概率分布在測試中的應(yīng)用

在QA的日常測試中，有時會遇到概率事件，比如某卡片的抽中概率，某類寶物的掉落概率都需要被測試，但是具體要怎樣測試？測試多少次？出現(xiàn)什么結(jié)果表示測試通過？我一直沒有找到一個明確的答案，帶著這個疑問，我進(jìn)行了一些資料搜索和思考，下面把我的經(jīng)驗分享給大家。

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二項分布

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二項分布在游戲中使用的很多，比如抽卡系統(tǒng)，一般策劃會設(shè)定抽到xx卡的概率是多少，這個進(jìn)行n次抽卡，抽到幾張xx卡的概率分布函數(shù)就是二項分布。根據(jù)定義可知，在二項分布中，n次試驗中正好得到k次成功的概率由概率質(zhì)量函數(shù)給出：

"那么怎么測試這張卡被抽中的概率呢？這里看一個例子，下圖分別是概率為0.1的事件在10,100,500和1000次的事件中的出現(xiàn)次數(shù)的概率分布。"

可以看到隨著試驗次數(shù)的增多，中間的峰越窄，事件發(fā)生的次數(shù)越向真實概率集中，可以預(yù)見的，我們測試抽卡次數(shù)越多，所得到xx卡的數(shù)量就越接近于它的本身概率。

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那么在測試中，如何判斷所得的結(jié)果是正確的呢？這里需要用到統(tǒng)計學(xué)中假設(shè)檢驗的方法。

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通俗的說，假設(shè)檢驗大致可以理解為：小概率事件不會發(fā)生，如果發(fā)生了小概率事件，那就否定之前的假設(shè)。

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關(guān)于統(tǒng)計學(xué)還有兩點(diǎn)額外信息，

第一：小概率可以取5%或者1%，5%在統(tǒng)計學(xué)中被認(rèn)為是顯著的，1%在統(tǒng)計學(xué)中被認(rèn)為是非常顯著的。

第二：假設(shè)檢驗只能證偽，而不能證明假設(shè)。

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把以上的想法應(yīng)用到概率測試中，我有如下思路：

和上圖展示的一樣，每個概率分布的主體都應(yīng)該相互隔開，可以采取5%或者1%的顯著性水平，5%就是左右兩邊各有2.5%的概率越過精度間隔，1%就是0.5%的概率越過，相鄰兩個概率分布的間隔就是測試的精度。

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舉個例子，比如一個事件A，結(jié)果B發(fā)生的概率是0.5，我進(jìn)行了500次事件A的測試，發(fā)現(xiàn)B一共發(fā)生了235次，我對概率測試的精度要求是0.1。這些數(shù)據(jù)說明了什么呢？

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首先，理論上概率是0.5，精度要求是0.1，那么0.45-0.55的實際測試概率都是可以接受的，一共進(jìn)行了500次測試，對應(yīng)到B發(fā)生的次數(shù)就是500*0.45-500*0.55，也就是225次到275次之間，而實際B發(fā)生了235次，在這個區(qū)間內(nèi)。

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其次，在0.1的精度下，也就是225次和275次時，我們來看概率是0.4或者0.6的可能性有多大：

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">x<-pbinom(225,500,0.4)"

>print(x)

[1]0.9897285

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">x<-pbinom(275,500,0.6)"

>print(x)

[1]0.01300643

可以看到，假設(shè)事件B發(fā)生的概率是0.4，那么實際測試時，B的次數(shù)有98.97%的概率小于等于225次，我們實際得到的是235次，在統(tǒng)計學(xué)的假設(shè)檢驗中，此為小概率事件，就證否了之前的假設(shè)：事件B實際發(fā)生的概率是0.4。以此類推，我們可以證否所有事件B發(fā)生概率小于0.4的假設(shè)。

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同理，假設(shè)事件B發(fā)生的概率是0.6，那么它有1.3%的可能在實際測試時B發(fā)生的次數(shù)小于等于275，而我們現(xiàn)在得到的數(shù)據(jù)是235，這同樣證否了所有事件B發(fā)生概率大于等于0.6的假設(shè)。

"由于我們設(shè)定的精度為0.1（表示實際概率可以取值為0.1,0.2,0.3…0.9,1），所以得出結(jié)論：事件B發(fā)生的概率是0.5，符合理論，測試通過！"

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以上就是我關(guān)于概率測試的經(jīng)驗，由于在實際測試中，概率的數(shù)值和精度的需求不定，而二項分布在不同概率和不同測試次數(shù)下曲線都不一樣，我這里有一些快捷的竅門可以提供給大家：

1.

在顯著性水平為5%的情況下，精度為0.1的概率事件測試400次，而精度為0.01的概率事件測試40000次

2.

在顯著性水平為1%的情況下，精度為0.1的概率事件測試700次，而精度為0.01的概率事件測試70000次

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最后，附上一些不同測試次數(shù)和精度下的概率分布圖，幫助大家直觀的了解二項分布：

"精度0.1下100,500和1000次試驗二項分布概率分布圖"

"精度0.01下5000,10000和50000次試驗二項分布概率分布圖

"

泊松分布

泊松分布對應(yīng)的是二項分布的極端情況，當(dāng)二項式分布的次數(shù)n很大，而發(fā)生的概率p很小時，就可以使用泊松分布代替二項式分布，具體來說，它的成立需要滿足三個條件

事件是小概率事件

事件是獨(dú)立的，不會互相影響

事件發(fā)生的概率是穩(wěn)定的

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先來看一個例子：

已知某家小雜貨店，平均每周售出2個水果罐頭。請問該店水果罐頭的最佳庫存量是多少？

假定不存在季節(jié)因素，可以近似認(rèn)為，這個問題滿足以下三個條件：

（1）每個顧客購買水果罐頭是小概率事件（顧客的數(shù)量很多）。

（2）購買水果罐頭的顧客是獨(dú)立的，不會互相影響。

（3）顧客購買水果罐頭的概率是穩(wěn)定的。

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"在統(tǒng)計學(xué)上，只要某類事件滿足上面三個條件，它就服從""泊松分布""。"

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泊松分布的公式如下：

各個參數(shù)的含義：

P：每周銷售k個罐頭的概率。

X：水果罐頭的銷售變量。

k：X的取值（0，1，2，3...）。

λ：每周水果罐頭的平均銷售量，是一個常數(shù)，本題為2。

根據(jù)公式，計算得到每周銷量分布：

從上表可見，如果存貨4個罐頭，95%的概率不會缺貨（平均每19周發(fā)生一次）；如果存貨5個罐頭，98%的概率不會缺貨（平均59周發(fā)生一次）。

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對應(yīng)到游戲測試中，有什么應(yīng)用呢？

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已知某珍惜道具，平均每周掉出2個，請問該在每周掉出多少個時設(shè)置報警？看到這里，是不是立馬就得出了答案？因為游戲中，玩家的行為是未知的，就算知道了道具掉落的概率，也很難在實際中計算玩家得到道具的概率，這個時候，只使用平均每周掉出2個這一項數(shù)據(jù)，就可以根據(jù)泊松分布計算出概率分布，從而確定掉落大于多少時是小概率事件。

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再舉個例子，在項目進(jìn)入開發(fā)后期后，已知在游戲測試中，平均每周會有兩次crash，那么，當(dāng)本周crash次數(shù)達(dá)到多少時，應(yīng)該引起QA對本周周版本質(zhì)量的重視呢？

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泊松分布在游戲開發(fā)中的應(yīng)用還可以有很多，我在這里拋磚引玉，相信大家只要理解了它的概念，就能輕易的找到它的應(yīng)用場景。

指數(shù)分布

指數(shù)分布在游戲中也會有存在，來看一個網(wǎng)上的例子：

在某游戲抽卡系統(tǒng)中，策劃填了設(shè)置紫卡被抽中的概率是5%，策劃說，設(shè)置5%是為了給玩家抽卡20次就抽中一次的體驗。但是游戲上線后，許多玩家在抽卡時抱怨臉黑，很難抽到紫卡，而又有一部分玩家反應(yīng)運(yùn)氣好能連著抽到紫卡，和策劃20次中一次的預(yù)期不符。項目組第一反應(yīng)是游戲中出現(xiàn)了bug，但是一直排查不到，這時，程序靈機(jī)一動，寫了一個模擬抽卡的程序，并畫出了圖，也就是下圖，下圖為概率5%，模擬50000次隨機(jī)得到的結(jié)果：

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上圖中紅色的是分布圖，X軸是出現(xiàn)次數(shù)，Y軸是抽中紫卡間隔。而綠色的圖是概率分布圖，X軸是間隔數(shù)，Y軸是概率。

按策劃的想法，5%概率應(yīng)該等同于20次出現(xiàn)一次，那上圖很明顯并不滿足20次出現(xiàn)一次出現(xiàn)規(guī)則，實際間隔從近到遠(yuǎn)呈下坡形狀分布，就是說相鄰的概率最大，間隔最大超過160，這與玩家所吐槽的抽卡體驗是一致的。但50000次隨機(jī)總共出現(xiàn)了2508次，從統(tǒng)計的意義上來說又是符合5%概率的。

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所以這個問題，究其原因就是所謂的概率是統(tǒng)計意義上的還是分布意義上的問題。這里，就需要介紹另一個分布：指數(shù)分布。

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指數(shù)分布是固定概率事件的出現(xiàn)間隔的概率分布，應(yīng)用到抽卡中，就是兩次抽中xx卡之間間隔抽卡次數(shù)的分布。它的公式網(wǎng)