雙曲線專練-2024屆高三數(shù)學一輪復習

雙曲線1.已知雙曲線（，）的一條漸近線的方程為，左焦點在直線上，A，B分別是左、右頂點，點P為右支上位于第一象限的動點，直線PA，PB的斜率分別為，，則的取值范圍為()A. B. C. D.2.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N兩點，O為坐標原點.若點M是線段的中點，且，則()A.1 B. C.2 D.3.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作一條漸近線的平行線，且與另一條漸近線交于點P，連接.若，則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.4.雙曲線(，)的左、右焦點分別為，.過作其中一條漸近線的垂線，垂足為P.已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為()A. B. C. D.5.設O為坐標原點，，為雙曲線的左、右焦點，經(jīng)過原點O的直線與雙曲線交于P，Q兩點，且，則四邊形的面積為()A. B. C. D.6.已知雙曲線的左焦點為，直線與雙曲線C交于P，Q兩點，且，，則當取得最小值時，雙曲線C的離心率為()A.3 B. C.2 D.7.已知，是雙曲線（，）的左，右焦點，點P在E上，D是線段上的點，若，，，則當面積最大時，雙曲線E的方程是()A. B.C. D.8.雙曲線的下焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，若過A，B和點的圓的圓心在x軸上，則直線l的斜率為()A. B. C. D.9.（多選）已知雙曲線C過點且漸近線方程為，則下列結論正確的是()A.雙曲線C的方程為B.雙曲線C的離心率為C.曲線經(jīng)過雙曲線C的一個焦點D.焦點到漸近線的距離為110.（多選）已知，是雙曲線的左右焦點，過的斜率存在且不為0的直線l與雙曲線交于A，B兩點，P是AB的中點，O為坐標原點，則下列說法正確的是()A.雙曲線的漸近線方程為 B.雙曲線的焦距為C.若，則或9 D.OP與AB的斜率滿足11.（多選）已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若，則()A.B.雙曲線的離心率C.雙曲線的漸近線方程為D.原點O在以為圓心，為半徑的圓上12.（多選）已知雙曲線的左，右頂點分別為A，B，左，右焦點分別為，，點P是雙曲線C的右支上一點，且三角形為正三角形(O為坐標原點)，記PA，PB的斜率分別為，，設I為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，則下列說法正確的是()A. B.雙曲線C的離心率為C. D.13.已知雙曲線，(，)的兩個焦點分別為，，過x軸上方的焦點的直線與雙曲線上支交于M，N兩點，以為直徑的圓經(jīng)過點M，若，，成等差數(shù)列，則該雙曲線的漸近線方程為__________.14.已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，過的直線與圓相切，且與雙曲線的左支交于x軸上方的一點P，當時，直線的斜率為__________.15.設雙曲線的右焦點為，點A滿足，點P、Q在雙曲線上，且.若直線PQ，PF的斜率之積為，則雙曲線的離心率為_________.16.已知雙曲線的離心率，點，分別是它的下焦點和上焦點，若P為該雙曲線上支上的一個動點，則與P到一條漸近線的距離之和的最小值為________.17.已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，離心率為，點，且的面積為.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）直線交x軸于點B，與雙曲線C的左、右兩支分別交于點E，F(xiàn)（不同于點A），記直線AE，AF分別與直線交于點M，N，證明：B是MN的中點.18.已知雙曲線的右頂點為A，右焦點為F，點F到E的一條漸近線的距離為，動直線l與E在第一象限內(nèi)交于B，C兩點，連接AB，AC.（1）求E的方程；（2）若，證明：動直線l過定點.19.設A，B為雙曲線（，）的左、右頂點，直線l過右焦點F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點，當直線l垂直于x軸時，為等腰直角三角形.（1）求雙曲線C的離心率；（2）已知，若直線AM，AN分別交直線于P，Q兩點，若為x軸上的動點，當直線l的傾斜角變化時，若為銳角，求t的取值范圍.20.已知雙曲線的右焦點為F，過點F的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.(1)若直線AB的斜率為1，求線段AB的中點坐標；(2)若點，在雙曲線C的右支上，且，，，過點P且斜率為的直線與過點Q且斜率為的直線交于線段AB上一點M，且，求實數(shù)的值.

答案以及解析1.答案：D解析：由雙曲線的一條漸近線方程為，得，在中，令，得，故左焦點為，則，結合得，，故，，設，，，則，因為P在第一象限，故，，則，顯然，故等號不成立，即.故選D.2.答案：D解析：易知OM是的中位線，所以，由，得，從而是等腰三角形，，又，所以，即漸近線的傾斜角為，因此.故選D.3.答案：A解析：由條件知，，.不妨設過點且與一條漸近線平行的直線的方程為.聯(lián)立得方程組解得即，所以，.因為，所以，解得.所以雙曲線C的離心率.故選A.4.答案：D解析：通解：不妨取漸近線，此時直線的方程為，與聯(lián)立并解得，即.因為直線與漸近線垂直，所以的長度即為點到直線(即)的距離，由點到直線的距離公式得，所以.因為，，且直線的斜率為，所以，化簡得，又，，所以，整理得，即，解得.所以雙曲線的方程為，故選D.優(yōu)解：因為過點向其中一條漸近線作垂線，垂足為P，且，所以，再結合選項，排除選項B，C；若雙曲線方程為，則，，漸近線方程為，不妨取漸近線，則直線的方程為，與漸近線方程聯(lián)立，得，則，又直線的斜率為，所以雙曲線方程不符合題意，排除A，故選D.5.答案：D解析：由雙曲線的對稱性，不妨設P在右支上，則有，又，可得，，又，所以，由于，進而，又與的面積相等，故四邊形的面積為.故選D.6.答案：D解析：不妨設P位于第一象限，雙曲線C的右焦點為，連接，，O為中點，四邊形為平行四邊形，，；設，，則，由得：，解得：；在中，，，（當且僅當時取等號），當取得最小值時，雙曲線C的離心率.故選：D.7.答案：C解析：如圖所示，（已知條件集中在和中，且和互補，考慮在兩個三角形內(nèi)用余弦定理求解）設，，，，則，，在中，由余弦定理得①，在中，由余弦定理得②，得③，（兩角互補，余弦值互為相反數(shù)，通過兩式相加化簡）在中，由余弦定理得④，③④聯(lián)立消去x得，因為，所以當面積最大時，mn最大，由基本不等式可得，當且僅當，即，時等號成立，mn取得最大值，為24.此時由④解得，所以，在雙曲線中有解得所以雙曲線E的方程為.故選C.8.答案：B解析：由題意可知：，設，，AB的中點為P，過點A，B，M的圓的圓心坐標為，則，由題意知：直線AB的斜率存在且不為0，設直線AB的方程為：，聯(lián)立方程組，消元可得：，則，，由韋達定理可得：，，解法一：所以AB的中點P的坐標，則，由圓的性質可知：圓心與弦中點連線的斜率垂直于弦所在的直線，所以，整理可得：，則圓心到直線AB的距離，由弦長公式可得：，由垂徑定理可得：，也即，將（*）代入可得：，即，整理可得：，則，因為，所以，則.解法二：由，化簡得，又，所以，同理，所以，是方程的兩個根，所以，又，所以，所以所以，則.故選：.9.答案：ACD解析：設雙曲線C的方程為，將點代入可得①，因為漸近線方程為，所以②.由①②解得，，故雙曲線的方程為，A正確；由A可知，，，所以離心率，B錯誤；雙曲線的焦點坐標為，其中滿足，C正確；焦點到漸近線的距離為，D正確.故選ACD.10.答案：BD解析：根據(jù)題意可得，，則，，則，，則對于A，雙曲線的漸近線方程為，即，故錯誤；對于B，雙曲線的焦距為，故正確；對于C，由雙曲線的定義可得，且，則或又因為，故應該舍去，所以，故C錯誤；對于D，設，，則將A，B坐標代入雙曲線方程可得，兩式相減作差可得變形可得，即，且，，所以，故正確.故選：BD11.答案：ABC解析：設，則.由雙曲線的定義知，即，，即，，，故A中說法正確；在中，，則在中，，化簡并整理，得，離心率，故B中說法正確；雙曲線的漸近線方程為，故C中說法正確；若原點O在以為圓心，為半徑的圓上，則，即，與不符，故D中說法錯誤.故選ABC.12.答案：ABD解析：因為為正三角形，所以所以，所以故A正確將P點坐標代入雙曲線方程可得即即即即設()，則解之得：或(舍)所以，所以故B正確故C錯誤設的內(nèi)切圓半徑為r，則，，所以，即，故D正確故選：ABD13.答案：解析：由雙曲線的定義，，，，，令，在中，，，，，，，又在中，，，又，，，.14.答案：解析：設直線與圓相切于點D，連接DO，過點作于E，則，，，由點P位于雙曲線的左支，可得，在等腰中，，則，，即，解得或（舍），故，則直線的斜率為.15.答案：解析：如圖，取P，Q的中點為M，連接OM，PF，則由題意可得，，，所以，相似，所以，因為直線PQ，PF的斜率之積為，所以，設，，則，且，兩式相減可得，即，即，即，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.16.答案：5解析：雙曲線的離心率所以，解得，所以，雙曲線，由，的雙曲線的漸近線方程為由為該雙曲線上支上的一個動點，根據(jù)雙曲線的定義可得：所以，設點P到漸近線的距離為d則，過作漸近線的垂線，垂足為M，如圖.所以所以同理與到漸近線的距離之和的最小值為5故答案為：517.答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）由題知解得雙曲線C的標準方程為.（2）證明：將代入，可得.設，，則，，則，.直線AE的方程為，令，得；直線AF的方程為，令，得.，，，即B是MN的中點.18.答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）由題可得，雙曲線E為等軸雙曲線，故其一條漸近線方程為，，則點F到E的一條漸近線的距離，所以，所以E的方程為.（2）證明：根據(jù)題意，直線l的斜率一定存在，所以設直線，，，由（1）可得，，因為動直線l與E在第一象限內(nèi)交于B，C兩點，所以.聯(lián)立消去y整理得，則，由根與系數(shù)的關系得，，.由斜率定義得，，.因為，所以，化簡得，，即，變形得，，①將，代入①整理可得，，②將，代入②得，，化簡得，，即，解得或.當時，直線，此時直線l過點，不符合題意；當時，直線，此時直線l過點.綜上，動直線l過定點.19.答案：（1）2（2）或解析：（1）易知右焦點，將代入，得，當直線l垂直于x軸時，為等腰直角三角形，此時，即，整理得，因為，所以，方程兩邊同除以得，解得或（舍去），所以雙曲線C的離心率為2.（2）因為，所以，因為，所以，故，所以雙曲線的方程為.當直線l的斜率存在時，設其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，消y得，設，，則，，則，因為直線l過右焦點F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點，所以，，解得，直線，則，同理可求得，所以，，因為為銳角，所以，即，所以，所以，即，解得或.當直線l的斜率不存在時，將代入雙曲線方程可得，此時不妨設，，此時直線，點P