2023年高考數(shù)學(xué)第30講怎樣求二面角

第30講怎樣求二面角

一、知識概要

1二面角的定義

在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以這點(diǎn)為垂足,在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射

線所成的角叫作二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角來度量，二面角的范圍是［0,句.

2求二面角的基本解題思路先找平面角，轉(zhuǎn)化為求線線角,或通過兩個(gè)半平面的法向量的夾角，再

求夾角的補(bǔ)角.

二、題型精析

【例】1(1)己知點(diǎn)E,尸分別在正方體ABCQ-A5C,A的棱切不CC,上，且=

，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于.

(2)在三棱雉P—43C中均為等邊三角形，且A8LBC,則二面角A—PC—3

的余弦值為().

策略點(diǎn)擊

二面角的求解，最為基本的方法有定義法、垂面法、三垂線定理法.解題目標(biāo)都是作出其平面

角，將空間二面角化為平面線線角問題來求解。解題的步驟是“一作，二證，三求第(1)問,是無棱

二面角問題，可通過補(bǔ)成有橫二面角來解,或者運(yùn)用向量坐標(biāo)法(正方體很容易建立空間直角坐

標(biāo)系)和面積射影公式cos。=濰來解。第(2)問，可直接運(yùn)用定義法解.

S截面

【解】⑴如圖3-33所示，延長相交于點(diǎn)G聯(lián)結(jié)AG.設(shè)正方體的棱長為3,則

GB=8C=3.作8H1.AG于“，連接EH，則ZEHB為所求二面角的平面角.

BH=—,￡B=l,.'.tanZEHB=—.

2BH3

圖3-33

(2)如圖3-34所示，取4c的中點(diǎn)O,PC的中點(diǎn)D.聯(lián)結(jié)OP,OB,OD,DB,

設(shè)A5=2,由條件可知PA=PC=2,AC=2?:.PAIPC,

OP=LAC=O=0C.;.0D工PC,又BDLPC

2

故ZBDO是二面角A-PC-B的平面角，

在，BOD中，由08=0,00=1,3。=百.

得NBOD=90°,cosNBDO=—==—.

BD坦3

/T

二面角A—PC—8的余弦值為5故選B.

圖3-34

【例】2(2019年高考數(shù)學(xué)全國卷理科第18題)如圖3—35所示，直四棱柱ABC。一44GR的

底面是菱形,AA=4,A8=2,ABDA=60°,及M,N分別是BC,8片，4。的中點(diǎn).

⑴證明:MN//平面GE。；

(2)求二面角A-M4-N的正弦值

策略點(diǎn)擊

第(1)問，可以用立體幾何法，即證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行，從而證明直線與平面

平行；也可以運(yùn)用空間向量證明.第(2)問，可以運(yùn)用三垂線法或射影面積法；也可以建立空

間直角坐標(biāo)系，利用兩平面法向量夾角的余弦值求二面角的正弦值.

圖3-35

【解】Q)【證法一】如圖3-36所示，聯(lián)結(jié)80,ME.

M,E分別為BB},BC的中點(diǎn),ME//B,C,且ME=(用。

又?4。為4。的中點(diǎn)，=

由題設(shè)知〃DCA4=DC,可得B\CHA、D,4C=AQ,故ME//ND,ME=ND.

因此四邊形政VDE為平行四邊形,M/V//ED,又肱Vu平面CQE,

.?.州//平面。?！?/p>

圖3-36

【證法二】由已知可得Z)E_LDA.以。為坐標(biāo)原點(diǎn),D4的方向?yàn)閤軸的正方向的方向?yàn)?/p>

y軸的正方向,DR的方向?yàn)閦軸的正方向，建立如圖3-37所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z，則

A/(1,V3,2),;V(1,O,2),E(O,V3,O).

NM=(0,G,0),DE=(0,6,0).因此NM=DE.:.MNIIED.

又":MN<z平面C、DE,EDc平面C}DE,:.MN//平面CQE.

圖3-37

(2)【解法一】(向量坐標(biāo)法)由已知可得以。為坐標(biāo)原點(diǎn),OA的方向?yàn)閤軸正方

向，建立如圖3-36所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

則42,0,0),A(2,0,4),M(1,瓜2),N(l,0,2),

AA=(0,0,T),AM=(-1,V3,-2),4N=(T,0,-2),MN=(0,一百,0)

設(shè)根=(x,y,z)為平面A{MA的一個(gè)法向量，則

m\M=0,\_x^y/jy_2z=0^

$<.?.<$

m-AiA=0,[-4z=0

可取機(jī)=(6,1,0).

-石4=0,

設(shè)〃=(p,q,r)為平面AMN的一個(gè)法向量，則《

-p-2r=0.

n-A}N=0

可取萬=(2,0,—1).

工日/八rn-nV15

于是cos<m,n)=------=-----尸=----

I回利2x455

二面角A-MA.-N的正弦值為普.

【解法二】(定義法)由題意有GCJ■平面ABCD

:.CiCIDE.OBC為等邊三角形,.?.DELBC.

又8。?6=。,.?.。后_1_平面80。由，即。6_1平面4。％作47，人]￡),垂足為，,如

圖3—38所示，則。ELAH.

又aOnDE=A”J_平面A.MED.

22

在44加4中,?.?A,M+AMAMJ.A|M

聯(lián)結(jié).由三垂線定理可知,HM±A,M.

.〔NAMH為二面角A-MAt-N的平面角.

在&AAQ中，由ga?AA|=gAZZAH,解得竽.

又4M=AB2+BM2=2-J1,

：..sinAAMH=~=^-，故二面角A-必-N的正弦值為叵

圖3-38

【解法三】（射影面積法）如圖3-39所示，取你的中點(diǎn)P,連接PM,PN.作NQLPM,垂

足為Q,聯(lián)結(jié)AQ?易證得A%_L平面PMN,A4,LNQ.

又NQLPM,A4,2何二冷二池,平面片4股.

“AMQ是-4MN在平面A4W上的射影。

s

設(shè)二面角A-MA.-N的平面角大小為6,則cos0=—

S.A\MN

易求得AP=2,PM=2,PN=l,:.AM=2>/i，AN=布.

易知ABD是等邊三角形，:.BF=6,MN=布.

由勾股定理逆定理得ANJLMN,PN1MN.

MN23

在Rt.PMN中,由射影定理得〃。=需-=：.

3^二戶竺=巫.."=中？=巫

S.A,MN2.XMQXA|N55

/.二面角A-MA.-N的正弦值為半.

圖3-39

方法提煉

求二面角的方法主要有下列幾種.

1定義法

直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面中作棱的垂線，得出平面角，在相應(yīng)的平

面圖形（通常是三角形）中計(jì)算求出.

2三垂線法

已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或其逆定理作出平面角,在直角

三角形中計(jì)算求出.

3垂面法

已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí),過兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面

角，二面角的平面角所在平面與棱垂直.

4射影法

5平移法

由平行平面的性質(zhì)可知，如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么這兩個(gè)平行平面與第三

個(gè)平面所成的二面角相等或互補(bǔ)，因此，當(dāng)所求二面角不易直接作出其平面角時(shí)，可利用此結(jié)論平

移二面角的某一面到適當(dāng)位值,以便作出其平面角.

6向量法

建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量,然后代人向量夾角公式求出兩法向量的夾

角夕則兩個(gè)平面的二面角的平面角為（萬-。）或夕

用向量法求二面角e的公式為:?cos。i=，湍（4,為分別為兩個(gè)平面的法向旺）.

對于一類沒有給出棱的二面角,應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法.

三、易錯(cuò)警示

【例】1直三棱柱—的側(cè)棱A4,=6，底面=A3。是以NACB為直角，且

=AC=1的等腰直角三角形.求二面角A-A.B-C的余弦值.

錯(cuò)解:如圖3-40所示.過點(diǎn)A作AE_LA/于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)$CE$，則

ZAEC是二面角A-AtB-C的平面角.

8C=AC=1,NACB=-AB=4i

2

于是％B=亞,AE=^：=我.

V55

ABC-ABC為直三棱柱,BC±AC,則BCJ■平面A&GC.

1x22石

.?.BC±A,C,A4,=4i,AC=\,:.A,C=2,CE

二跖=可

3()4,

+1

+…AE2+CE2-AC2255~5>/6

在LAEC中,cosZAEC=-----------------------

2AECEcV3026一24.

2xx

55

sr

因此，所求二面角A-4B-C的余弦值為、一.

24

圖3-40

【評析及正解】

上述解法中對二面角的平面角的作圖和判斷都是錯(cuò)誤的，作出AE，但不能證明

2尺/on

CE±A、B.事實(shí)上，當(dāng)CE=-y-,AE=七一,AC=1時(shí)CE?+AE2豐AC2，因而$CE$VA.B

不垂直.顯然,ZAEC不是二面角A-A.B-C的平面角，而通過平面角求二面角的關(guān)鍵是正確作

出二面角的平面角.

正確的解法如下：

【解】如圖3-41所示，過點(diǎn)。作CE_LAB于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF_L于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)CF.

CEJ.A8,CE_L平面,于是CE_LA/.

又知EF±AQ,則AB，平面EFC.：.ZEFC是二面角A-A.B-C的平面角.

容易求出CE=也,CF=4叵，EF

2510

而

.?.在-EFC中,cosNEFC=￡^=}=業(yè)

CF2石4

5

圖3-41

【例】2如圖3-42所示.邊長為2的正方所在平面與半圓弧CO所在平面垂直,M

是C。上異于C,￡>

(1)證明：平面4WD_L平面8MC;

(2)當(dāng)三棱錐M-ABC的體積最大時(shí)，求平面與面MCD

【錯(cuò)解】(D略

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn),D4的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖3-43所示的空間直角坐標(biāo)系

D-xyz.當(dāng)三棱雉ABC體積最大時(shí)，〃為CO的中點(diǎn).由題設(shè)得

D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),

C(0,2,0),M(0』,1),AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)

設(shè)〃=(x,y,z)是平面MAB的法向量，

n-AM-0,f-2x+y+z=0

則《即1)可取”=(l,0,2).D4是平面MS的法向量，因此

n-AB=0,、2y=0.

/八八n-DAy/5

cos(n,DA)=--------=——.

\n^DA\5

平面MV?與平面$乂?口$所成二面角的余弦值是書.

(或錯(cuò)解】為:取法向堇n=(-1,0,-2)，則cos〈〃,Di〉==--.

\n\\DA\5

平面$MAB$與平面$MCD$所成二面角的余弦值是-

5

圖3-42

【評析及正解】

上述錯(cuò)解一是將求二面角的正弦值誤認(rèn)為是求二面角的余弦值，二是沒有注意到該二面角是一

個(gè)銳角，而直接利用了兩個(gè)向量所夾的鈍角的余弦值.

正確的解法如下：

【解】⑴由題設(shè)知，平面CMDL平面ABCD,交線為C”

B±CD,BCu平面A3CD,，平面GWD,故BC±DM.

M為CD上異于C,。的點(diǎn)，且$DC$為直徑,二DM±CM.

又BCCM=C,：.DM±平面BMC,而DMu平面$AMD$,故平面平面BMC

(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),DA的方向?yàn)閤軸正方向.建立如圖3-43所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

當(dāng)三棱雉M—ABC體積最大時(shí),M為。。的中點(diǎn).

由題設(shè)得0(0,0,0),42,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),W(0,1,1),AM=(-2,1,,

1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)

設(shè)"=(x,y,z)是平面$MAB$的法向量，

則《即J-2x+y+z=(),?/?EEj(1,

n-AB=0,1

DA是平面$1\?^$的法向量，因此cos〈〃,DA)=-DA=—，即sin〈〃,D4〉=述

|55

2

平面MAH與平面MCD所成二面角的正弦值是-y-.

M

AB

圖3-43

四、難題攻略

【例】（2017年高考數(shù)學(xué)全國春I理科第19題）如圖3-44所示，四棱雉尸—A8CD中，側(cè)面

PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB^BC^-AD,ZBAD=ZABC=90°,E

2

是？￡）的中點(diǎn)，（1）證明直線CE//平面

（2）點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面A8CD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦

值.

圖3-44

【破難析疑】

第（1）問，取勿的中點(diǎn)F,連接EE,3廣;，利用條件證明四邊形BCE尸為平行四邊形，進(jìn)而得到

CE//BF,證出直線CE//平面以8.第（2）問，可考慮用向量坐標(biāo)法，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

他的方向?yàn)閤軸的正方向，,可為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出平面M鉆與平面

麗的法向量，進(jìn)而求出二面角的余弦值。用向量法求二面角的大小時(shí)，需要注意的是，二

面角是銳角還是鈍角由圖形決定。由圖形知二面角是銳角時(shí)，若〃分別是二面角。-/-4兩

個(gè)半平面a,尸的法向量，二面角的大小為6,則以）$。=已曰，由圖形知二面角鈍是角時(shí)，則

cos。=-匕碼.當(dāng)圖形不能確定時(shí)，要根據(jù)向量的坐標(biāo)在圖形中濕察向量的方向，從而確定二

悶間

面角與向量4，”的夾角是相等（一個(gè)平面的法向量指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)平面的怯向量指二

面角的外部)還是互補(bǔ)(兩個(gè)法向量同時(shí)指向二面角的內(nèi)部或外部),這是利用向量法求二面角的

難點(diǎn),也是易錯(cuò)點(diǎn)，

【解】⑴【證法一】(立體幾何法)如圖3—45所示，取R4的中點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)EEBF.

,E是的中點(diǎn),EF//A。,EF=L,由ZBAD=AABC=90°,得BC//AD.又

2

8C=工AD,EF_L15C,四邊形8CE尸是平行四邊形,CE//8E,

2

又BFu平面PAB,CE仁平面$PAB$，故CE//平面PAB.

111

【證法二】(純向量法)CE=C3+3P+PE=—D4+3尸+—PO=—(尸。+D4)

222

1-.一

+BP=-P4+3P,又CE仁平面故直線CE//平面

2

圖3-45

⑵【解法一】定義法取的中點(diǎn)。聯(lián)結(jié)PO,則PO_L平面458,.?.平面POCJ?平面

ABCD.過點(diǎn)/作用M'_LOC,垂足M',則MM'，平面A8CD,聯(lián)結(jié)BM，則ZMBM'為直線

BM與底面ABC。所成角.

設(shè)==x，則=8"=x.

在，BCM'中,CM'=Vx2-1，在ZPOC中，幽-=W-,即&二1=4,得》=逅.過點(diǎn)

POCO1V32

M'作GM'lAB，垂足為G.聯(lián)結(jié)MG.

則NMGM'為二面角"一A3—D的平面角.

cosZMGM=馬-=1^=巫.故二面角加—45-￡)的余弦值為叵.

GMV1055

2

【解法二】(向量坐標(biāo)法)由已知得84J_AD.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的方向?yàn)閤軸正