離散型隨機(jī)變量

第二章

隨機(jī)變量及其分布

南極數(shù)學(xué)

在必修3中,我們學(xué)習(xí)了概率有關(guān)知識(shí).知道概率是描述在一次隨機(jī)試驗(yàn)中的某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量.

隨機(jī)試驗(yàn)是指滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn):①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不只一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。章頭圖(射擊運(yùn)動(dòng)情景)：在射擊運(yùn)動(dòng)中，射擊選手的每次射擊成績(jī)是一個(gè)非常典型的隨機(jī)事件.(1)如何刻畫每個(gè)選手射擊的技術(shù)水平與特點(diǎn)？(2)如何比較兩個(gè)選手的射擊情況？(3)如何選擇優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員代表國(guó)家參加奧運(yùn)會(huì)才能使得獲勝的概率大？這些問(wèn)題的解決需要離散型隨機(jī)變量的知識(shí).2.1.1離散型隨機(jī)變量高二數(shù)學(xué)選修2-31.了解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的意義，并能說(shuō)明隨機(jī)變量取的值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.（重點(diǎn)）2．通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，能舉出一些隨機(jī)變量的例子，并能識(shí)別是離散型隨機(jī)變量，還是非離散型隨機(jī)變量.（難點(diǎn)）復(fù)習(xí)引入：1、什么是隨機(jī)事件？什么是基本事件？

在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件。試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為基本事件。2、什么是隨機(jī)試驗(yàn)？凡是對(duì)現(xiàn)象或?yàn)榇硕M(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，都稱之為試驗(yàn)。如果試驗(yàn)具有下述特點(diǎn)：試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果都是明確可知的，并且不止一個(gè)；每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。它被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。簡(jiǎn)稱試驗(yàn)。判斷下面問(wèn)題是否為隨機(jī)試驗(yàn)(1)T11次特快車到達(dá)福州站是否正點(diǎn).(2)1976年唐山地震.

下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量？并說(shuō)明理由．(1)上海國(guó)際機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中2016年1月1日的旅客數(shù)量；(2)2016年某天福州至北京的D36次列車到北京站的時(shí)間；(3)2015年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；(4)體積為1000cm3的球的半徑長(zhǎng)．練習(xí)是是是不是出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可以用數(shù)字1,2,3,4,5,6表示.擲一枚骰子時(shí),出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)如何表示?那么擲一枚硬幣的結(jié)果是否也可以用數(shù)字來(lái)表示呢?01以1和0表示正面向上和反面向上某人射擊一次，可能出現(xiàn)命中0環(huán)，命中1環(huán)，…，命中10環(huán)等結(jié)果，可能出現(xiàn)的結(jié)果可能由0,

1，……10這11個(gè)數(shù)表示.問(wèn)題1(1)擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)用數(shù)字1，2，3，4，5，6來(lái)表示.

(2)擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果有

種：正面向上、反面向上正面向上反面向上10但我們可以用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上.兩

還可以用其他的數(shù)來(lái)表示這兩個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果嗎？12問(wèn)題2一位籃球運(yùn)動(dòng)員3次投罰球的得分結(jié)果可以用數(shù)字表示嗎？生產(chǎn)一件產(chǎn)品合格與否，其結(jié)果也可以用數(shù)字表示嗎？

任何隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎？說(shuō)明：(1)任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果我們可以進(jìn)行數(shù)量化；(2)同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,可以賦不同的數(shù)值.

在擲骰子、擲硬幣和罰球的隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示.定義1：這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量(randomvariable).

在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化.符號(hào)表示：常用希臘字母ξ[ksi:]，η[`eit?]；大寫英文字母X，Y等表示。首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)例1判斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由。（1）昨天我校辦公室接到的電話的個(gè)數(shù).（2）標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度.（3）在一次比賽中，設(shè)一二三等獎(jiǎng)，你的作品獲得的獎(jiǎng)次.（4）體積64立方米的正方體的棱長(zhǎng).（5）拋擲兩次骰子,兩次結(jié)果的和.（6）袋中裝有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取5個(gè)球，其中所含白球的個(gè)數(shù).解:是隨機(jī)變量的有(1)(3)(5)(6)問(wèn)題3在擲骰子試驗(yàn)中，如果我們僅關(guān)心擲出的點(diǎn)數(shù)是否為偶數(shù)，應(yīng)該如何定義隨機(jī)變量呢？Y=0，擲出奇數(shù)點(diǎn)1，擲出偶數(shù)點(diǎn)說(shuō)明：在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該選擇有實(shí)際意義、盡量簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量來(lái)表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.

與擲出點(diǎn)數(shù)X(1,2,3,4,5,6)比較，隨機(jī)變量Y(0,1)的值域更小，構(gòu)造更簡(jiǎn)單.隨機(jī)變量和函數(shù)有類似的地方嗎？

隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，而函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù).

實(shí)際上隨機(jī)變量的概念也可以看作是函數(shù)概念的推廣.

試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域.

我們把隨機(jī)變量的取值范圍叫做隨機(jī)變量的值域.函數(shù)隨機(jī)變量自變量實(shí)數(shù)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果因變量實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)因變量的范圍值域值域相同點(diǎn)都是映射函數(shù)與隨機(jī)變量的異同點(diǎn)某次產(chǎn)品檢驗(yàn)，在可能含有10件次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出現(xiàn)的結(jié)果可以由0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)表示次品件數(shù)X將隨著抽取結(jié)果的變化而變化，是一個(gè)隨機(jī)變量.其值域是

.{0，1，2，3，4}問(wèn)題4

能夠通過(guò)隨機(jī)變量X來(lái)研究隨機(jī)事件嗎？例如，{X=0}表示“抽出0件次品”；{X=1}表示“抽出1件次品”；{X=4}表示“抽出4件次品”等.你能說(shuō)出{X<3}表示什么事件呢？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？“抽出0或1或2件次品”{X=3或X=4}問(wèn)題5

從值域的角度來(lái)看，前面所涉及的隨機(jī)變量取值有什么特點(diǎn)？特點(diǎn)：隨機(jī)變量所取的值可以一一列出.定義2：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量(discreterandomvariable).說(shuō)明：本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值.你能舉出一些離散型隨機(jī)變量的例子嗎？離散型隨機(jī)變量的一些實(shí)例：(3)1小時(shí)內(nèi)到達(dá)某公共汽車站的人數(shù)；(1)在本班中任意抽取5名同學(xué)中戴眼鏡的人數(shù)；(2)某人射擊一次可能命中的環(huán)數(shù).它的所有可能取值為0，1，2，…，10(共11個(gè))它的所有可能取值為0，1，2，3，4，5(共6個(gè))它的所有可能取值為0，1，2，….問(wèn)題6

電燈泡的壽命X是離散型隨機(jī)變量嗎？X的可能取值是任何一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，而所有非負(fù)實(shí)數(shù)不能一一列出，所以X不是離散型隨機(jī)變量.而稱為連續(xù)型隨機(jī)變量.(1)如果規(guī)定壽命在1500小時(shí)以上的燈泡為一等品；壽命在1000到1500之間的為二等品；壽命在1000小時(shí)之下的為不合格品。如果我們關(guān)心燈泡是否為合格品，那如何定義隨機(jī)變量？X=0，燈泡為不合格品1，燈泡為合格品(2)

如果我們關(guān)心燈泡是否為一等品或二等品，應(yīng)該如何定義隨機(jī)變量？(3)

如果我們關(guān)心燈泡的使用壽命，又應(yīng)該如何定義隨機(jī)變量？Y=1，燈泡為一等品2，燈泡為二等品3，燈泡為不合格品定義隨機(jī)變量Z為燈泡的使用壽命.在上面的問(wèn)題中，所定義隨機(jī)變量的規(guī)律是什么？

所定義的隨機(jī)變量值應(yīng)該有實(shí)際意義，所定義的隨機(jī)變量取值應(yīng)該和所感興趣的結(jié)果個(gè)數(shù)形成一對(duì)一的關(guān)系.離散型隨機(jī)變量可能取的值為有限個(gè)或者說(shuō)能將它的可取值按一定次序一一列出，下列變量中是離散型隨機(jī)變量的________．(1)下期《星光大道》節(jié)目中冠軍的人數(shù)；例2(2)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差；(3)在泉州至福州的高速鐵路線上，每隔50m有一電線鐵塔，從泉州至福州的高速鐵路線上將電線鐵塔進(jìn)行編號(hào)，其中某一電線鐵塔的編號(hào)；(4)福州市閩江水位監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測(cè)水位．（1）（3）課堂練習(xí)1：見(jiàn)課本P45練習(xí)NO：1答：(1)能用離散型隨機(jī)變量表示，可能的取值為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.(2)能用離散型隨機(jī)變量表示，可能的取值為0，1，2，3，4，5.(3)不能用離散型隨機(jī)變量表示.1.袋中有大小相同的5個(gè)小球，分別標(biāo)有1、2、3、4、5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回的條件下取出兩個(gè)小球，設(shè)兩個(gè)小球號(hào)碼之和為，則所有可能值的個(gè)數(shù)是____

個(gè)；{

}表示

．“第一次抽1號(hào)、第二次抽3號(hào)，或者第一次抽3號(hào)、第二次抽1號(hào)，或者第一次、第二次都抽2號(hào)．92.拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為ξ，試問(wèn):(1){ξ>4}表示的試驗(yàn)結(jié)果是什么?(2)P(ξ>4)=?123453、寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值.（1）從10張已編號(hào)的卡片（從1號(hào)到10號(hào)）中任取1張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)

．（2）一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球數(shù)．（3）拋擲兩個(gè)骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和．（4）接連不斷地射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)．（＝1、2、3、···、n、···）（＝2、3、4、···、12）（＝1、2、3、···、10）（＝0、1、2、3）4、寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果

ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1，2，3；ξ=4，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3,5或2,4,5或3，4，5

一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號(hào)為1，2，3，4，5現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3只球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)ξ；

解5、(1)某座大橋一天經(jīng)過(guò)的中華轎車的輛數(shù)為；(2)某網(wǎng)站中歌曲《愛(ài)我中華》一天內(nèi)被點(diǎn)擊的次數(shù)為；(3)一天內(nèi)的溫度為；(4)射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用表示該射手在一次射擊中的得分。上述問(wèn)題中的是離散型隨機(jī)變量的是（）

A.(1)(2)(3)(4)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)B6.將一顆均勻骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是()(A)兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和(B)兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)(C)第一次減去第二次的點(diǎn)數(shù)差(D)拋擲的次數(shù)D7.下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是否能用離散型隨機(jī)變量表示？若能，請(qǐng)寫出各隨機(jī)變量可能的取值并說(shuō)明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。（1）拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和；【引申】拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之積；（容易多）（2）某足球隊(duì)在5次點(diǎn)球中射進(jìn)的球數(shù)；（容易漏）

【歸納總結(jié)】要做到“不漏不多”12345