2023年上海市高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷答案

2023年上海市高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷

2023年3月27日上午9：30~11：30

【說(shuō)明】解答本試卷不得使用計(jì)算器.解答請(qǐng)寫(xiě)在答題紙上.

一、填空題（本大題總分值60分，前4小題每題7分，后4小題每題8分）

1.函數(shù),*x）=ax2+/?x+c（aW0,a、〃、c均為常數(shù)）,函數(shù)力（x）的圖像與函數(shù)?r）

的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)力㈤的圖像與函數(shù)力㈤的圖像關(guān)于直線y=l對(duì)稱(chēng)，那

么函數(shù)■光）的解析式是.

2.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|=l,W=3Z2-4在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)W所表示曲線的普通

z~

方程為.

3.關(guān)于X的方程arctan2'-arctan2-“=工的解是.

6

4.紅、藍(lán)、綠、白四顆骰子，每顆骰子的六個(gè)面上的數(shù)字為123,4,5,6；那

么同時(shí)擲這四顆骰子使得四顆骰子向上的數(shù)的乘積等于36,共有種可能.

5.函數(shù)/（x）=cos（7x）,g（x）=2Xa-；（aW0）;假設(shè)存在為、々使人王）與赴）

成立，那么實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

6.如圖，有16間小三角形的房間.甲、乙

兩人被隨機(jī)地分別安置在不同的小三角形的房A

間，那么他們?cè)诓幌噜彛ㄖ笡](méi)有公共邊）房間

的概率是?（用分?jǐn)?shù)表示）/y\

7.在空間，四個(gè)不共線的向量OA、。8、/\ZV\

OC、。，它們兩兩間的夾角都是。，那么a的/VVV\

大小是.

8.”>0￡>043+〃=1,那么a+b的取值范圍為.

二、解答題（本大題總分值60分）

9.（此題總分值15分）如圖，五邊形Ai&GDiEi

內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正五邊形ABCDE；

E

求證：五邊形AiBiCiDiEi中至少有一條邊的

長(zhǎng)度不小于cos^5.<X//\\）\。

10.1此題總分值15分）設(shè)p,q和〃是素?cái)?shù)，\\

4Ci

BC

B]

且pIa-1（p|〃-1表示妙一1能被p整除），q|6-1和r|pq-1；求pqr的所有

可能的值.

11.（此題總分值15分）數(shù)列｛q｝滿(mǎn)足遞推關(guān)系q川（neM）;

求所有外的值，使｛4｝為單調(diào)數(shù)列,即｛凡｝為遞增數(shù)列或遞減數(shù)列.

12.（此題總分值15分）等

邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為5,延長(zhǎng)

BA至點(diǎn)P,使得|AP|=9.D是線段

BC上一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），直線A。

與&9PC的外接圓交于E、F兩

點(diǎn)，其中|班|<|磯）|.

（1）設(shè)|8D|=x，試將|￡4|一|。川

表示為關(guān)于x的函數(shù)./U）；

（2）求於）的最小值.

一、填空題

1.f（x）=ax2+bx+2-c.2.

4.48.5.[--,0）U（0,-].6.-7.arccos（一一）8.（1,^4]

22203

二、解答題

9、五邊形A/CQg內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正方形A8COE；求證：五邊形44G2g中

77

至少有一條邊的長(zhǎng)度不小于cos（。

證明：AE1,A4,,84,BB,,CB,,CC,,DC,,DDt,EDt,EE｝的長(zhǎng)分別為

ava2,bvb2,cx,c2,dx,d2,eve2。

于是（q+。2）+（優(yōu)+4）+（《+。2）+（4+心）+（4+?2）=5

由平均數(shù)原理，（q+4）,（4+4）,（.+。2）,（4+4），（4+6）必有一個(gè)大于等于1。

不妨設(shè)4+。221，故的21-4。

10.解：由題設(shè)可知pqr|(qr-l)(/p-l)(pq-l)；

.<口npq+qr+rp-1ill1上十命皿

pqr|pq+qr+rp_1,即上-------------=—+—+--------為正整數(shù)；

pqrpqrpqr

記A=—+—+--,由于p,q/N2,故1<A<。，從而只能A:=1.

pqrpqr2

由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)p?q?r；

假設(shè)pN3,那么無(wú)<工+工+工41,矛盾，故p=2.

pqr

假設(shè)q>3,那么425,左《l+2<1,矛盾.

25

假設(shè)q=2,那么4=1+,+(1一二-)>1,也矛盾，故q=3.

22r4r

最后，由1=—I1--------，得r=5.

23r6r

經(jīng)檢驗(yàn)，0=2應(yīng)=34=5符合題意./.pqr=30.

11.解：％+]N*)=3"+%“+]=-：x3"ia“+3,

令b"=3"a“,那么bn+l=一：或+3,2+「'=一。,(〃eN*)

222252

假設(shè)叫—￥0,那么由—(—―),,_1<?)——,可得n>14-log(—a—),

5535-22x5

522222

故當(dāng)〃eN，且〃>1+log(—a—)時(shí)，一(—二)〃|+(%)與6—同號(hào);

-22x55355

而(一’)"7正負(fù)交叉，從而%正負(fù)交叉，｛%｝不是單調(diào)數(shù)列.

2

當(dāng)'1時(shí)，a?=|(1)n-*為遞減數(shù)列；

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)％=[時(shí)，｛%｝為單調(diào)數(shù)列.

12.解：⑴設(shè)〃=忸4|,?=|4。|,。=|。尸|,那么/(*)=〃-“

在中，由余弦定理得，v=yj\ABf+\BDf-2\AB\\BD\cosZABD

22

=/2+x-2x5x-^=\lx-5x+25.

在4PBe的外接圓中運(yùn)用相交弦定理，得忸=\BA\\AP\,\ED\\DF\=\BD\\DC\,

即u(v+w)=45,(u+v)w=x(5—x);兩式相減得羽(〃—w)=x2-5x+45,故

(2)設(shè)2=&-5X+25NO,那么

「，、x2-5x4-45r+2020、J20，房

/(x)=/,=