（小白高考）新高考數(shù)學(零基礎)一輪復習教案6.3《等比數(shù)列及其前n項和》 (原卷版)

頁第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.與等差數(shù)列的定義、性質相類比，考查等比數(shù)列的定義、性質，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．結合具體問題的計算，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．3．與實際應用問題相結合，考查等比數(shù)列的應用，凸顯數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．等比數(shù)列的概念(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列．數(shù)學語言表達式：eq\f(an,an－1)＝eq\a\vs4\al(q)(n≥2，q為非零常數(shù))．(2)如果三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，其中G＝±eq\r(ab).2．等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3．等比數(shù)列的性質已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和．(1)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為eq\a\vs4\al(qm).(2)若{an}，{bn}是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．(3)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.(4)當q≠－1或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為eq\a\vs4\al(qn).[澄清盲點誤點]一、關鍵點練明1．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則公比q等于()A．－eq\f(1,2)B．－2C．2D.eq\f(1,2)2．已知Sn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和，若a2·a4＝16，S3＝7，則a8＝()A．32B．64C．128D．2563．設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝()A．31B．32C．63D．64二、易錯點練清1．在等比數(shù)列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的兩根，則a5的值是()A．－2B．－eq\r(2)C．±eq\r(2)D.eq\r(2)2．已知x,2x＋2,3x＋3是等比數(shù)列的前三項，則x的值為________．3．已知{an}是等比數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，且eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2)＝eq\f(2,a3)，S6＝63，則{an}的通項公式為an＝________.考點一等比數(shù)列的基本運算[典例](1)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則eq\f(Sn,an)＝()A．2n－1B．2－21－nC．2－2n－1D．21－n－1(2)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k＝()A．2B．3C．4D．5[方法技巧](1)等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解．(2)等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).[針對訓練]1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a2a10＝4a6，Sn為等差數(shù)列{bn}的前n項和，且S6＝S10，a6＝b7，則b9＝()A.eq\f(4,3)B．－eq\f(4,3)C．－eq\f(8,3)D．－42．(多選)已知正項等比數(shù)列{an}滿足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若設其公比為q，前n項和為Sn，則()A．q＝2B．an＝2nC．S10＝2047D．an＋an＋1<an＋23．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，a1＝1，則S7＝________.考點二等比數(shù)列的判定與證明[典例]已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；(2)若a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，求數(shù)列{an}的通項公式．[方法技巧]等比數(shù)列的4種常用判定方法方法解讀適用題型定義法若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列大題證明中項公式法若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列通項公式法若數(shù)列{an}的通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列選擇填空前n項和公式法若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列[提醒](1)若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可．(2)利用遞推關系時，要注意對n＝1時的情況進行驗證．[針對訓練]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)證明：{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5＝eq\f(31,32)，求λ.考點三等比數(shù)列的性質及應用[典例]設{an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝()A．12B．24C．30D．32[方法技巧]1．等比數(shù)列性質應用問題的解題突破口等比數(shù)列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項公式的變形，三是前n項和公式的變形．根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．2．應用等比數(shù)列性質解題時的2個注意點(1)在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度．(2)在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．[針對訓練]1．已知正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前8項的積是81，那么a1＋a8的最小值是()A．2eq\r(3)B．2eq\r(2)C．8D．62．在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝eq\f(15,8)，a2a3＝－eq\f(9,8)，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,3)C．－eq\f(3,5)D．－eq\f(5,3)3．已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S8－2S4＝5，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為()A．25B．20C．15D．10eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎練——練手感熟練度1．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a1a5＝16，a2＝2，則公比q＝()A．4B.eq\f(5,2)C．2D.eq\f(1,2)2．公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，則m的值為()A．8B．9C．10D．113．已知公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S3＝3a3，則S5＝()A．1B．5C.eq\f(31,48)D.eq\f(11,16)4．已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，若a1，a2，a4成等比數(shù)列，則{an}的前10項和S10＝()A．165B．138C．60D．305．已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，且滿足：a1＋3a3＝eq\f(7,2)，S3＝eq\f(7,2)，則a4＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,8)C．4D．8二、綜合練——練思維敏銳度1．已知等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，滿足a1＋a3＝3，a3＋a5＝6，則a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7＝()A．62B．62eq\r(2)C．61D．61eq\r(2)2．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2與a8的等比中項為eq\r(2)，則aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,6)的最小值是()A．1B．2C．4D．83．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝b1＝1，an＋1－an＝eq\f(bn＋1,bn)＝3，n∈N*，則數(shù)列{ban}的前10項和為()A.eq\f(1,2)(310－1)B.eq\f(1,8)(910－1)C.eq\f(1,26)(279－1)D.eq\f(1,26)(2710－1)4．設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若eq\f(S4,S2)＝3，則eq\f(S6,S4)＝()A．2B.eq\f(7,3)C.eq\f(3,10)D．1或25．(多選)在公比為q的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，a5＝27a2，則下列說法正確的是()A．q＝3B．數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列C．S5＝121D．2lgan＝lgan－2＋lgan＋2(n≥3)6．已知正項等比數(shù)列{an}滿足：a2a8＝16a5，a3＋a5＝20，若存在兩項am，an使得eq\r(aman)＝32，則eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(9,10)C.eq\f(3,2)D.eq\f(9,5)7．設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，則λ＝()A．－2B．－1C．1D．28．設數(shù)列{(n2＋n)an}是等比數(shù)列，且a1＝eq\f(1,6)，a2＝eq\f(1,54)，則數(shù)列{3nan}的前15項和為()A.eq\f(14,15)B.eq\f(15,16)C.eq\f(16,17)D.eq\f(17,18)9．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于()A．80B．30C．26D．1610．已知等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn，若a1＝－24，a4＝－eq\f(8,9)，則當Tn取得最大值時，n的值為()A．2B．3C．4D．611．設數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．若a1＋a5＋a9＝π，則cos(a2＋a8)＝______；若b