湖南省益陽(yáng)市龍湖中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高一上期末監(jiān)測(cè)試題含解析

湖南省益陽(yáng)市龍湖中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高一上期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（）A. B.或C.或 D.或2．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有五個(gè)不同實(shí)根，則m的值是（）A.0或 B.C.0 D.不存在3．下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法不正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.最小正周期是2C.圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)D.圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)4．在如圖所示的多面體ABCDB1C1D1中，四邊形ABCD、四邊形BCC1B1、四邊形CDC1C1都是邊長(zhǎng)為6的正方形，則此多面體ABCDB1C1D1的體積（）A.72 B.144C.180 D.2165．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）A. B.C. D.6．將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像對(duì)應(yīng)的解析式為（）A. B.C. D.7．函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸是（）A. B.C. D.8．某工廠生產(chǎn)的30個(gè)零件編號(hào)為01，02，…，19，30，現(xiàn)利用如下隨機(jī)數(shù)表從中抽取5個(gè)進(jìn)行檢測(cè).若從表中第1行第5列的數(shù)字開(kāi)始，從左往右依次讀取數(shù)字，則抽取的第5個(gè)零件編號(hào)為（）3457078636046896082323457889078442125331253007328632211834297864540732524206443812234356773578905642A. B.C. D.9．若角與終邊相同，則一定有（）A. B.C.， D.，10．函數(shù)，則的大致圖象是（）A. B.C. D.11．設(shè)集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，則A∪B＝（）A.{1，2，3，4} B.{1，2，3}C.{2，3，4} D.{1，3，4}12．函數(shù)部分圖象大致為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)____________14．已知函數(shù)，，對(duì)，用表示，中的較大者，記為，則的最小值為_(kāi)_____.15．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，B′C∩BC′＝O，則AO與A′C′所成角的度數(shù)為_(kāi)_______.16．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．總書(shū)記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山.”新能源汽車(chē)環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國(guó)的國(guó)情，也代表了世界汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向.工業(yè)部表示，到年中國(guó)的汽車(chē)總銷(xiāo)量將達(dá)到萬(wàn)輛，并希望新能源汽車(chē)至少占總銷(xiāo)量的五分之一.江蘇某新能源公司某年初購(gòu)入一批新能源汽車(chē)充電樁，每臺(tái)元，到第年年末每臺(tái)設(shè)備的累計(jì)維修保養(yǎng)費(fèi)用為元，每臺(tái)充電樁每年可給公司收益元.（）（1）每臺(tái)充電樁第幾年年末開(kāi)始獲利；（2）每臺(tái)充電樁在第幾年年末時(shí)，年平均利潤(rùn)最大.18．已知函數(shù).（1）若為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．如圖，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC的中點(diǎn)N在x軸上（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積20．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖均為腰長(zhǎng)為6的等腰直角三角形.（1）畫(huà)出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；（2）求證：；（3）求四棱錐外接球的直徑.21．如圖所示，設(shè)矩形的周長(zhǎng)為cm，把沿折疊，折過(guò)去后交于點(diǎn)，設(shè)cm，cm（1）建立變量與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域;（2）求的最大面積以及此時(shí)的的值22．求函數(shù)的定義域、值域與單調(diào)區(qū)間；

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】由已知和偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為，再由其單調(diào)性可得，解不等式可得答案【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得或，所以不等式的解集為或，故選：B2、C【解析】令，做出的圖像，根據(jù)圖像確定至多存在兩個(gè)的值，使得與有五個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的值或取值范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)為求方程在的值或取值范圍有解，利用一元二次方程根的分布，即可求解.【詳解】做出圖像如下圖所示：令，方程，為，當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)解，當(dāng)，方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)解，要使方程方程有五個(gè)實(shí)根，則方程有一根為1，另一根為0或大于1，當(dāng)時(shí)，有或，當(dāng)時(shí)，，或，滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，，或，不合題意，所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合方程的解，換元法是解題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合是解題的依賴(lài)，或直接用選項(xiàng)中的值代入驗(yàn)證，屬于較難題.3、D【解析】結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，利用整體代換思想依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，A選項(xiàng)正確；由函數(shù)周期公式，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，由于是的對(duì)稱(chēng)軸，故直線是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，C選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，，由于是的對(duì)稱(chēng)軸，故不是函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D.4、C【解析】把該幾何體補(bǔ)成正方體ABCD-A1B1C1D1，此多面體ABCDB1C1D1的體積V=-，求之即可【詳解】如圖，把該幾何體補(bǔ)成正方體ABCD-A1B1C1D1，此多面體ABCDB1C1D1的體積V=-=63-=180故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查四棱錐體積的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題5、D【解析】將各點(diǎn)分別代入各函數(shù)，即可求出【詳解】將各點(diǎn)分別代入各函數(shù)可知，最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是故選：D6、B【解析】由三角函數(shù)的平移變換即可得出答案.【詳解】函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得，再將所得的圖象向左平移個(gè)單位可得故選：B.7、C【解析】對(duì)稱(chēng)軸穿過(guò)曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，把代入后得到,因而對(duì)稱(chēng)軸為，選.8、C【解析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表依次進(jìn)行選取即可【詳解】解：根據(jù)隨機(jī)數(shù)的定義，1行的第5列數(shù)字開(kāi)始由左向右依次選取兩個(gè)數(shù)字，大于30的數(shù)字舍去，重復(fù)的舍去，取到數(shù)字依次為07，04，08，23，12，則抽取的第5個(gè)零件編號(hào)為12.故選：【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的應(yīng)用，同時(shí)考查對(duì)隨機(jī)數(shù)表法的理解和辨析9、C【解析】根據(jù)終邊相同角的表示方法判斷【詳解】角與終邊相同，則，，只有C選項(xiàng)滿(mǎn)足，故選：C10、D【解析】判斷奇偶性，再利用函數(shù)值的正負(fù)排除三個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，得正確結(jié)論【詳解】，為偶函數(shù)，排除BC，又時(shí)，，時(shí)，，排除A，故選：D11、A【解析】根據(jù)并集定義求解即可.【詳解】∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，根據(jù)并集的定義可知：A∪B＝{1，2，3，4}，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)BCD錯(cuò)誤.故選：A.12、A【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除B；令，即，解得，即只有一個(gè)零點(diǎn)，故排除C，D故選：A二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】先求出函數(shù)的定義域，再利用求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法求解即得.【詳解】依題意，由得：或，即函數(shù)的定義域是，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，于是得在是單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：14、【解析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可得的最小值.【詳解】如圖，在同一直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)和的圖象，因?yàn)閷?duì)，，故函數(shù)的圖象如圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.故答案為：.15、30°【解析】∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC(或其補(bǔ)角).∵OC?平面BB′C′C，AB⊥平面BB′C′C，∴OC⊥AB.又OC⊥OB，AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又AO?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，，∴∠OAC＝30°.即AO與A′C′所成角度數(shù)為30°.點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角16、【解析】由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)判斷得在上單調(diào)遞減，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間邊界值建立不等式即可求解.【詳解】由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)可得，在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為所以，即故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）第年；（2）第年.【解析】（1）構(gòu)造二次函數(shù)模型，由二次函數(shù)解得結(jié)果；（2）由（1）知年平均利潤(rùn)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性，驗(yàn)證可知，由此可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)每臺(tái)充電樁在第年年末的利潤(rùn)為，則，令，解得：，又，，，每臺(tái)充電樁從第年年末開(kāi)始獲利；【小問(wèn)2詳解】設(shè)為每臺(tái)充電樁在第年年末的年平均利潤(rùn)，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，，每臺(tái)充電樁在第年年末時(shí)，年平均利潤(rùn)最大.18、（1）-1；（2）；（3）【解析】（1）根據(jù)偶函數(shù)解得：m=-1，再用定義法進(jìn)行證明；（2）記，判斷出在上單增，列不等式組求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）先判斷出在R上單增且，令，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩根，令，，利用圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，列不等式求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)镽.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，解得：m=-1.此時(shí)，所以所以偶函數(shù)，所以m=-1.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，不等式可化為：，即對(duì)任意恒成立.記，只需.因?yàn)樵谏蠁卧?，在上單增，所以在上單增，所以，所以，解得：，即?shí)數(shù)a的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，在R上單增，在R上單增，所以在R上單增且.則可化為.又因?yàn)樵赗上單增，所以，換底得：，即.令，則，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩根，即，令，，分別作出圖像如圖所示：只需，解得：.即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解19、（1）（–5，–4）（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意寫(xiě)出關(guān)于的方程組，得到點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由兩點(diǎn)間距離公式求出，再由兩點(diǎn)得到直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出點(diǎn)到的距離，由三角形面積公式得到答案.【詳解】（1）由題意，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC的中點(diǎn)N在x軸上，根據(jù)中點(diǎn)公式，可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是（2）因?yàn)?，得，所以直線的方程為，即，故點(diǎn)到直線的距離，所以的面積【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于簡(jiǎn)單題.20、(1)見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）該四棱錐的俯視圖為邊長(zhǎng)為6cm的正方形（內(nèi)含對(duì)角線），如圖，即可得出面積(2)設(shè)法證明面即可；（3）由側(cè)視圖可求得即為四棱錐外接球的直徑試題解析：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對(duì)角線)，邊長(zhǎng)為6的正方形，如圖，其面積為36.(2)證明：因?yàn)榈酌?，底面，所以，由底面為正方形，所?，面，面，所以面，面，所以（3）由側(cè)視圖可求得由正視圖可知，所以在Rt△中，.所以四棱錐外接球直徑為.21、（1），定義域（2），的最大面積為【解析】（1）由題意可得，再由可求出的取值范圍，（2）設(shè)，在直角三角形ADP中利用勾股定理可得，從而可求得，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，矩形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，所以，因?yàn)椋裕獾茫?，定義域?yàn)椤拘?wèn)2詳解】因?yàn)锳BCD是矩形，所以有，因?yàn)槭茄卣燮鹚茫杂?，，因此有，，所以≌，因此，設(shè)．而ABCD是矩形，所以，因此在直角三角形ADP中，