第三章 趨勢(shì)面分析課件

第三章地理學(xué)中的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)分析

方法第三章趨勢(shì)面分析第6節(jié)趨勢(shì)面分析方法

趨勢(shì)面分析的用途趨勢(shì)面分析的一般原理

趨勢(shì)面模型的適度檢驗(yàn)

趨勢(shì)面分析應(yīng)用實(shí)例趨勢(shì)面分析的軟件實(shí)現(xiàn)第三章趨勢(shì)面分析一、趨勢(shì)面分析的用途趨勢(shì)面分析(trendsurfaceanalysis,TSA)的主要功能是找出研究區(qū)域內(nèi)變量的空間分布格局。描述地理要素的空間分布及變化趨勢(shì)（如地質(zhì)勘探、海底地形、生態(tài)環(huán)境、經(jīng)濟(jì)要素的空間分布、評(píng)估等等）。許多現(xiàn)象在空間都具有復(fù)雜的分布特征，它們常常呈現(xiàn)為不規(guī)則的曲面。欲研究這些現(xiàn)象的空間分布趨勢(shì)，就要用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法將現(xiàn)象的空間分布及其區(qū)域變化趨勢(shì)模擬出來(lái)，這就用到趨勢(shì)面分析方法。趨勢(shì)面分析方法常常被用來(lái)模擬資源、環(huán)境、人口及經(jīng)濟(jì)要素在空間上的分布規(guī)律，它在空間分析方面具有重要的應(yīng)用價(jià)值。進(jìn)行空間插值.是空間內(nèi)插的一種方法。在區(qū)域內(nèi)通過(guò)已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)，推求任意點(diǎn)數(shù)據(jù)的方法稱為空間數(shù)據(jù)的內(nèi)插。

在其他學(xué)科的應(yīng)用（工程技術(shù)、傳染病學(xué)、化學(xué)等）第三章趨勢(shì)面分析二、趨勢(shì)面分析的一般原理

定義：趨勢(shì)面分析，是利用數(shù)學(xué)曲面模擬地理系統(tǒng)要素在空間上的分布及變化趨勢(shì)的一種數(shù)學(xué)方法。它實(shí)質(zhì)上就是通過(guò)回歸分析原理，運(yùn)用最小二乘法擬合一個(gè)二維非線性函數(shù)，模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢(shì)。只不過(guò)多元線性回歸分析考察的是多個(gè)自變量因素對(duì)因變量的影響程度，而趨勢(shì)面分析是將三維坐標(biāo)系中坐標(biāo)點(diǎn)x,y作為自變量，點(diǎn)z的值作為因變量來(lái)考察這個(gè)z值在空間上的變化趨勢(shì)。

目的：找到一個(gè)空間趨勢(shì)面去擬合地理要素的實(shí)際分布面。

第三章趨勢(shì)面分析

空間趨勢(shì)面是一種光滑的數(shù)學(xué)曲面，它能集中地代表地理數(shù)據(jù)在大范圍內(nèi)的空間變化趨勢(shì)。它與實(shí)際上的地理曲面不同，它只是實(shí)際曲面的一種近似值。趨勢(shì)面是一種抽象的數(shù)學(xué)曲面，它抽象并過(guò)濾掉了一些局域隨機(jī)因素的影響，使地理要素的空間分布規(guī)律明顯化。實(shí)際曲面=趨勢(shì)面+剩余曲面。趨勢(shì)面反映了區(qū)域性的變化規(guī)律，它受大范圍的系統(tǒng)性因素影響，屬于確定性因素作用的結(jié)果。而剩余面反映局部性變化特點(diǎn)，它受局部因素和隨機(jī)因素的影響。二、趨勢(shì)面分析的一般原理

第三章趨勢(shì)面分析趨勢(shì)面分析的一個(gè)基本要求，就是所選擇的趨勢(shì)面模型應(yīng)該是剩余值最小，而趨勢(shì)值最大，這樣擬合度精度才能達(dá)到足夠的準(zhǔn)確性?？臻g趨勢(shì)面分析，正是從地理要素分布的實(shí)際數(shù)據(jù)中分解出趨勢(shì)值和剩余值，從而揭示地理要素空間分布的趨勢(shì)與規(guī)律。觀測(cè)值=確定性函數(shù)值+隨機(jī)性函數(shù)值=趨勢(shì)值+剩余值

我們通常用回歸分析的方法來(lái)求趨勢(shì)值和剩余值。

二、趨勢(shì)面分析的一般原理

第三章趨勢(shì)面分析（一）建立趨勢(shì)面模型

設(shè)某地理要素的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)為，趨勢(shì)面擬合值為，則有

式中：εi即為剩余值（殘差值）。顯然，當(dāng)（xi，yi）在空間上變動(dòng)時(shí)，（3.6.1）式就刻畫(huà)了地理要素的實(shí)際分布曲面、趨勢(shì)面和剩余面之間的互動(dòng)關(guān)系。

（3.6.1）

第三章趨勢(shì)面分析趨勢(shì)面分析的核心從實(shí)際觀測(cè)值出發(fā)推算趨勢(shì)面，使得殘差平方和趨于最小，即

以此來(lái)估計(jì)趨勢(shì)面參數(shù)。這就是在最小二乘法意義下的趨勢(shì)面擬合。

第三章趨勢(shì)面分析

用來(lái)計(jì)算趨勢(shì)面的數(shù)學(xué)方程式有多項(xiàng)式函數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)，其中最為常用的是多項(xiàng)式函數(shù)形式。因?yàn)槿魏我粋€(gè)函數(shù)都可以在一個(gè)適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)用多項(xiàng)式來(lái)逼近，而且調(diào)整多項(xiàng)式的次數(shù)，可使所求的回歸方程適合實(shí)際問(wèn)題的需要。

第三章趨勢(shì)面分析多項(xiàng)式趨勢(shì)面的形式①一次趨勢(shì)面模型②二次趨勢(shì)面模型③三次趨勢(shì)面模型（3.6.2）

（3.6.3）

（3.6.4）

第三章趨勢(shì)面分析（二）估計(jì)趨勢(shì)面模型的參數(shù)實(shí)質(zhì)

根據(jù)觀測(cè)值z(mì)i，xi，yi（i=1,2,…,n）確定多項(xiàng)式的系數(shù)a0，a1，…，ap，使殘差平方和最小。過(guò)程

①

將多項(xiàng)式回歸（非線性模型）模型轉(zhuǎn)化為多元線性回歸模型。第三章趨勢(shì)面分析令

則②其殘差平方和為

（3.6.5）

第三章趨勢(shì)面分析③求Q對(duì)a0，a1，…，ap的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得正規(guī)方程組(式中為p+1個(gè)未知量）（3.6.6）

第三章趨勢(shì)面分析一般采用消元法求解正規(guī)方程組。解此正規(guī)方程組，即得p＋1個(gè)系數(shù)a0，a1，…，ap。帶入原擬合模型，即得到趨勢(shì)面方程。第三章趨勢(shì)面分析三、趨勢(shì)面模型的顯著性檢驗(yàn)

趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn)趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)

趨勢(shì)面分析擬合程度與回歸模型的效果直接相關(guān)，因此，對(duì)趨勢(shì)面分析進(jìn)行適度性檢驗(yàn)是一個(gè)關(guān)系到趨勢(shì)面能否在實(shí)際研究中加以應(yīng)用的關(guān)鍵問(wèn)題，也是趨勢(shì)面分析中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。這可以通過(guò)以下檢驗(yàn)來(lái)完成：第三章趨勢(shì)面分析（一）趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn)

趨勢(shì)面與實(shí)際面的擬合度系數(shù)R2是測(cè)定回歸模型擬合優(yōu)度的重要指標(biāo)。一般用變量z的總離差平方和中回歸平方和所占的比重表示回歸模型的擬合優(yōu)度?？傠x差平方和等于回歸平方和與剩余平方和之和。即第三章趨勢(shì)面分析

越大（或越?。┚捅硎疽蜃兞颗c自變量的關(guān)系越密切，回歸的規(guī)律性越強(qiáng)、效果越好。記

越大，趨勢(shì)面的擬合度就越高。

為剩余平方和，它表示隨機(jī)因素對(duì)離差的影響，為回歸平方和，它表示自變量對(duì)因變量的離差的總影響。

（3.6.9）

第三章趨勢(shì)面分析（二）趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)趨勢(shì)面適度的F檢驗(yàn)，是對(duì)趨勢(shì)面回歸模型整體的顯著性檢驗(yàn)。

方法：是利用變量z的總離差平方和中回歸平方和與剩余平方和的比值，確定變量z與自變量x、y之間的回歸關(guān)系是否顯著。即結(jié)果分析：在顯著性水平α下，查F分布表得Fα，若計(jì)算的F值大于臨界值Fα，則認(rèn)為趨勢(shì)面方程顯著；反之則不顯著。（3.6.10）

第三章趨勢(shì)面分析（三）趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)

方法

(1)求出較高次多項(xiàng)式方程的回歸平方和與較低次多項(xiàng)式方程的回歸平方和之差;(2)將此差除以回歸平方和的自由度之差，得出由于多項(xiàng)式次數(shù)增高所產(chǎn)生的回歸均方差;(3)將此均方差除以較高次多項(xiàng)式的剩余均方差，得出相繼兩個(gè)階次趨勢(shì)面模型的適度性比較檢驗(yàn)值F。若所得的F值是顯著的，則較高次多項(xiàng)式對(duì)回歸作出了新貢獻(xiàn)，若F值不顯著，則較高次多項(xiàng)式對(duì)于回歸并無(wú)新貢獻(xiàn)。相應(yīng)的方差分析表見(jiàn)表3.6.1。

第三章趨勢(shì)面分析

表3.6.1多項(xiàng)式趨勢(shì)面由K次增高至（K+1）次的回歸顯著性檢驗(yàn)離差來(lái)源平方和自由度均方差F檢驗(yàn)（K+1）次回歸

p

（K+1）次剩余

n–p–1K次回歸

qK次剩余

n–q–1由K次增高至（K+1）次的回歸p–q總離差SST第三章趨勢(shì)面分析四、趨勢(shì)面分析應(yīng)用實(shí)例

某流域1月份降水量與各觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)位置數(shù)據(jù)如表3.6.2所示。下面，我們以降水量為因變量z，地理位置的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為自變量x、y，進(jìn)行趨勢(shì)面分析，并對(duì)趨勢(shì)面方程進(jìn)行適度F檢驗(yàn)。

第三章趨勢(shì)面分析表3.6.2流域降水量及觀測(cè)點(diǎn)的地理位置數(shù)據(jù)序號(hào)降水量Z/mm橫坐標(biāo)x/104m縱坐標(biāo)y/104m12345678910111227.638.42424.73255.540.437.53131.75344.901.11.82.953.41.80.70.20.851.652.653.6510.6000.21.71.323.353.153.12.55第三章趨勢(shì)面分析建立趨勢(shì)面模型

(1)

首先采用二次多項(xiàng)式進(jìn)行趨勢(shì)面擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

解題步驟第三章趨勢(shì)面分析圖3.6.1某流域降水量的二次多項(xiàng)式趨勢(shì)面

第三章趨勢(shì)面分析

(2)再采用三次趨勢(shì)面進(jìn)行擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

第三章趨勢(shì)面分析圖3.6.2某流域降水量的三次多項(xiàng)式趨勢(shì)面

第三章趨勢(shì)面分析

(1)趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn):根據(jù)R2檢驗(yàn)方法計(jì)算，結(jié)果表明，二次趨勢(shì)面的判定系數(shù)為R22=0.839，三次趨勢(shì)面的判定系數(shù)為R32=0.965，可見(jiàn)二次趨勢(shì)面回歸模型和三次趨勢(shì)面回歸模型的顯著性都較高，而且三次趨勢(shì)面較二次趨勢(shì)面具有更高的擬合程度。

模型檢驗(yàn)第三章趨勢(shì)面分析

(2)

趨勢(shì)面適度的顯著性F檢驗(yàn):根據(jù)F檢驗(yàn)方法計(jì)算，結(jié)果表明，二次趨勢(shì)面和三次趨勢(shì)面的F值分別為F2=6.236和F3=6.054。在置信水平α=0.05下，查F分布表得F3α=。顯然，，故二次趨勢(shì)面的回歸方程顯著而三次趨勢(shì)面不顯著。因此，F(xiàn)檢驗(yàn)的結(jié)果表明，用二次趨勢(shì)面進(jìn)行擬合比較合理。。第三章趨勢(shì)面分析

趨勢(shì)面比較：在二次和三次趨勢(shì)面檢驗(yàn)中，對(duì)兩個(gè)階次趨勢(shì)面模型的適度進(jìn)行比較，相應(yīng)的方差分析計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3.6.3。(3)趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)：

離差來(lái)源平方和自由度均方差F檢驗(yàn)三次回歸三次剩余二次回歸二次剩余由二次增高至三次的回歸

1129.78941.474982.244189.018147.545912-9-1512-5-14125.53220.737196.44931.50336.8866.0546.2361.779表3.6.3二次和三次趨勢(shì)面回歸模型的逐次檢驗(yàn)方差分析表第三章趨勢(shì)面分析

分析：從二次趨勢(shì)面增加到三次趨勢(shì)面，F(xiàn)3→2=1.779。在置信度水平α=0.05下，查F分布表得F0.05(4,2)=6.94，由于F3→2<F0.05(4,2)=6.94，故將趨勢(shì)面擬合次數(shù)由二次增高至三次，對(duì)回歸方程并無(wú)新貢獻(xiàn)，因而選取二次趨勢(shì)面比較合適。這也進(jìn)一步驗(yàn)證了趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)的結(jié)論。第三章趨勢(shì)面分析五、可用軟件Matlab6.0Sas8.0Arcview,Arcinfo趨勢(shì)面分析模塊第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析實(shí)際應(yīng)用中，趨勢(shì)面分析具體計(jì)算方法步驟：1、以原始數(shù)據(jù)列表2、等間隔選取縱橫坐標(biāo)網(wǎng)，將原始數(shù)據(jù)點(diǎn)入坐標(biāo)3、用spss軟件建立并選擇趨勢(shì)面回歸方程即選取模型（xy等二次或三次項(xiàng)可通過(guò)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，用compute功能產(chǎn)生新的變量，建立二元高次多項(xiàng)式，選取強(qiáng)迫進(jìn)入法進(jìn)行回歸。4、模型檢驗(yàn)5、用matlab或arcgis繪制趨勢(shì)面分析圖第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析1202.29第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第三章趨勢(shì)面分析第