直角三角形的邊角關系-單元測試(有答案)

直角三角形的邊角關系-單元測試（有答案）一、選擇題1．計算：cos245°+sin245°=（）A． B．1 C． D．2．在Rt△ABC中，各邊的長度都擴大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值（）A．都擴大兩倍 B．都縮小兩倍 C．不變 D．都擴大四倍3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，下列結論正確的是（）A．csinA=a B．bcosB=c C．a(chǎn)tanA=b D．tanB=4．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為邊AC的中點，DE⊥BC于點E，連接BD，則tan∠DBC的值為（）A． B．﹣1 C．2﹣ D．5．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanB的值為（）A． B． C． D．7．如圖，一個小球由地面沿著坡度i=1：2的坡面向上前進了10m，此時小球距離地面的高度為（）A．5m B．2m C．4m D．m8．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，則tan∠DBE的值（）A． B．2 C． D．9．直角三角形兩直角邊和為7，面積為6，則斜邊長為（）A．5 B． C．7 D．10．如圖，某飛機在空中A處探測到它的正下方地平面上目標C，此時飛行高度AC=1200m，從飛機上看地平面指揮臺B的俯角α=30°，則飛機A與指揮臺B的距離為（）A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m二、填空題11．如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行米．12．如圖，有一滑梯AB，其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度BC為2.8米，則∠A的度數(shù)約為（用科學計算器計算，結果精確到0.1°）．13．小蘭想測量南塔的高度．她在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50m至B處，測得仰角為60°，那么塔高約為m．（小蘭身高忽略不計，取）14．等腰三角形的腰長為2，腰上的高為1，則它的底角等于．15．如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=4，cosB=，則AC=．16．如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=．17．如圖1是小志同學書桌上的一個電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾何圖形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，則點B到CD的距離為cm（參考數(shù)據(jù)sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，結果精確到0.1cm，可用科學計算器）．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=6，CD=9，則AB=．三、解答題19．計算下列各題：(1)（2cos45°﹣sin60°）+；(2)（﹣2）0﹣3tan30°+|﹣2|．20．在數(shù)學活動課上，九年級（1）班數(shù)學興趣小組的同學們測量校園內(nèi)一棵大樹（如圖）的高度，設計的方案及測量數(shù)據(jù)如下：(1)在大樹前的平地上選擇一點A，測得由點A看大樹頂端C的仰角為35°；(2)在點A和大樹之間選擇一點B（A，B，D在同一直線上），測得由點B看大樹頂端C的仰角恰好為45°；(3)量出A，B兩點間的距離為4.5米．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出大樹CD的高度．（精確到0.1米）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）21．每年的5月15日是”世界助殘日”，我區(qū)時代超市門前的臺階共高出地面1.2米，為幫助殘疾人，便于輪椅行走，準備拆除臺階換成斜坡，又考慮安全，輪椅行走斜坡的坡角不得超過9°，已知此商場門前的人行道距門前垂直距離為8米（斜坡不能修在人行道上），問此商場能否把臺階換成斜坡？（參考數(shù)據(jù)：sin9°=0.1564，cos9°=0.9877，tan9°=0.1584）22．如圖，為了測量某建筑物CD的高度，先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前進了100m，此時自B處測得建筑物頂部的仰角是45°．已知測角儀的高度是1.5m，請你計算出該建筑物的高度．（取=1.732，結果精確到1m）23．已知：如圖，在山腳的A處測得山頂D的仰角為45°，沿著坡度為30°的斜角前進400米處到B處（即∠BAC=30°，AB=400米），測得D的仰角為60°，求山的高度CD．24．一段路基的橫斷面是直角梯形，如圖1，已知原來坡面的坡角α的正弦值為0.6，現(xiàn)不改變土石方量，全部利用原有土石方進行坡面改造，使坡度變小，達到如右下圖2的技術要求．試求出改造后坡面的坡度是多少？25．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點H、E，AH=2CH．(1)求sinB的值；(2)如果CD=，求BE的值．26．如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船c的求救信號．已知A、B兩船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上．(1)分別求出A與C，A與D之間的距離AC和AD（如果運算結果有根號，請保留根號）．(2)已知距觀測點D處200海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）參考答案與試題解析1．計算：cos245°+sin245°=（）A． B．1 C． D．【解答】解：∵cos45°=sin45°=，∴cos245°+sin245°===1．故選B．2．在Rt△ABC中，各邊的長度都擴大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值（）A．都擴大兩倍 B．都縮小兩倍 C．不變 D．都擴大四倍【解答】解：∵各邊的長度都擴大兩倍，∴擴大后的三角形與Rt△ABC相似，∴銳角A的各三角函數(shù)值都不變．故選C．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，下列結論正確的是（）A．csinA=a B．bcosB=c C．a(chǎn)tanA=b D．tanB=【解答】解：A、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，csinA=a，正確；B、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，本項錯誤；C、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，btanA=a，本項錯誤；D、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，本項錯誤，故選A．4．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為邊AC的中點，DE⊥BC于點E，連接BD，則tan∠DBC的值為（）A． B．﹣1 C．2﹣ D．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．又∵點D為邊AC的中點，∴AD=DC=AC．∵DE⊥BC于點E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC．∴tan∠DBC===．故選A．5．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．【解答】解：如圖：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC為直角三角形，∴tan∠B==，故選D．6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanB的值為（）A． B． C． D．【解答】解：解法1：利用三角函數(shù)的定義及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，tanB=和a2+b2=c2．∵sinA=，設a=3x，則c=5x，結合a2+b2=c2得b=4x．∴tanB=．解法2：利用同角、互為余角的三角函數(shù)關系式求解．∵A、B互為余角，∴cosB=sin（90°﹣B）=sinA=．又∵sin2B+cos2B=1，∴sinB==，∴tanB===．故選A．7．如圖，一個小球由地面沿著坡度i=1：2的坡面向上前進了10m，此時小球距離地面的高度為（）A．5m B．2m C．4m D．m【解答】解：∵AB=10米，tanA==．∴設BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，∴AC=4，BC=2米．故選B．8．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，則tan∠DBE的值（）A． B．2 C． D．【解答】解：設菱形ABCD邊長為t．∵BE=2，∴AE=t﹣2．∵cosA=，∴．∴=．∴t=5．∴AE=5﹣2=3．∴DE==4．∴tan∠DBE===2．故選B．9．直角三角形兩直角邊和為7，面積為6，則斜邊長為（）A．5 B． C．7 D．【解答】解：設直角三角形一直角邊為x，則另一直角邊為7﹣x，根據(jù)題意得x（7﹣x）=6，解得x=3或x=4，所以斜邊長為．故選A．10．如圖，某飛機在空中A處探測到它的正下方地平面上目標C，此時飛行高度AC=1200m，從飛機上看地平面指揮臺B的俯角α=30°，則飛機A與指揮臺B的距離為（）A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m【解答】解：∵∠ABC=∠α=30°，∴AB===2400（m），即飛機A與指揮臺B的距離為2400m．故選D．11．如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行10米．【解答】解：如圖，設大樹高為AB=12m，小樹高為CD=6m，過C點作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AC，∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），在Rt△AEC中，AC==10（m）．故小鳥至少飛行10m．故答案為：10．12．如圖，有一滑梯AB，其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度BC為2.8米，則∠A的度數(shù)約為27.8°（用科學計算器計算，結果精確到0.1°）．【解答】解：∵tan∠A==≈0.5283，∴∠A=27.8°，故答案為：27.8°．13．小蘭想測量南塔的高度．她在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50m至B處，測得仰角為60°，那么塔高約為43.3m．（小蘭身高忽略不計，?。窘獯稹拷猓骸摺螪AB=30°，∠DBC=60°，∴BD=AB=50m．∴DC=BD?sin60°=50×=43.3．故答案為：43.3．14．等腰三角形的腰長為2，腰上的高為1，則它的底角等于15°或75°．．【解答】解；如圖1，△ABC中，AB=AC=2，BD為腰上的高，且BD=1，頂角為銳角，∵AD2=AB2﹣BD2，∴AD2=4﹣1=3，∴AD=，∴∠ABD=60°，∴頂角為30°，底角為75°；如圖2，△ABC中，AB=AC=2，BD為腰上的高，且BD=1，頂角為鈍角同理可得，底角為15°．故答案為：15°或75°．15．如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=4，cosB=，則AC=5．【解答】解：∵在Rt△ABC中，cosB=，∴sinB=，tanB==．∵在Rt△ABD中AD=4，∴AB=．在Rt△ABC中，∵tanB=，∴AC=×=5．16．如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=．【解答】解：在直角△ABD中，BD=1，AB=2，則AD===，則sinA===．故答案是：．17．如圖1是小志同學書桌上的一個電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾何圖形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，則點B到CD的距離為14.1cm（參考數(shù)據(jù)sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，結果精確到0.1cm，可用科學計算器）．【解答】解：如圖2，作BE⊥CD于E，∵BC=BD，∠CBD=40°，∴∠CBE=20°，在Rt△CBE中，cos∠CBE=，∴BE=BC?cos∠CBE=15×0.940=14.1cm．故答案為：14.1．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=6，CD=9，則AB=8．【解答】解：過點D作DE⊥AB于點E，CF⊥DE于F，則有四邊形BCFE為矩形，BC=EF，BE=CF，∵∠A=60°，∴∠ADE=30°，∵∠D=90°，∴∠CDE=60°，∠DCF=30°，在△CDF中，∵CD=9，∴CF=CD=，CF=CD=，∵EF=BC=6，∴DE=EF+DF=6+=，則AE==，∴AB=AE+BE=+=8．故答案為：8．19．計算下列各題：(1)（2cos45°﹣sin60°）+；(2)（﹣2）0﹣3tan30°+|﹣2|．【解答】解：(1)原式=×（2×﹣）+=2﹣+=2；(2)原式=1﹣3×+2﹣=3﹣2．20．在數(shù)學活動課上，九年級（1）班數(shù)學興趣小組的同學們測量校園內(nèi)一棵大樹（如圖）的高度，設計的方案及測量數(shù)據(jù)如下：(1)在大樹前的平地上選擇一點A，測得由點A看大樹頂端C的仰角為35°；(2)在點A和大樹之間選擇一點B（A，B，D在同一直線上），測得由點B看大樹頂端C的仰角恰好為45°；(3)量出A，B兩點間的距離為4.5米．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出大樹CD的高度．（精確到0.1米）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【解答】解：設CD=x米；∵∠DBC=45°，∴DB=CD=x，AD=x+4.5；在Rt△ACD中，tan∠A=，∴tan35°=；解得：x=10.5；所以大樹的高為10.5米．解法2：在Rt△ACD中，tan∠A=，∴AD=；在Rt△BCD中，tan∠CBD=，∴BD=；而AD﹣BD=4.5，即﹣=4.5，解得：CD=10.5；所以大樹的高為10.5米．21．每年的5月15日是”世界助殘日”，我區(qū)時代超市門前的臺階共高出地面1.2米，為幫助殘疾人，便于輪椅行走，準備拆除臺階換成斜坡，又考慮安全，輪椅行走斜坡的坡角不得超過9°，已知此商場門前的人行道距門前垂直距離為8米（斜坡不能修在人行道上），問此商場能否把臺階換成斜坡？（參考數(shù)據(jù)：sin9°=0.1564，cos9°=0.9877，tan9°=0.1584）【解答】解：由于臺階共高出地面1.2米，商場門前的人行道距門前垂直距離為8米，則拆除臺階換成斜坡后的坡角的正切值為tanα==0.15＜tan9°，因此，此商場能把臺階換成斜坡．22．如圖，為了測量某建筑物CD的高度，先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前進了100m，此時自B處測得建筑物頂部的仰角是45°．已知測角儀的高度是1.5m，請你計算出該建筑物的高度．（取=1.732，結果精確到1m）【解答】解：設CE=xm，則由題意可知BE=xm，AE=（x+100）m．在Rt△AEC中，tan∠CAE=，即tan30°=，∴，3x=（x+100），解得x=50+50=136.6，∴CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1≈138（m）．答：該建筑物的高度約為138m．23．已知：如圖，在山腳的A處測得山頂D的仰角為45°，沿著坡度為30°的斜角前進400米處到B處（即∠BAC=30°，AB=400米），測得D的仰角為60°，求山的高度CD．【解答】解：過B作BF⊥AC于F，在Rt△AFB中，∵AB=400米，∠BAF=30°，∴BF=AB=×400=200（米），AF=AB?cos30°=200（米），∵BF⊥AC，BE⊥DC，∴四邊形BFCE是矩形，∴EC=BF=200米，設BE=x米，則FC=x米，在Rt△DBE中，∵∠DBE=60°，∴DE=tan60°?BE=x（米），∵∠DAC=45°，∠C=90°，∴∠ADC=45°，∴AC=DC，∵AC=AF+FC=（200+x）米，DC=DE+EC=（x+200）米，解得：x=200，∴DC=DE+EC=200+200（米）．答：山的高度BC約為（200+200）米．24．一段路基的橫斷面是直角梯形，如圖1，已知原來坡面的坡角α的正弦值為0.6，現(xiàn)不改變土石方量，全部利用原有土石方進行坡面改造，使坡度變小，達到如右下圖2的技術要求．試求出改造后坡面的坡度是多少？【解答】解：由圖可知：BE⊥DC，BE=30m，sinα=0.6，在Rt△BEC中，∵sinα=，∴BC==50（m），在RT△BEC中EC2=BC2﹣BE2，BE=30m，由勾股定理得，EC=40m．在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下進行坡面改造，使坡度變小，則梯形ABCD面積=梯形A1B1C1D面積，∴×（20+60）×30=×20（20+20+EC1）解得EC1=80（m），∴改建后的坡度i=B1E：EC1=20：80=1：4．25．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點H、E，AH=2CH．(1)求sinB的值；(2)如果CD=，求BE的值．【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=