專題17數(shù)列(講義)（解析版）

專題17數(shù)列(講義)一、數(shù)列的概念1.數(shù)列的定義按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是表格法、圖象法和解析式法.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.常用結(jié)論：1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2.在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.等差數(shù)列的概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).(2)等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.常用結(jié)論：1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列.4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).三、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.等比數(shù)列的概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí)G2＝ab.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.常用結(jié)論：1.若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比數(shù)列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.4.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q)，x，xq；四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.四、數(shù)列求和1.特殊數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))2.數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.(2)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.(3)錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解.(4)倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.常用結(jié)論：1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2).2.12＋22＋…＋n2＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6).3.裂項(xiàng)求和常用的三種變形(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).4.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.一、填空題1．在數(shù)列中，，，則______．【答案】200【分析】先由等差數(shù)列的定義求得數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式，即可求解.【解析】由，得，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則有，所以，則．故答案為：200.2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前2017項(xiàng)和___________.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，根據(jù)基本量法可得，利用裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列的和即可．【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，故.又，故，故.∴=，則數(shù)列的前2017項(xiàng)和為故答案為：．3．記為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的值為_(kāi)_________．【答案】【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，由此即可求出結(jié)果.【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，不能同時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，所以，即所以，所以（（舍去）），又，所以的值為.故答案為：.4．已知數(shù)列都是等差數(shù)列，分別是它們的前項(xiàng)和，并且，則___________.【答案】2【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)和求解.【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，又，所以.故答案為：2.5．已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a1＝1，且數(shù)列是等差數(shù)列，則a11＝____．【答案】﹣4【分析】根據(jù)等差數(shù)列首項(xiàng)和第3項(xiàng)的值得到公差，進(jìn)而得到第11項(xiàng)，從而求解a11的值.【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}中，a3＝2，a1＝1，且數(shù)列是等差數(shù)列，所以數(shù)列的公差d，所以（11﹣1）×（），則a11＝﹣4．故答案為：﹣4．6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)與的關(guān)系可得是等比數(shù)列，從而求得的范圍.【解析】已知，令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．所以．故答案為：.7．已知數(shù)列的各項(xiàng)為正，記為的前項(xiàng)和，若，，則__________.【答案】121【分析】由已知關(guān)系變形可得數(shù)列是等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算．【解析】，，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正，因此，所以，，則，所以是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為1，所以．故答案為：121．8．在數(shù)列中，若，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)為_(kāi)_________．【答案】【分析】由題設(shè)知是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式有，即可寫出的通項(xiàng).【解析】∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，又且，∴，故．故答案為：.9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則_____________．【答案】【分析】由，推導(dǎo)出數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．【解析】，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，．故答案為：．10．已知數(shù)列滿足奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，．若，則正整數(shù)m=__________．【答案】2【分析】利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【解析】由題意知，，，因?yàn)椋?，所以得，①由得，即，②?lián)立①②解得，所以，當(dāng)時(shí)，由得，解得，此時(shí);當(dāng)時(shí)，由得，此等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，則方程無(wú)解.故答案為:2.11．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且.數(shù)列滿足，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】由已知與作差，可求得等比數(shù)列的公比，從而得通項(xiàng)公式，再求出，利用基本不等式求得的最大值后可得結(jié)論．【解析】將與作差，可得，即.所以等比數(shù)列的公比.因?yàn)椋?所以.所以.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.所以.故的最小值為.故答案為：．12．已知數(shù)列滿足，若對(duì)于任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】對(duì)于任意的都有，可知：數(shù)列單調(diào)遞減，可得，再分類討論即可得出.【解析】∵對(duì)任意的，都有，∴數(shù)列單調(diào)遞減，可知.當(dāng)時(shí)，若，單調(diào)遞減，而時(shí)，單調(diào)遞減，∴只需，解得，∴；當(dāng)時(shí)，若，單調(diào)遞增，應(yīng)舍去.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】由分段函數(shù)（數(shù)列）單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法：(1)分段函數(shù)的每一段都單調(diào)；(2)根據(jù)單調(diào)性比較端點(diǎn)函數(shù)值的大小.13．給出下列命題：①已知數(shù)列，，則是這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第1項(xiàng)；②數(shù)列，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是；③已知數(shù)列，，且，則；④已知，則數(shù)列為遞增數(shù)列．其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】4【分析】令，以及數(shù)列的單調(diào)性，可判定①正確；結(jié)合歸納法，可判定②正確；由，求得，求得，可判定③正確；由，可判定④正確．【解析】對(duì)于①中，令，解得，且數(shù)列為遞減數(shù)列，所以最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，所以①正確；對(duì)于②中，數(shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為，所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，所以②正確；對(duì)于③中，由且，即，解得，所以，所以，所以③正確；對(duì)于④中，由，可得，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以④正確．故答案為：.14．公差不為0的等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，若，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意，均成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．【答案】【分析】設(shè)公差為，運(yùn)用等比中項(xiàng)和等差數(shù)列的求和公式,解方程可得，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式和求和公式，然后可得，利用裂項(xiàng)相消法求出，再結(jié)合題意即可求解【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以即，由解得，所以，，所以，，因?yàn)閷?duì)任意，均成立，所以，故實(shí)數(shù)t的取值范圍是，故答案為：15．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】.【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，再利用裂項(xiàng)求和法求得，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為，即，利用基本不等式求得不等式右邊的最小值即可，另外要注意.【解析】依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，故，則，又，故，故，故，則，所以，所以，所以，因?yàn)椋矗@然，所以恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故.所以，即.故答案為：.16．若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足：我們稱其為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．例如：數(shù)列，，，為4項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列，，，，為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中，，，，是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)等于．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則___________．【答案】或【分析】根據(jù)題意，得的最大項(xiàng)為，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式以及題中對(duì)稱數(shù)列的定義，對(duì)，列方程求解即可【解析】，，，…，是以8為末項(xiàng)，2為公差的遞增等差數(shù)列，所以，解得，所以，根據(jù)對(duì)稱數(shù)列的性質(zhì)，，所以，所以，即，解得或.故答案為：或二、單選題17．已知等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若＝，且與的等差中項(xiàng)為，則＝（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的應(yīng)用求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可.【解析】設(shè)該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為()，由題意知，即，解得，所以.故選：B18．己知在等比數(shù)列中，，則等于（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到和，再根據(jù)可求得的大小，解題時(shí)要注意對(duì)的符號(hào)的處理．【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，∴．∴，又與和同號(hào)，∴．故選：C．19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)與的關(guān)系式得到通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和.【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，則.故選：B20．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，若，則公差d的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知，根據(jù)題意可判斷該數(shù)列根據(jù)當(dāng)時(shí)取得最大值，即可得到不等關(guān)系式，將代入即可求解出公差d的取值范圍.【解析】由已知可得，即，解得，故選：A．21．在等差數(shù)列中，，，其前n項(xiàng)和為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的公差為，依題意得到方程組，解得、，即可求出通項(xiàng)公式與，則，再利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【解析】解：設(shè)的公差為，因?yàn)?，，則，解得，∴，故，則，所以；故選：B22．已知為等差數(shù)列，公差為黃金分割比（約等于0.618），前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C．16 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算即可得解.【解析】解：設(shè)的公差為，則．故選：C．23．在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差數(shù)列求和公式可整理得到，進(jìn)而可得，采用裂項(xiàng)相消法可求得.【解析】，，.故選：A.24．已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（

）A．若為等比數(shù)列，則B．若為遞增的等差數(shù)列，則C．若為等比數(shù)列，則D．若為遞增的等差數(shù)列，則【答案】B【分析】若為等比數(shù)列，可得，進(jìn)而可得可判斷AC；若為遞增的等差數(shù)列，利用累乘法可得，再利用裂項(xiàng)相消法可得，利用累加法可得，進(jìn)而可得，可判斷BD.【解析】因?yàn)?，∴，即，若為等比?shù)列，則的公比為，∴，由，可得，∴，故AC錯(cuò)誤；若為遞增的等差數(shù)列，，公差，由則，∴，∴，即，∴，∴，又，∴，又則，∴當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，故，故B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.三、解答題25．已知是以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，是以2為首項(xiàng)的正項(xiàng)等比數(shù)列，且滿足.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得的公差，的公比，從而求得求與的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.【解析】（1）依題意，是以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，是以2為首項(xiàng)的正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)的公差為，的公比為（），，，解得（負(fù)根舍去），.所以（2），所以.26．已知數(shù)列和滿足：，，，，且是以為公比的等比數(shù)列.(1)證明：；(2)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）先求得，然后根據(jù)遞推關(guān)系證得.（2）先求得，然后結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求得.【解析】（1）依題意，，，，，，且是以為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則，兩式相除得.（2）由（1）知數(shù)列和數(shù)列都是公比為的等比數(shù)列，所以，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.27．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）中令和結(jié)合求得，然后利用得數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而即得；（2）由（1）求得再得出，利用裂項(xiàng)相消法求得和．【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，即，，解得，，?dāng)時(shí)，，與聯(lián)立，得，所以，又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，，所以，，所以，所以.28．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是公差為1的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義求出，利用求出通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和得到，結(jié)合單調(diào)性得到最小值，從而得到不等式成立.（1）因?yàn)?，所以，是公差?的等差數(shù)列，所以，故，當(dāng)時(shí)，，顯然，所以，.（2），所以，隨著的變大，變大，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，且，故.29．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，（2）由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解，【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由，可得，則；（2）由（1），即是數(shù)列中的第項(xiàng)．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，因?yàn)樗詳?shù)列的前50項(xiàng)是由數(shù)列的前56項(xiàng)去掉數(shù)列的前6項(xiàng)后構(gòu)成的，所以．30．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，，，，求的前2022項(xiàng)和T．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此求得.（2）根據(jù)已知條件求得和，由此求得.（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，解得，，所以31．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；(3)設(shè)（為非零整數(shù)，），是否存在確定的值，使得對(duì)任意，有恒成立.若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，對(duì)，都有【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，整理可得遞推公式，由題意，結(jié)合等差數(shù)列的定義，可得答案；（2）由題意，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法，可得答案；（3）由題意，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用作差法，分奇偶數(shù)兩種情況，進(jìn)行討論，結(jié)合函數(shù)求最值，可得答案.（1）由，則，兩式相減可得：，整理可得：，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，即，令，可得，，解得，故數(shù)列為以為首先，以為公差的等差數(shù)列，則.（2），，，兩式相減，，則.（3），，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，令，則，令，（為偶數(shù)），易知，故；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，令，則，令，（為奇數(shù)），易知，故；由于為非零整數(shù)，則，綜上所述，存在，對(duì)，都有.32．?dāng)?shù)列中，，，數(shù)列滿足，：(1)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的前6項(xiàng)和；(2)若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得出，即可得出；（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合和的關(guān)系，得出項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)要對(duì)取奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類討論，即可得出的通項(xiàng)公式；（3）由的項(xiàng)之間的關(guān)系，結(jié)合題意可得出的項(xiàng)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的關(guān)系并不相同，分別為兩個(gè)不同的等比數(shù)列，從而得出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，則可以得到，進(jìn)而得到.（1）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，，所以，所以，所以數(shù)列的前6項(xiàng)和．（2）因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，所以，因?yàn)椋?，，相減得，所以有：，所以，因?yàn)?，，，所以，所以，，所以?duì)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又，所以，所以對(duì)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以．（3）因?yàn)椋?，，而，，，所以，，，因?yàn)?，，所以，為等比?shù)列，由，得：，，，，歸納上述結(jié)果，猜想①，當(dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，①式成立，即：，那么：，即當(dāng)時(shí)，猜想也成立，所以得出，為等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)的和：，所以數(shù)列的前項(xiàng)的和．33．若數(shù)列的子列均為等差數(shù)列，則稱為k階等差數(shù)列．(1)若，數(shù)列的前15項(xiàng)與的前15項(xiàng)中相同的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，寫出的各項(xiàng)，并求的各項(xiàng)和；(2)若數(shù)列既是3階也是4階等差數(shù)列，設(shè)的公差分別為．（?。┡袛嗟拇笮￡P(guān)系并證明；（ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列．【答案】(1)的各項(xiàng)為：4，16，28，40；的各項(xiàng)和為：(2)（ⅰ）,證明見(jiàn)解析；（ⅱ）證明見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)題意，利用枚舉法，即可求解；（2）（?。└鶕?jù)題意，均為等差數(shù)列，通過(guò)等量代換找到的關(guān)系即可；（ⅱ）均為等差數(shù)列，由（ⅰ）得，設(shè)，進(jìn)而利用等量代換關(guān)系，得到，進(jìn)而可以遞推，得到，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列【解析】（1），，，前15項(xiàng)分別為：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43；前15項(xiàng)分別為：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60；的各項(xiàng)為：4，16，28，40；的各項(xiàng)和為：；（2）（?。┯梢阎?，均為等差數(shù)列，數(shù)列既是3階也是4階等差數(shù)列，故也為等差數(shù)列，：，設(shè)公差為，：，故，：，故，：，故，故.（ⅱ）數(shù)列既是3階也是4階等差數(shù)列，均為等差數(shù)列，由（?。┑?，設(shè)，對(duì)于，有，，對(duì)于，有，對(duì)于，有，對(duì)于，有，，，，整理得，，，故；；所以，，故，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列34．若存在常數(shù)、、，使得無(wú)窮數(shù)列滿足則稱數(shù)列為“段比差數(shù)列”，其中常數(shù)、、分別叫做段長(zhǎng)、段比、段差.設(shè)數(shù)列為“段比差數(shù)列”.(1)若的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別為1、3、、3.①當(dāng)時(shí)，求；②當(dāng)時(shí)，設(shè)的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，試寫出所有滿足條件的，并說(shuō)明理由.【答案】(1)①，②(2)或.【分析】（1）①方法一：由的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差可得，再由，即可；方法二：根據(jù)的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差，列出前幾項(xiàng)，即可得到是周期為3的周期數(shù)列，即可得解；②方法一：由的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差，得到，從而得到是等差數(shù)列，又，即可求；方法二：由的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差，則，，可得是首項(xiàng)為、公差為6的等差數(shù)列，即可得解，（2）方法一：設(shè)的段長(zhǎng)、段比、段差分別為、、，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式有，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，分和兩種情況討論，分別計(jì)算可得；方法二：設(shè)的段長(zhǎng)、段比、段差分別