正方形的性質(zhì)與判定 省賽獲獎

學習新知第一章特殊平行四邊形檢測反饋3正方形的性質(zhì)與判定（2）九年級數(shù)學上新課標[北師]問題2

如圖所示,將一張長方形紙對折兩次,然后剪下一個角,打開.怎樣剪才能剪出一個正方形?問題3

議一議:滿足什么條件的矩形是正方形?滿足什么條件的菱形是正方形?與同伴交流一下.

問題思考問題1

我們學習了平行四邊形、矩形、菱形、正方形,那么請思考一下,它們之間有什么關(guān)系?你能用一個圖直觀地表示它們之間的關(guān)系嗎?與同伴交流一下.

菱形與正方形學習新知菱形與正方形?問題:

從這個圖形中你能得到什么？

┓90°有一個角是直角的菱形是正方形。ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCDABC

D

問題:

從這個變化中你能得到什么？有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

例題講解

已知:如圖所示,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求證:四邊形BECF是正方形.

思路2:要證四邊形BECF是正方形,也可以先證明四邊形BECF是矩形,然后證明四邊形BECF中有一組鄰邊相等即可.解析

思路1:要證四邊形BECF是正方形,可以先證明四邊形BECF是菱形,然后證明四邊形BECF中有一個角是直角即可;

證法1:∵BF∥CE,CF∥BE,∴四邊形BECF是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°.

又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,

平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角正方形菱形一內(nèi)角是直角矩形一組鄰邊相等正方形小結(jié)定義法菱形法矩形法有一個角是直角的菱形叫做正方形。有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。有一組鄰邊相等的一個角是直角平行四邊形叫做正方形。如果四邊形ABCD變?yōu)樘厥獾乃倪呅危悬c四邊形EFGH會有怎樣的變化呢？平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形原四邊形可以是：中點四邊形特殊四邊形的中點四邊形：平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形菱形的中點四邊形是矩形矩形的中點四邊形是菱形正方形的中點四邊形是正方形猜想驗證特殊四邊形的中點四邊形：等腰梯形的中點四邊形是菱形直角梯形的中點四邊形是平行四邊形梯形的中點四邊形是平行四邊形猜想驗證對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形對角線既相等又垂直的四邊形的中點四邊形是正方形對角線既不相等又不垂直的四邊形的中點四邊形是平行四邊形猜想驗證歸納：一般四邊形的中點四邊形：決定中點四邊形EFGH的形狀的主要因素是原四邊形ABCD的對角線的長度和位置關(guān)系原四邊形對角線關(guān)系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直所得中點四邊形形狀平行四邊形菱形矩形正方形5種識別方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個角是直角或?qū)蔷€相等一個角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)

1.下列說法中正確的有

(

)

①有一個角為直角的菱形是正方形;

②四個角相等的四邊形是正方形;

③四條邊都相等的四邊形是正方形;

④有一組鄰邊相等的矩形是正方形;

⑤對角線垂直且相等的四邊形是正方形;

⑥對角線相等的菱形是正方形;

⑦對角線互相垂直的矩形是正方形;

⑧對角線互相垂直平分的四邊形是正方形.

A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

B檢測反饋2.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分別是BC,AB,AC的中點,連接DE,DF.

(1)求證DE=DF.

(2)你能添加一個條件,使四邊形EDFA是正方形嗎?若能,請說明.提示:(1)利用三角形的中位線定理可以證明;(2)添加條件∠A=90°;先證明四邊形AEDF是菱形,然后根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形得出即可.3.如下左圖所示,E,F,G,H分別是正方形ABCD四邊的中點,試判斷四邊形EFGH的形狀,并給出證明.如果改變E,F,G,H的位置,但仍滿足AE=BF=CG=DH,如下右圖所示,結(jié)果如何呢?提示:四邊形EFGH是正方形