2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題08 二次函數(shù)與矩形存在性問題【含答案】

專題8二次函數(shù)與矩形存在性問題

考法綜述.

1.矩形的判定：

(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

(2)對角線相等的平行四邊形是矩形；

(3)有三個(gè)角為直角的四邊形是矩形.

2.題型分析

矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“一個(gè)角為直角”，因此相比起平行四邊形,

坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式：

貓+%=XB+XD

>^+匕=^8+乂）

，（貓TJ+（乃-y^2=fJ2+（%-%f

因此在矩形存在性問題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解.

確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè).下：

同時(shí)，也可以先根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出直線AB的解析式，進(jìn)而得到直線AD或BC的解析式，從而確定C

或D的坐標(biāo).

典例剖析.

【例1】.(2022?瀘州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線y=af+x+c經(jīng)過/(-2,0),B

(0,4)兩點(diǎn)，直線x=3與x軸交于點(diǎn)C.

(1)求a,c的值；

(2)經(jīng)過點(diǎn)。的直線分別與線段直線x=3交于點(diǎn)。，E,且△8。。與的面積相等，求直

線。E的解析式：

(3)P是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段OC和直線x=3上是否分別存在點(diǎn)F,G,使8,

F,G,尸為頂點(diǎn)的四邊形是以8尸為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【例2】(2022?綏化)如圖，拋物線y=af+6x+c交y軸于點(diǎn)Z(0,-4),并經(jīng)過點(diǎn)C(6,0),過點(diǎn)/作

軸交拋物線于點(diǎn)8,拋物線的對稱軸為直線x=2,。點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),連接力￡),BC,BD.點(diǎn)、

E從4點(diǎn)出發(fā)，以每秒我個(gè)單位長度的速度沿著射線力。運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為加秒，過點(diǎn)E作

EFA.AB于F,以EF為對角線作正方形EGFH.

(I)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)BC上時(shí)，求此時(shí)m的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以8,G,C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直

接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

備用圖

【例3】(2022?黔東南州)如圖，拋物線y="x2+2x+c的對稱軸是直線x=l,與x軸交于點(diǎn)4B(3,0),

與y軸交于點(diǎn)C，連接ZC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點(diǎn)。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作OVTLx軸，垂足為點(diǎn)"，DM交直線8c

于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)N,使得以4C,N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請求出點(diǎn)N的

坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）已知點(diǎn)E是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)R使以點(diǎn)8、C、E、尸為頂點(diǎn)的四邊

形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【例4】.（2022?梁山縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yuo?+hr+c（a<0）與x軸交于力（-

2,0）、B（4,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且OC=2O4

（1）試求拋物線的解析式；

（2）直線y=Ax+1（%>0）與y軸交于點(diǎn)。，與拋物線交于點(diǎn)尸，與直線8c交于點(diǎn)M,記機(jī)=需，試

求m的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，加取最大值時(shí)，點(diǎn)。是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，是否存

在這樣的點(diǎn)。、M使得以尸、D、0、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？如果存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如

果不存在，請說明理由.

1.（2022?武功縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線右：-x2+bx+c（氏c為常數(shù)）與x軸交于4

(-6,0)、B(2,0)兩點(diǎn).

（1）求拋物線心的函數(shù)表達(dá)式；

（2）將該拋物線人向右平移4個(gè)單位長度得到新的拋物線〃，與原拋物線L交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是點(diǎn)C

關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)N在平面直角坐標(biāo)系中，請問在拋物線◎上是否存在點(diǎn)"，使得以點(diǎn)C、D、M、

N為頂點(diǎn)的四邊形是以C。為邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.（2022?東莞市校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尸vx2+b"c與x軸的正半軸交于點(diǎn)。，

與了軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)/在拋物線上，軸于點(diǎn)艮△4BC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△。8￡,連接

DE.當(dāng)?shù)﹛^+bx+cVO時(shí)，x的取值范圍是-S〈xV2.

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（1）求該拋物線的解析式；

（2）求證：四邊形O2EO是矩形；

（3）在線段。。上找一點(diǎn)N,過點(diǎn)N作直線用垂直x軸，交0￡于點(diǎn)尸，連接。凡當(dāng)△ONF的面積取

得最大值時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上，在直線"?上找一點(diǎn)P,連接OP、。尸.使得/OPD+NDOE

=90°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

3.（2022?石家莊二模）如圖，拋物線y=-f+bx+c（cWO）與x軸交于點(diǎn)Z（-1,0）,B（點(diǎn)/在點(diǎn)8左

側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,連接8c.

（1）點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為（用含6的式子表示），/OBC=度；

（2）當(dāng)6=1時(shí)，若點(diǎn)尸為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接8尸，CP,求△BCP面積的最大值，并求

出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）已知矩形。。E尸的頂點(diǎn)。，廠分別在x軸、＞軸上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3,2）.

①拋物線的頂點(diǎn)為0,當(dāng)Z0的中點(diǎn)落在直線EF上時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部的部分對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，請直接寫出b的取值范

（4,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接8C,直線8M：y=2x+m交y軸于點(diǎn)P為直線8c上方拋物

線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線，分別交直線8C、BM于點(diǎn)E、F.

（2）當(dāng)點(diǎn)尸落在拋物線的對稱軸上時(shí)，求4尸8c的面積：

（3）①若點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形8ENF為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

②在①的條件下，第四象限內(nèi)有一點(diǎn)。，滿足QN=QM,當(dāng)△0N8的周長最小時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

5.（2022?石家莊模擬）某公園有一個(gè)截面由拋物線和矩形構(gòu)成的觀景拱橋，如圖1所示，示意圖如圖2,

且已知圖2中矩形的長/。為12米，寬為4米，拋物線的最高處￡距地面8c為8米.

（1）請根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線的函數(shù)解析式；

（2）若觀景拱橋下放置兩根長為7米的對稱安置的立柱，求這兩根立柱之間的水平距離；

（3）現(xiàn)公園管理處打算在觀景橋側(cè)面搭建一個(gè)矩形“腳手架”PQMN（如圖2）,對觀景橋表面進(jìn)行維護(hù),

P,N點(diǎn)在拋物線上，。，/點(diǎn)在8c上，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿尸0,PN,的

長度之和的最大值，請你幫管理處計(jì)算一下.

圖1

6.（2022?朝陽區(qū)校級一模）已知二次函數(shù)y=x2-2wx-〃?與y軸交于點(diǎn)直線y=〃什5與了軸交于點(diǎn)4

與直線x=4交于點(diǎn)5,直線y=-2機(jī)與y軸交于點(diǎn)。（/與。不重合），與直線x=4交于點(diǎn)C,構(gòu)建矩

形4BCD.

（I）當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，求加的取值范圍.

（2）求證：拋物線-2wx-機(jī)與直線》=機(jī)+5恒有兩個(gè)交點(diǎn).

（3）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部的函數(shù)值y隨著x的增大而增大或y隨x的增大而減小時(shí)，求用的取值范圍.

（4）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)8到x軸距離的工時(shí)，直接寫出機(jī)的取

2

值范圍.

7.（2022?長春一模）已知拋物線^=了-2加x+2〃?+l.

（1）寫出拋物線y=x2-2mx+2,"+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的式子表示）.

（2）當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，則用的取值范圍是.

（3）當(dāng)-1WXW2時(shí)，函數(shù)y=x2-2"?x+2機(jī)+1的圖象記為G,設(shè)圖象G的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為網(wǎng).當(dāng)次

=-1時(shí)，求機(jī)的值.

（4）當(dāng)〃?>0時(shí)，分別過點(diǎn)Z（2,1）、B（2,4）作夕軸垂線，垂足分別為點(diǎn)。、點(diǎn)C,拋物線在矩形

Z8CD內(nèi)部的圖象（包括邊界）的最低點(diǎn)到直線y=-2的距離等于最高點(diǎn)到x軸的距離，直接寫出m的

值.

8.（2021?咸豐縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=—/x2+bx+|?與x軸正半軸交于點(diǎn)月’且點(diǎn)

力的坐標(biāo)為（3,0）,過點(diǎn)工作垂直于x軸的直線/,尸是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為機(jī)，過點(diǎn)尸作

PQJJ于點(diǎn)、Q,〃是直線/上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為-m七|-以P。，QM為邊作矩形PQMN.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)〃重合時(shí)，求m的值；

（3）當(dāng)矩形尸。MN是正方形，且拋物線的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部時(shí)，求機(jī)的值；

（4）當(dāng)拋物線在矩形PQWN內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值v隨x的增大而減小時(shí)，求機(jī)的取值范圍.

9.（2022?白山模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+2x+b⑷為常數(shù)，bW0）與y軸交于點(diǎn)/，且

點(diǎn)工的坐標(biāo)為（0,3）,過點(diǎn)/作垂直于y軸的直線/.P是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為加，過

點(diǎn)尸作P。，/于點(diǎn)0,M是直線/上的一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為-m+l.以PQ,為邊作矩形尸2MM

（1）求6的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)〃重合時(shí)，求機(jī)的值；

（3）當(dāng)矩形尸0MN為正方形時(shí)，求機(jī)的值；

（4）當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值'隨x的增大而增大時(shí)，直接寫出m的取值范圍.

10.（2021?吉林四模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/x2+bx-_1與x軸交于點(diǎn)/（5,0）,與該

拋物線的對稱軸/交于點(diǎn)8,作直線月比P是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)尸作x軸的

垂線交于點(diǎn)0,過點(diǎn)P作尸ML/于點(diǎn)N,以尸。、PN為邊作矩形

（1）求拋物線的解析式；

（2）求直線的解析式：

（3）當(dāng)該拋物線被矩形尸Q/WN截得的部分圖象的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的距離為2時(shí)，求點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

（4）當(dāng)該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到直線M0的距離相等時(shí)，直接寫出機(jī)的值.

y

11.(2021?南關(guān)區(qū)校級二模)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線2(〃為常數(shù)).

(1)當(dāng)在拋物線上，求機(jī)的值.

2

(2)當(dāng)拋物線的最低點(diǎn)到x軸的距離恰好是工時(shí)，求〃的值.

4

(3)已知Z(-1,1)、8(-1,2a-工)，連接力8.當(dāng)拋物線與線段有交點(diǎn)時(shí)，記交點(diǎn)為P(點(diǎn)尸

2

不與/、8重合)，將線段尸3繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段以PM、以為鄰邊構(gòu)造矩形P/W?！?

①若拋物線在矩形內(nèi)部的圖象的函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小時(shí)，求〃的取值范圍.

②當(dāng)拋物線在矩形產(chǎn)川。/內(nèi)部(包含邊界)圖象所對應(yīng)的函數(shù)的最大值與最小值的差為日時(shí)，直接寫出

a的值.

12.(2021?吉林二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕=y-x-搟與x軸正半軸交于點(diǎn)兒過點(diǎn)”

的直線(20)與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2,尸是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐

標(biāo)為用+1,過點(diǎn)尸作x軸的垂線，交直線48于點(diǎn)C,在該垂線的點(diǎn)尸上方取一點(diǎn)。，使尸。=1,以CD

為邊作矩形CZ5EE,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2"?.

(1)求直線Z8對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)力重合時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)￡在該拋物線上時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)到E尸的距離：

(4)當(dāng)矩形C0E廠的一組鄰邊與該拋物線相交，且該拋物線在矩形CDEF內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y

隨x的增大而增大時(shí)，直接寫出機(jī)的取值范圍.

13.（2020?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-?142+加+>|>與x軸正半軸交于點(diǎn)Z,且點(diǎn)力的

坐標(biāo)為（3,0）,過點(diǎn)力作垂直于x軸的直線/.P是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m過點(diǎn)尸作

PQL于點(diǎn)Q,M是直線/上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為-m+3.以尸。，01為邊作矩形

--2一

（1）求6的值.

（2）當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)用重合時(shí)，求機(jī)的值.

（3）當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部時(shí)，求，"的值.

（4）當(dāng)拋物線在矩形尸0WN內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，直接寫出機(jī)的取值范圍.

（備用圖）

14.（2022?長春模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線》=/+隊(duì)+。（6、c是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（0,-1）和

（2,7）,點(diǎn)N在這個(gè)拋物線上，設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為機(jī).

（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式并寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）點(diǎn)B在這個(gè)拋物線上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-1-2m.

①當(dāng)△ZBC是以N8為底的等腰三角形時(shí)，求O/8C的面積.

②將此拋物線4、8兩點(diǎn)之間的部分（包括/、8兩點(diǎn)）記為圖象G,當(dāng)頂點(diǎn)C在圖象G上，記圖象G

最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為h,求與機(jī)之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（加，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1-%2-〃?），點(diǎn)尸在坐標(biāo)平面內(nèi)，以/、D、E、

廠為頂點(diǎn)構(gòu)造矩形，當(dāng)此拋物線與矩形有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出機(jī)的取值范圍.

15.（2022?丹東）如圖1,拋物線y=ax2+x+c（aWO）與x軸交于/（-2,0）,B（6,0）兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸軸，垂足為￡>,尸。交直線8c于點(diǎn)E,

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為％

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)線段PE的長度為h,請用含有m的代數(shù)式表示h；

（3）如圖2,過點(diǎn)P作PFLCE,垂足為F,當(dāng)CF=EF時(shí)，請求出，〃的值；

（4）如圖3,連接CP,當(dāng)四邊形03。是矩形時(shí)，在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)。，使原點(diǎn)。關(guān)于直線

16.如圖，已知拋物線Ci：y=aix2+bix+ic和C2：y—a2X2+b^x+c2（|ai|—1<?2|）都經(jīng)過原點(diǎn)，頂點(diǎn)分別為Z,

B,與x軸的另一交點(diǎn)分別為M,N,如果四邊形/N8M是平行四邊形，則稱拋物線Ci和C2為對稱拋物

線.

(1)觀察圖象，寫出對稱拋物線兩條特征；（如：拋物線開口大小相同）

(2)若拋物線。的解析式為y=--+2x,確定對稱拋物線C2的解析式.

x+1與拋物線交于點(diǎn)

A,C（3,“）.點(diǎn)P為對稱軸左側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為機(jī).

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）已知直線/：x=〃?+5與直線/C交于點(diǎn)￡>,過點(diǎn)P（橫坐標(biāo)為機(jī)），作于點(diǎn)E,以PE,DE為

邊作矩形PEDF.

①當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在矩形/內(nèi)部時(shí)，m的取值范圍為（請直接寫出）

②在①的條件下，求矩形尸。尸的周長的最小值.

18.（2022?綠園區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y=--3,點(diǎn)，、點(diǎn)8均在此二次函數(shù)的圖象上，

點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為2〃-2,在點(diǎn)力和點(diǎn)8之間的圖象為G.

（1）當(dāng)n—2時(shí)，

①求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

②當(dāng)-1WXW3時(shí)，求y的取值范圍.

（2）所在的直線交夕軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)Z作軸于點(diǎn)。，以CA為鄰邊構(gòu)造矩形/OCE,直

接寫出當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)落在矩形ADCE的邊上時(shí)n的值.

（3）當(dāng)圖象G上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線y=3〃-4的距離為3,直接寫出滿足條件的“的取值范圍.

19.（2022?羅湖區(qū)二模）【實(shí)踐與探究】九（1）班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題，他們

經(jīng)歷了實(shí)踐一一應(yīng)用一一探究的過程：

（1）實(shí)踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進(jìn)行測量，測得隧道的路面寬為10加，

隧道頂部最高處距地面6.25〃?，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖①所示的直角坐標(biāo)系，則該拋物線的

解析式為.

（2）應(yīng)用：按規(guī)定，機(jī)動(dòng)車輛通過隧道時(shí)，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5〃?.為

了確保安全，問該隧道能否讓最寬3,〃、最高3.5"?的兩輛廂式貨車居中并列行駛（兩車并列行駛時(shí)不考

慮兩車之間的空隙）？

（3）探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩

個(gè)問題，請予解答：

I,如圖②，在拋物線內(nèi)作矩形使頂點(diǎn)C、。落在拋物線上，頂點(diǎn)Z、8落在x軸上.設(shè)矩形

的周長為/,求/的最大值.

II.如圖③，過原點(diǎn)作一條y=x的直線OM,交拋物線于點(diǎn)交拋物線對稱軸于點(diǎn)N,P為直線OM

上一動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)。.問：在直線上是否存在點(diǎn)P,使以尸、N、。為頂

點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖②

已知拋物線y=ar2+3x+c與直線y=x+l交于兩點(diǎn)48（3,n）,且點(diǎn)力在x

軸上.

(1)求a,c,n的值:

（2）設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，其橫坐標(biāo)為加.直線/：x="?+5與直線Z8交于點(diǎn)C,過點(diǎn)P作于點(diǎn)

以PD,為邊作矩形PACE,使得拋物線的頂點(diǎn)在矩形PACE內(nèi)部.

①直接寫出：機(jī)的取值范圍是

②求PA+CA的最小值.

21.（2022春?朝陽區(qū)校級月考）已知拋物線L：y=-/+4x+a

（1）拋物線Z■的對稱軸為直線

（2）當(dāng)拋物線L上到x軸的距離為3的點(diǎn)只有兩個(gè)時(shí)，求”的取值范圍.

（3）當(dāng)a<0時(shí)，直線x=a、x=-3a與拋物線工分別交于點(diǎn)/、C,以線段/C為對角線作矩形/8C。,

且軸.若拋物線L在矩形/8CD內(nèi)部（包含邊界）最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于2,求矩形/8C。的周長.

（4）點(diǎn)”的坐標(biāo)為（4,-1）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1,-1）,當(dāng)拋物線L與線段MN有且只有一個(gè)公共

點(diǎn)，直接寫出a的取值范圍.

22.（2022?煙臺(tái)一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形Z8CZ）的頂點(diǎn)/,8在x軸上，拋物線y=-f+bx+c

經(jīng)過4C(4,-5)兩點(diǎn)，且與直線。C交于另一點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作拋物線對稱軸的垂線，垂足為0,連接￡。，/P.試求EQ+PQ+/P的

最小值；

(3)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，在拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)"，使得以點(diǎn)M,N,E,/為頂點(diǎn)的四邊形是菱

形？若存在，請直接寫出點(diǎn)/的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

備用圖

23.(2022??？谀M)如圖，拋物線y=aF+z)x+c與*軸交于/(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C.點(diǎn)。(2,3)在該拋物線上，直線49與了軸相交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是直線/。上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求該拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)當(dāng)點(diǎn)F到直線40距離最大時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)如圖，點(diǎn)”是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,〃)，點(diǎn)0是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以4,M,P,Q

為頂點(diǎn)的四邊形是AM為邊的矩形.

①求n的值；

②若點(diǎn)7和點(diǎn)。關(guān)于//所在直線對稱，求點(diǎn)7的坐標(biāo).

yy

圖1備用圖

24.(2022?錦州二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形O/8C的兩邊04,0C分別在x軸和y軸上，OA

=3,OC=4,拋物線經(jīng)過點(diǎn)8,且與x軸交于點(diǎn)。(-1,0)和點(diǎn)E.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)若P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,PE,當(dāng)四邊形OCPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐

標(biāo)，此時(shí)四邊形OCPE的最大面積是多少；

(3)若N是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)M,使以點(diǎn)C,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是

矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)"的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.

備用圖

典例剖析.

_____________X

【例1】(2022?瀘州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線y;蘇+/。經(jīng)過/(-2,0),B(0,

4)兩點(diǎn)，直線x=3與x軸交于點(diǎn)C.

(1)求a,c的值；

(2)經(jīng)過點(diǎn)。的直線分別與線段AB,直線x=3交于點(diǎn)。，E,且△800與△?點(diǎn)的面積相等，求直

線。E的解析式；

(3)P是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段OC和直線x=3上是否分別存在點(diǎn)尸，G,使5,

F,G,尸為頂點(diǎn)的四邊形是以8尸為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)把Z(-2,0),B(0,4)兩點(diǎn)代入拋物線y=ax2+x+c中列方程組解出即可；

(2)利用待定系數(shù)可得直線48的解析式，再設(shè)直線OE的解析式為：y="?x,點(diǎn)。是直線DE和的

交點(diǎn)，列方程可得點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，根據(jù)△8。。與△OCE的面積相等列等式可解答；

(3)設(shè)-1^+4),分兩種情況：作輔助線構(gòu)建相似三角形，證明三角形相似或利用等角的三

2

角函數(shù)列等式可解答.

【解答】解：(1)把/(-2,0),B(0,4)兩點(diǎn)代入拋物線y=a/+x+c中得：f4a-2+c=0

Ic=4

a-

解得：T；

,c=4

(2)由(1)知：拋物線解析式為：y=--l/+x+4,

2

設(shè)直線的解析式為：y=kx+b,

則［-2k+b=0,解得：(k=2,

Ib=4Ib=4

的解析式為：y=2x+4,

設(shè)直線的解析式為：y^mx,

/.2x+4=mx,

.>x4

m-2

當(dāng)x=3時(shí)，y=3mt

：.E(3,3加),

?:/XBDO與△OCE的面積相等，C￡_LOC,

*3*(-3m)=工?4?4

222-m

：.9m2-18m-16=0,

???（3加+2）（3加-8）=0,

.\m\=--,m2=—（舍），

33

...直線DE的解析式為：y=-2x；

3

（3）存在，

B,F,G,P為頂點(diǎn)的四邊形是以8尸為一邊的矩形有兩種情況:

設(shè)P（/,-工尸+汁4）,

2

：.BP=FG,NPBF=NBFG=9G°,

ZCFG+ZBFO=ZBFO+ZOBF=ZCFG+ZCGF=ZOBF+ZPBH=90°,

???NPBH=ZOFB=/CGF,

VZPHB=ZFCG=90°,

烏

:APHBAFCG(AAS)f

:?PH=CF,

:?CF=PH=t,OF=3-l,

?:/PBH=/OFB,

.?.里=”即————=△_

BH

°F_|t2+t+4.43-t

解得：/1=0(舍)，f2=l，

:,F(2,0)；

同①可得：NG=FM=3,0F=t-3,

?：/OFB=/FPM,

/.tanZOFB=tanZFPM,

.OB=FM即工=3

.?加前'W/2+t+J

解得：/］=W201_,e=土畫］（舍），

44

：.F（返證o）；

4

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,0）或（叵［二旦，0）.

4

【例2】（2022?綏化）如圖，拋物線y=/+6x+c交y軸于點(diǎn)/（0,-4）,并經(jīng)過點(diǎn)C（6,0）,過點(diǎn)N作

軸交拋物線于點(diǎn)8,拋物線的對稱軸為直線x=2,。點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,0）,連接NO,BC,BD.點(diǎn)

E從4點(diǎn)出發(fā)，以每秒加個(gè)單位長度的速度沿著射線力。運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為機(jī)秒，過點(diǎn)E作

EFLAB于F,以EF為對角線作正方形EGFH.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)BC上時(shí)，求此時(shí)〃?的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以8,G,C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直

備用圖

【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=2,可得出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,0）,

列出交點(diǎn)式，再將點(diǎn)N（0,-4）可得出拋物線的解析式：

（2）根據(jù)可得出是等腰直角三角形，再根據(jù)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)和正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)“，F(xiàn),G的坐

標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)8,C的坐標(biāo)可得出直線8C的解析式，將點(diǎn)G代入直線8。的解析式即可：

（3）若存在，則△BGC是直角三角形，則需要分類討論，當(dāng)點(diǎn)8為直角頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，當(dāng)

點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，分別求解即可.

【解答】解：（1）???拋物線的對稱軸為直線x=2,。點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,0）,

...拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-2,0）,

.?.拋物線的解析式為：y—a（x+2）（x-6）,

將點(diǎn)Z（0,-4）解析式可得,-\2a--4>

.'.a——.

3

二拋物線的解析式為：y=—（x+2）（x-6）=—.^-—x-4.

333

(2)'：ABVy^,A(0,-4),

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,-4).

,：D(4,0),

:.AB=BD=4,且N/8O=90°,

是等腰直角三角形，NBAD=45°.

'：EF±AB,

二乙4莊=90°,

尸是等腰直角三角形.

,:AE=&m,

:?AF=EF=m,

:?E(m,-4+加)，F(xiàn)(m,-4).

???四邊形EGF”是正方形，

???△￡〃/是等腰直角三角形，

AAHEF=ZHFE=45Q,

???/7/是的角平分線，點(diǎn)〃是/E的中點(diǎn).

/.H(—m,-4+—w),G(—in,-4+—zw).

2222

?:B(4,-4),C(6,0),

J直線8c的解析式為：y=2x-12.

當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)BC上時(shí)，有2X3〃L12=-4+Xn.

22

解得,"=里.

5

.「,2412、

..(jr(>).

55

(3)存在，理由如下:

VB(4,-4),C(6,0),G(3加，-4+L).

22

:.BG、(4-A,?)2+(XM)2,

22

Bd=(4-6)2+(-4)2=20,

CG2=(6-3加)2+(-4+工機(jī))2.

22

若以B,G,C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，則△BGC是直角三角形,

...分以下三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)8為直角頂點(diǎn)時(shí)，BG2+BC2^CG2,

：.（4-3m）2+（上加）2+20=（6-3，〃）2+（-4+X?）2,

2222

解得加=區(qū),

5

：.G（空，--11）；

55

②當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，BC2+CG2=BG2,

2

.,.20+（6-3俏）+（-4+-lw）2=（4-3加）2+（Aw）2,

2222

解得加=28,

5

AG（―,-2）；

55

③當(dāng)點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)時(shí)，BG2+CG2^BC2,

：.（4-§m）2+（工加）2+（6-旦加）2+（-4+XH）2=20,

2222

解得加=2魚或2,

5

：.G（3,-3）或（①，-8）；

55

綜上，存在以8,G,C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（空，-也）或（絲,

555

-A）或（3,-3）或（毀，一g）.

555

【例3】（2022?黔東南州）如圖，拋物線y=o?+2x+c的對稱軸是直線x=l,與x軸交于點(diǎn)4B（3,0）,

與y軸交于點(diǎn)C，連接ZC.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作。WTx軸，垂足為點(diǎn)M,DM交直線8c

于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)N,使得以4C,N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請求出點(diǎn)N的

坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）已知點(diǎn)E是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)R使以點(diǎn)8、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊

形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由拋物線的對稱軸為直線X=l,拋物線經(jīng)過點(diǎn)8(3,0),可得/(-1,0),用待定系數(shù)

法即可求解；

(2)求出直線8c的解析式，設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為(/,-產(chǎn)+2/+3),則點(diǎn)N(3-t+3),利用勾股定理表示出

AC2,AN2,CN2,然后分①當(dāng)/fC=/lN時(shí)，②當(dāng)/C=OV時(shí)，③當(dāng)/1N=CN時(shí)三種情況進(jìn)行討論，列

出關(guān)于f的方程，求出f的值，即可寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)分兩種情形討論：①當(dāng)8C為對角線時(shí)，②當(dāng)5c為邊時(shí)，先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用平行四邊

形的中心對稱性求出點(diǎn)廠的坐標(biāo)即可.

【解答】解：⑴拋物線y=a/+2x+c的對稱軸是直線x=l,與x軸交于點(diǎn)4B(3,0),

：.A(-1,0),

..卜-2+c=0,解得卜=-1,

l9a+6+c=0Ic=3

.?.拋物線的解析式y(tǒng)=-』+2X+3；

(2)Vy=-X2+2X+3,

：.C(0,3),

設(shè)直線BC的解析式為y=h+3,

將點(diǎn)8(3,0)代入得：0=3上+3,

解得：k=-1,

直線BC的解析式為y=-x+3；

設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為(3-於+2什3),則點(diǎn)7+3),

,：A(-1,0),C(0,3),

r./4C2=l2+32=10,

AN2=（/+1）2+（-r+3）2=2於-4什10,

。解=及+（3+f-3）2=2產(chǎn)，

①當(dāng)時(shí)，AC2=AN2,

：.10=2z2-4/+10,

解得〃=2,f2=0（不合題意，舍去），

.?.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2,1）；

②當(dāng)NC=CN時(shí)，AC2=CN2,

：.10=2?,

解得“=代,，2=-遙（不合題意，舍去），

...點(diǎn)N的坐標(biāo)為（遙，3-遙）；

③當(dāng)4N=CN時(shí)，AN2^CN2,

二2尸-4什10=2理，

解得尸金，

2

...點(diǎn)N的坐標(biāo)為（―.—

22

綜上，存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2,1）或（遙，3-F）或（旦，工）;

22

(3)設(shè)E(1,a),F(w,n),

,：B(3,0),C(0,3),

二8c=3近，

①以8c為對角線時(shí)，8c2=CE2+BE2,

(3&)2=12+(a-3)2+『+(3-1)2

解得：.=空叵，或°=旦乂正，

22

：.E（1,亞ZIL）或（i,二叵），

22

,:B（3,0）,C（0,3）,

1=0+3,互一=0+3或n+^ZIL=0+3,

_22

."=2,或〃=^5L,

22—

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,生或（2,

22

②以8。為邊時(shí)，BE2=CE2+BC2或CE2=BE2+BC2，

222222

???〃2+(3-1)2=]2+(。一3)+(3&)2或1+(a-3)=a+(3-1)+(3加)

解得：a=4或a=-2,

：.E(1,4)或(1,-2),

?:B(3,0),C(0,3),

，"?+0=1+3,〃+3=0+4或"?+3=1+0,〃+0=3-2,

，加=4,〃=1或加=-2,〃=1,

，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4,1）或（-2,1）,

綜上所述：存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,三叵）或（2,立口叵）或（4,1）或（-2,1）.

22

【例4】（2022?梁山縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a<0）與x軸交于N（-2,

0）、B（4,0）兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)C,且OC=2O4

（1）試求拋物線的解析式;

（2）直線y=fcc+l（%>0）與y軸交于點(diǎn)。，與拋物線交于點(diǎn)尸，與直線8c交于點(diǎn)M,記機(jī)=黑，試

求m的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，w取最大值時(shí)，點(diǎn)。是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，是否存

在這樣的點(diǎn)0、N,使得以尸、￡>、。、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？如果存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如

果不存在，請說明理由.

【分析】(1)因?yàn)閽佄锞€y=af+6x+c經(jīng)過/(-2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，所以可以假設(shè)y=a(x+2)(x

-4),求出點(diǎn)。坐標(biāo)代入求出〃即可；

(2)由△CM￡>SZV7MP,可得"?=電=里，根據(jù)關(guān)于加關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即

DMDC

可解決問題；

(3)存在這樣的點(diǎn)。、M使得以「、D、0、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形.分兩種情形分別求解即可:

①當(dāng)。尸是矩形的邊時(shí)，有兩種情形；②當(dāng)。P是對角線時(shí)；

【解答】解：(1)因?yàn)閽佄锞€y=a/+6x+c經(jīng)過N(-2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，

所以可以假設(shè)y=a(x+2)(x-4),

VOC^IOA,04=2,

AC(0,4),代入拋物線的解析式得到a=-2，

2

'.y--方(x+2)(x-4)或了=--^X2+X+4或產(chǎn)-(x-1)2+—.

(2)如圖1中，由題意，點(diǎn)尸在y軸的右側(cè)，作PE_Lx軸于E,交BC于F.

圖1

'：CD//PE,

：.4CMDs叢FMP,

...m?-_--P--M---_--P--F--,

DMDC

?.?直線y=fcr+l（左＞0）與y軸交于點(diǎn)。，則。（0,1）,

：8C的解析式為y=-x+4,

設(shè)尸（〃，-—n2+?+4）,則尸（〃，-〃+4）,

2

:.PF=-l-n2+n+4-（-w+4）=-工（〃-2）2+2,

22

：-l-<0,

6

?.當(dāng)〃=2時(shí)，加有最大值，最大值為2,此時(shí)P(2,4).

3

(3)存在這樣的點(diǎn)0、M使得以P、D、。、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形.

①當(dāng)。尸是矩形的邊時(shí)，有兩種情形，

。、如圖2-1中，四邊形O0NP是矩形時(shí)，

有（2）可知尸（2,4）,代入y=fcc+l中，得到上=3,

直線。尸的解析式為y=-1x+l,可得。（0,1）,后（-著，0），

\\\/\DOE^/\QOD可得強(qiáng)=墮，

0Q0D

:.OD2=OE-OQ,

I=2?OO,

3

。0=旦，

2

根據(jù)矩形的性質(zhì)，將點(diǎn)P向右平移&個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到點(diǎn)N,

：.N（2+3,4-1）,即N（工，3）

22

從如圖2-2中，四邊形TON。是矩形時(shí),

???直線PD的解析式為y=1-x+l,PQ1PD,

二直線PQ的解析式為y=-21+至，

33

：.Q(8,0),

根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，將點(diǎn)。向右平移6個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到點(diǎn)N,

:.N(0+6,1-4),即N(6,-3).

②當(dāng)Z)尸是對角線時(shí)，設(shè)0(x,0),則?！?2=/+],0P2=(x-2)2+42,P￡)2=13,

:。是直角頂點(diǎn)，

QN+Q昨PN,

.,.x2+l+(x-2)2+16=13,

整理得f-2x+4=0,方程無解，此種情形不存在，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為(工，3)或(6,-3).

2

滿分訓(xùn)練.

1.(2022?武功縣模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線Li：-j^+bx+c(b、c,為常數(shù))與x軸交于/

(-6,0)、B(2,0)兩點(diǎn).

(1)求拋物線心的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將該拋物線心向右平移4個(gè)單位長度得到新的拋物線上，與原拋物線小交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是點(diǎn)C

關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)N在平面直角坐標(biāo)系中，請問在拋物線上上是否存在點(diǎn)收，使得以點(diǎn)C、D、M、

N為頂點(diǎn)的四邊形是以8為邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法直接求解即可；

(2)存在，根據(jù)題意求得拋物線上的表達(dá)式，再與拋物線人聯(lián)立，求