,2)＋2x)為偶函數(shù)，∴g(eq\f(3,2)－2x)＝g(eq\f(3,2)＋2x)，②∴將②中2x換成x得：g(eq\f(3,2)－x)＝g(eq\f(3,2)＋x)，③∴將③中x換成eq\f(3,2)－x得：g(x)＝g(3－x)，④由①④得：g(x)＝g(x＋3)，∴g(x)的一個周期為3，∴g(3)＝g(0)＝－3，將x＝eq\f(1,2)代入③得：g(1)＝g(2)＝2，∴g(1)＋g(2)＋g(3)＝2＋2－3＝1，又∵2023＝3×674＋1，∴eq\i\su(i＝1,2023,g)(i)＝674×1＋g(1)＝674＋2＝676.故選D.答案：D9．解析：因為?x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A對；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因為f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，C錯，B對；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f(1)＝1，f(0)＝2，所以f(2)＝－1，D對．故選ABD.答案：ABD10．解析：因為f(eq\f(3,2)－2x)，g(2＋x)均為偶函數(shù)，所以f(eq\f(3,2)－2x)＝f(eq\f(3,2)＋2x)，g(2＋x)＝g(2－x).令t＝eq\f(3,2)－2x，則x＝eq\f(3,4)－eq\f(t,2)，所以f(t)＝f(3－t)，即f(x)＝f(3－x).對兩邊求導(dǎo)，得f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＋g(3－x)＝0，所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(3,2)，0)對稱，即g(eq\f(3,2))＝0.又因為g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以g(x)的周期為4×(2－eq\f(3,2))＝2，所以g(eq\f(3,2))＝g(－eq\f(1,2))＝0，所以B正確．因為f′(2＋x)＝f′(2－x)，所以f(2＋x)＝－f(2－x)＋C，其中C為常數(shù)，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝C，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，eq\f(C,2))對稱．又因為f(x)＝f(3－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(3,2)對稱，所以f(x)的周期為4×(2－eq\f(3,2))＝2，所以f(－1)＝f(1)，f(4)＝f(2).又因為f(x)＝f(3－x)，所以f(1)＝f(2)，所以f(－1)＝f(4)，所以C正確．g(x)的圖象不關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱，所以D錯誤．因為f(0)＝f(2)＝eq\f(C,2)，所以當(dāng)C＝0時，f(0)＝0，當(dāng)C≠0時，f(0)≠0，所以A錯誤．故選BC.答案：BC11．解析：令f(x)＝2x，顯然f(x)＝2x在定義域上單調(diào)遞增，滿足f(1)<f(3)，且f(x－y)＝2x－y＝eq\f(2x,2y)，即滿足f(x－y)＝eq\f(f（x）,f（y）)，所以f(x)＝2x符合題意．答案：2x(答案不唯一)12．解析：∵g(x)為定義域為R的奇函數(shù)，∴g(0)＝f(0)－2＝0，解得：f(0)＝2；由f(x＋3)＝－f(x)得：f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期為6的周期函數(shù)，∴f(198)＝f(33×6)＝f(0)＝2.答案：213．解析：由f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，得f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)，所以f(x)－f(x－1)＝f(x＋2)＋f(x)，即－f(x－1)＝f(x＋2)，于是有－f(x)＝f(x＋3)，所以－f(x＋3)＝f(x＋6)，即f(x)＝f(x＋6).所以函數(shù)f(x)的周期為6.因為f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.令x＝1，則f(1)＝f(2)＋f(0)，解得f(2)＝f(1)－f(0)＝2，所以f(2024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝2.答案：214．解析：由f(x＋2)為奇函數(shù)，得f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以f′(x＋2)＝f′(－x＋2)，①又因為f′(2－x)＋f′(x)＝2，②所以f′(x＋2)＋f′(x)＝2，③所以f′(x＋4)＋f