一元二次方程的解法B九年級上冊數(shù)學(xué)全優(yōu)小卷2

第1章一元二次方程〔二〕〔一元二次方程的解法B〕一、選擇題〔每題3分，共24分〕1．關(guān)于的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，那么的值為〔〕．A． B．0 C．1 D．4【解析】解：由題意可知：△=4-4a=0，∴a=1，應(yīng)選：C．2．關(guān)于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一個解是﹣2，那么k值為〔〕A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2【解析】解：將x=-2代入原方程得到：，解關(guān)于k的一元二次方程得：k=0或4，應(yīng)選：B．3．一元二次方程的解為〔〕A． B． C． D．【解析】，∴．應(yīng)選：D4．以下方程中，無實(shí)數(shù)根的方程是〔〕A． B． C． D．【解析】A．可變?yōu)?，∴，∴方程無實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)正確；B．可變形為，∴，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)錯誤；C．可變形為，∴，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)錯誤；D．可變形為，∴，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)錯誤．應(yīng)選：A5．如果一個一元二次方程的二次項(xiàng)是，經(jīng)過配方整理得，那么它的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是〔〕A．x， B． C． D．x，【解析】由題意得．∴．∴．∴．∴一次項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)為．應(yīng)選：C6．用公式法解方程，以下代入公式正確的選項(xiàng)是〔〕A． B．C． D．【解析】，代入求根公式得．應(yīng)選：D7．如圖，，，，…是分別以，，，…為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)，，，…均在反比例函數(shù)的圖象上，那么的值為〔〕A． B．900 C． D．【解析】解：過C1、C2、C3…分別作x軸的垂線，垂足分別為D1、D2、D3…那么∠OD1C1=∠OD2C2=∠OD3C3=90°，∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，∴∠A1OB1=45°，∴∠OC1D1=45°，∴OD1=C1D1，其斜邊的中點(diǎn)C1在反比例函數(shù)上，∴C〔2，2〕，即y1=2，∴OD1=D1A1=2，∴OA1=2OD1=4，設(shè)A1D2=a，那么C2D2=a此時(shí)C2〔4+a，a〕，代入得：a〔4+a〕=4，解得：a=，即：y2=，同理：y3=，y4=，......，y2021=，∴y1+y2+…+y2021=2+++...+=，應(yīng)選A．8．關(guān)于的方程〔為常數(shù)〕無實(shí)數(shù)根，那么點(diǎn)在〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】解：∵a＝1，b＝?2，c＝a，∴△＝b2?4ac＝〔?2〕2?4×1×a＝4?4a＜0，解得：a＞1，∴點(diǎn)〔a，a＋1〕在第一象限，應(yīng)選：A．二、填空題〔每題3分，共24分〕9．假設(shè)關(guān)于x的方程有一個根是1，那么_______．【解析】把代入方程，得：解得．故答案為．10．方程的根是_________．【解析】解：∴或解得：故答案為：．11．假設(shè)關(guān)于的二次三項(xiàng)式是完全平方式，那么__________．【解析】解：∵關(guān)于的二次三項(xiàng)式是完全平方式，∴，解得：；故答案為-1或2．12．假設(shè)關(guān)于的一元二次方程有一個正整數(shù)解，那么正整數(shù)=___．【解析】解：根據(jù)題意得a≠0，△=，

∴x=，∴，

∵關(guān)于x的一元二次方程有一個整數(shù)根，而a為正整數(shù)，

∴不符合題意，必為整數(shù)，∴a=1或2，

故答案為：1或2．13．實(shí)數(shù)，，，滿足，假設(shè)，那么________．【解析】解：根據(jù)題中的新定義得：，即，因式分解得：，解得：．故答案為：或．14．如圖，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠B＝45°，點(diǎn)A，B恰巧都落在反比例函數(shù)的圖象上，假設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，那么k的值為_____．【解析】解：過點(diǎn)B作BM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，并延長MB，NA交于一點(diǎn)P，∴四邊形MONP是矩形，由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，那么A點(diǎn)坐標(biāo)為：〔1，k〕，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠B＝45°，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB＝AO，∵∠OAB＝90°，∴∠BAP+∠OAN＝90°，∵∠AON+∠OAN＝90°，∴∠BAP＝∠AON，在△AON和△BAP中，∴△AON≌△BAP〔AAS〕，∴AP＝NO＝1，PB＝AN＝k，∴MB＝1﹣k，∴B〔1﹣k，1+k〕，∵B在反比例函數(shù)的圖象上，∴，即，解得：，〔不合題意舍去〕．故答案為．15．如圖，在等邊三角形中，D是的中點(diǎn)，P是邊上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)E，連接．假設(shè)是等腰三角形，那么的長是_________________．【解析】解：過點(diǎn)D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為G、F，∵AB=8，∠A=60°，D是的中點(diǎn)，∴AG=，，同理，CF=2，，設(shè)BP為x，同理可得，BE=2x，PE=，PG=6-x，EF=6-2x，當(dāng)DP=PE時(shí)，，解得，〔舍去〕，；當(dāng)DP=DE時(shí)，，解得，〔舍去〕，；當(dāng)DE=PE時(shí)，，解得，〔舍去〕，；故答案為：或或．16．實(shí)數(shù)，用符號表示，兩數(shù)中較小的數(shù)，如，假設(shè)，那么_________．【解析】解：由于，故，由，∴，解得，故答案為：．三、解答題〔每題8分，共72分〕17．解方程：〔1〕x2﹣7x﹣18＝0〔2〕〔2x﹣3〕2﹣2〔2x﹣3〕﹣3＝0．【解析】解：〔1〕x2﹣7x﹣18＝0，〔x﹣9〕〔x+2〕＝0，∴x﹣9＝0或x+2＝0，∴x1＝9，x2＝﹣2；〔2〕〔2x﹣3〕2﹣2〔2x﹣3〕﹣3＝0，[〔2x﹣3〕﹣3][〔2x﹣3〕+1]＝0，∴〔2x﹣3〕﹣3＝0或〔2x﹣3〕+1＝0，∴x1＝3，x2＝1.18．關(guān)于的一元二次方程．〔1〕求證：該方程一定有兩個實(shí)數(shù)根．〔2〕假設(shè)是方程的一個根，求的值和方程的另一根．【解析】〔1〕根據(jù)題意得：，，，即該方程一定有兩個實(shí)數(shù)根．〔2〕把代入原方程得：，解得：，即原方程為：，解得：，即的值為1，方程的另一根為2．19．如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根，求平行四邊形ABCD的周長．【解析】解：x2+2x﹣3＝0〔x﹣1〕〔x+3〕＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根，且a＞0，∴a＝1，∴AE＝EB＝EC＝1，∵AE⊥BC于E，∴∠AEB＝90°，∵AE＝EB＝EC，∴AB＝，BC＝EB+EC＝2，故平行四邊形ABCD的周長＝2〔AB+BC〕＝．20．對于三個實(shí)數(shù)a，b，c，用表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用min表示這三個數(shù)中最小的數(shù)．例如：，min，min．請結(jié)合上述材料，解決以下問題：〔1〕____________；〔2〕假設(shè)min，那么整數(shù)的值是_____________；〔3〕假設(shè)min，求的值．【解析】由題知，〔1〕依據(jù)定義，表示這三個數(shù)的平均數(shù)；∴；〔2〕依據(jù)表示這三個數(shù)中最小的數(shù)；又；∴，得，；又為整數(shù)；∴整數(shù)的值是：2、3；〔3〕依據(jù)表示這三個數(shù)的平均數(shù)；依據(jù)表示這三個數(shù)中最小的數(shù)；又；且∴，∴，∴或；21．觀察以下一組圖形中點(diǎn)的個數(shù)，其中第1個圖形中共有4個點(diǎn)，第2個圖形中共有10個點(diǎn)，第3個圖形中共有19個點(diǎn)，…解答下面的問題：〔1〕按此規(guī)律第6個圖形中共有點(diǎn)的個數(shù)是_______．〔2〕假設(shè)n個圖形中共有166個點(diǎn)，求n的值．【解析】解：〔1〕第1個圖中共有1+1×3＝4個點(diǎn)，第2個圖中共有1+1×3+2×3＝10個點(diǎn)，第3個圖中共有1+1×3+2×3+3×3＝19個點(diǎn)，…第n個圖點(diǎn)的個數(shù)為1+1×3+2×3+3×3+…+3n＝+1．所以第6個圖中共有點(diǎn)的個數(shù)是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3+6×3＝64．故答案為：64；〔2〕當(dāng)+1＝166時(shí)，解得n＝10，n=-11〔負(fù)值舍去〕．22．閱讀材料：我們可以用配方法求一個二次三項(xiàng)式的最大值或最小值，例如：求代數(shù)式的最小值．方法如下：∵，得∴代數(shù)式的最小值是4．請根據(jù)上述材料，解決以下問題：〔1〕代數(shù)式有最大值還是最小值？用配方法求其最值．〔2〕用配方法求代數(shù)式的最值．【解析】解：∵得代數(shù)式有最大值為∵代數(shù)式的最小值為23．如圖，正方形ABCD和正方形AEFG有公共點(diǎn)A，點(diǎn)B在線段DG上．〔1〕判斷DG與BE的位置關(guān)系，并說明理由；〔2〕假設(shè)正方形ABCD的邊長為1，正方形AEFG的邊長為，求BE的長．【解析】〔1〕DG⊥BE，理由如下：∵四邊形ABCD，四邊形AEFG是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠GAE，AE＝AG，∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠DAG＝∠BAE，在△DAG和△BAE中，，∴△DAG≌△BAE〔SAS〕．∴DG＝BE，∠ADG＝∠ABE＝45°，∴∠ABD+∠ABE＝90°，即∠GBE＝90°．∴DG⊥BE；〔2〕連接GE，∵正方形ABCD的邊長為1，正方形AEFG的邊長為，∴BD＝，GE＝2，設(shè)BE＝x，∵DG=BE，∴BG＝x﹣，在Rt△BGE中，利用勾股定理可得：,∴∴x＝或x＝〔舍去〕，∴BE的長為．24．如圖是證明勾股定理時(shí)用到的一個圖形，是和的邊長，顯然，我們把關(guān)于x的一元二次方程稱為“弦系一元二次方程〞．請解決以下問題：〔1〕判斷方程是否為“弦系一元二次方程〞：______〔填“是〞或“否〞〕；〔2〕求證：關(guān)于x的“弦系一元二次方程〞必有實(shí)數(shù)根；〔3〕假設(shè)是“弦系一元二次方程〞的一個根，且四邊形的周長是，求的面積．【解析】解：〔1〕因?yàn)?，b，a2+b2＝c2，所以c，所以，故方程x2x0是“弦系一元二次方程〞．故答案為：是〔2〕由題意，得△＝〔c〕2﹣4ab＝2c2﹣4ab，∵a2+b2＝c2，∴2c2﹣4ab＝2〔a2+b2〕﹣4ab＝2〔a﹣b〕2≥0，即△≥0，∴關(guān)于x的“弦系一元二次方程〞ax2cx+b＝0必有實(shí)數(shù)根；〔3〕解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，有ac+b＝0，即a+bc，∵2a+2bc＝6，即2〔a+b〕c＝6，∴3c＝6，∴c＝2，∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，∵〔a+b〕2＝a2+2ab+b2，∴ab＝2，∴S△ABCab＝1．25．如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上，、的長分別是方程的兩根〔〕．〔1〕求點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕將矩形沿過點(diǎn)的直線翻折，使點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)處，折痕交與點(diǎn)，求直線的解析式；〔3〕在〔2〕的條件下，在軸上是否存在點(diǎn)，是以、、為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？假設(shè)存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．【解析】解：〔1〕方程的兩個根為：，∵、的長分別是方程的兩根〔〕，∴OA=4，OC=3，∵四邊形OABC是矩形，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是〔4，3〕；〔2〕∵四邊形OABC是矩形，∴∠AOC=90°，∠B=90°，BC=AO=4，AB=OC=3，∵OA=4，OC=3，∴，∵將矩形沿過點(diǎn)的直線翻折，點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)處，∴BC==4，，，∴，，設(shè)AD=x，那么，在Rt△中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是〔4，〕，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)C〔0，3〕與