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湖北小池濱江高級中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末檢測試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.設(shè)函數(shù),則下列結(jié)論錯誤的是()A.的一個周期為B.的圖像關(guān)于直線對稱C.的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱D.在有3個零點(diǎn)2.在長方體中,,,則直線與平面所成角的正弦值為()A. B.C. D.3.當(dāng)時,若,則的值為A. B.C. D.4.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于A2 B.4C.6 D.85.函數(shù)的大致圖像為()A. B.C. D.6.已知定義在R上的函數(shù)滿足,且當(dāng)]時,,則()A.B.C.D.7.函數(shù)在上的部分圖象如圖所示,則的值為A. B.C. D.8.已知直線x+3y+n=0在x軸上的截距為-3,則實數(shù)n的值為()A. B.C. D.9.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.C. D.10.已知二次函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是()A.或 B.C.或 D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知,若,則__________.12.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是__________.13.若,則______.14.已知函數(shù)則_______.15.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)______16.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,其中有這樣一個問題:“今有宛田,下周三十步,徑十六步.問為田幾何?”其意思為:“有一塊扇形的田,弧長為30步,其所在圓的直徑為16步,問這塊田的面積是多少平方步?”該問題的答案為___________平方步.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.為保護(hù)環(huán)境,污水進(jìn)入河流前都要進(jìn)行凈化處理.我市工業(yè)園區(qū)某工廠的污水先排入凈化池,然后加入凈化劑進(jìn)行凈化處理.根據(jù)實驗得出,在一定范圍內(nèi),每放入1個單位的凈化劑,在污水中釋放的濃度y(單位:毫克/立方米)隨著時間x(單位:小時)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為.若多次加進(jìn)凈化劑,則某一時刻凈化劑在污水中釋放的濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.由實驗知,當(dāng)凈化劑在污水中釋放的濃度不低于4(毫克/立方米)時,它才能起到凈化污水的作用.(1)若投放1個單位的凈化劑4小時后,求凈化劑在污水中釋放的濃度;(2)若一次投放4個單位的凈化劑并起到凈化污水的作用,則凈化時間約達(dá)幾小時?(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):,)(3)若第一次投放1個單位的凈化劑,3小時后再投放2個單位的凈化劑,設(shè)第二次投放t小時后污水中凈化劑濃度為(毫克/立方米),其中,求的表達(dá)式和濃度的最小值.18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,為單位圓上一點(diǎn),射線OA繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)B,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y關(guān)于的函數(shù)為.(1)求函數(shù)的解析式,并求;(2)若,求的值.19.進(jìn)入六月,青海湖特有物種湟魚自湖中逆流而上,進(jìn)行產(chǎn)卵.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)湟魚的游速可以表示為函數(shù),單位是,是表示魚的耗氧量的單位數(shù)(1)當(dāng)一條湟魚的耗氧量是500個單位時,求它的游速是多少?(2)某條湟魚想把游速提高,求它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍?20.已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實數(shù)a的值;(2)求的值.21.如圖,在同一平面上,已知等腰直角三角形紙片的腰長為3,正方形紙片的邊長為1,其中B、C、D三點(diǎn)在同一水平線上依次排列.把正方形紙片向左平移a個單位,.設(shè)兩張紙片重疊部分的面積為S.(1)求關(guān)于a的函數(shù)解析式;(2)若,求a的值.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】利用輔助角公式化簡,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷即可【詳解】,對A,最小周期為,故也為周期,故A正確;對B,當(dāng)時,為的對稱軸,故B正確;對C,當(dāng)時,,又為的對稱點(diǎn),故C正確;對D,則,解得,故在內(nèi)有共四個零點(diǎn),故D錯誤故選:D2、D【解析】如圖,連接交于點(diǎn),連接,則結(jié)合已知條件可證得為直線與平面所成角,然后根據(jù)已知數(shù)據(jù)在求解即可【詳解】解:如圖,連接交于點(diǎn),連接,因為長方體中,,所以四邊形為正方形,所以,,所以,因為平面,所以,因為,所以平面,所以為直線與平面所成角,因為,,所以,在中,,所以直線與平面所成角的正弦值為,故選:D【點(diǎn)睛】此題考查線面角的求法,考查空間想象能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題3、A【解析】分析:首先根據(jù)題中所給的角的范圍,求得相應(yīng)的角的范圍,結(jié)合題中所給的角的三角函數(shù)值,結(jié)合角的范圍,利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式,求得相應(yīng)的三角函數(shù)值,之后應(yīng)用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)商關(guān)系,求得結(jié)果.詳解:因為,所以,所以,因為,所以,所以,所以,所以答案是,故選A.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)三角恒等變換問題,涉及到的知識點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式中的平方關(guān)系和商關(guān)系,以及誘導(dǎo)公式求得結(jié)果.4、D【解析】由于函數(shù)與函數(shù)均關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,結(jié)合圖形以點(diǎn)為中心兩函數(shù)共有個交點(diǎn),則有,同理有,所以所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為.故正確答案為D.考點(diǎn):1.函數(shù)的對稱性;2.數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用.5、D【解析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性,以及的值,結(jié)合排除法可得出合適的選項.【詳解】對任意的,,則函數(shù)的定義域為,排除C選項;,,所以,函數(shù)為偶函數(shù),排除B選項,因為,排除A選項.故選:D.6、A【解析】由,可得的周期為,利用周期性和單調(diào)性化簡計算即可得出結(jié)果.【詳解】因為,所以的周期為當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減因為,且所以故故選:A.7、C【解析】由圖象最值和周期可求得和,代入可求得,從而得到函數(shù)解析式,代入可求得結(jié)果.【詳解】由圖象可得:,代入可得:本題正確選項:【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的求解,關(guān)鍵是能夠根據(jù)正弦函數(shù)的圖象求解出函數(shù)的解析式.8、B【解析】根據(jù)題意,分析可得點(diǎn)(﹣3,0)在直線x+3y+n=0上,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程,計算可得答案【詳解】根據(jù)題意,直線x+3y+n=0在x軸上的截距為﹣3,則點(diǎn)(﹣3,0)在直線x+3y+n=0上,即(﹣3)×+n=0,解可得:n=3;故選B【點(diǎn)睛】本題考查直線的一般式方程以及截距的計算,關(guān)鍵是掌握直線一般方程的形式,屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】先求出函數(shù)的定義域,然后將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外函數(shù),分別討論內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則,得到函數(shù)y=log3(x2-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】函數(shù)y=log5(x2-2x)的定義域為(-∞,0)∪(2,+∞),令t=x2-2x,則y=log5t,∵y=log5t為增函數(shù),t=x2-2x在(-∞,0)上為減函數(shù),在(2,+∞)為增函數(shù),∴函數(shù)y=log5(x2-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞),故選B【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)的性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,其中復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”是解答本題的關(guān)鍵10、A【解析】根據(jù)開口方向和對稱軸及二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+1的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍即可.【詳解】根據(jù)題意二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+1開口向上,單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間,因此當(dāng)二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在區(qū)間(2,3)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)時a≤2,當(dāng)二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在區(qū)間(2,3)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)時a≥3,綜上可得a≤2或a≥3.故選:A.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】由已知先求得,再求得,代入可得所需求的函數(shù)值.【詳解】由已知得,即,所以,而,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)求值中的給值求值問題,關(guān)鍵在于由已知的函數(shù)值求得其數(shù)量關(guān)系,代入所需求的函數(shù)解析式中,可得其值,屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】按a值對函數(shù)進(jìn)行分類討論,再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】當(dāng)時,函數(shù)在R上單調(diào)遞增,即在上遞增,則,當(dāng)時,函數(shù)是二次函數(shù),又在上單調(diào)遞增,由二次函數(shù)性質(zhì)知,,則有,解得,所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為:13、【解析】根據(jù)指對互化,指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出【詳解】由得,即,解得故答案為:14、【解析】根據(jù)分段函數(shù)解析式,由內(nèi)而外,逐步計算,即可得出結(jié)果.【詳解】∵,,則∴.故答案為:.15、3【解析】利用冪函數(shù)的定義先求出其解析式,進(jìn)而得出答案【詳解】設(shè)冪函數(shù)為常數(shù),冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),,解得故答案為3【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義,正確理解冪函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵16、120【解析】利用扇形的面積公式求解.【詳解】由題意得:扇形弧長為30,半徑為8,所以扇形的面積為:,故答案為:120三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)6毫克/立方米(2)7.1(3),;的最小值為12毫克/立方米【解析】(1)由函數(shù)解析式,將代入即可得解;(2)分和兩種情況討論,根據(jù)題意列出不等式,從而可得出答案;(3)根據(jù)題意寫出函數(shù)的解析式,再根據(jù)基本不等式即可求得最小值.【小問1詳解】解:由,當(dāng)時,,所以若投放1個單位的凈化劑4小時后,凈化劑在污水中釋放的濃度為6毫克/立方米;【小問2詳解】解:因為凈化劑在污水中釋放的濃度不低于4(毫克/立方米)時,它才能起到凈化污水的作用,當(dāng)時,令,得恒成立,所以當(dāng)時,起到凈化污水的作用,當(dāng)時,令,得,則,所以,綜上所述當(dāng)時,起到凈化污水的作用,所以若一次投放4個單位的凈化劑并起到凈化污水的作用,則凈化時間約達(dá)7.1小時;【小問3詳解】解:因為第一次投入1個單位的凈化劑,3小時后再投入2個單位凈化劑,要計算的是第二次投放t小時后污水中凈化劑濃度為,所以,,因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,所以,,當(dāng)時,取最小值12毫克/立方米.18、(1),;(2).【解析】(1)由三角函數(shù)的定義得到,進(jìn)而代入計算;(2)由已知得,將所求利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化即得.【詳解】解:(1)因為,所以,由三角函數(shù)定義,得.所以.(2)因為,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)性質(zhì),誘導(dǎo)公式.考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力.考查轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.已知求時要將已知中角作為整體不分離,觀察所求中的角與已知中的角的關(guān)系,利用誘導(dǎo)公式直接轉(zhuǎn)化是化簡求值的常見類型.19、(1)約為1.17m/s;(2)4.【解析】(1)將代入函數(shù)解析式解得即可;(2)根據(jù)現(xiàn)在和以前的游速之差為1列出等式,進(jìn)而解得即可.【小問1詳解】由題意,游速為.【小問2詳解】設(shè)原來和現(xiàn)在耗氧量的單位數(shù)分別為,所以,所以耗氧量的單位數(shù)是原來的4倍.20、(1
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