四川省南充市閬中中學(xué)校高三一模數(shù)學(xué)（文）試題

閬中中學(xué)校高2021級(jí)2023年秋一模數(shù)學(xué)試題（文）（滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題.（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合B的描述，及集合A中元素，應(yīng)用交運(yùn)算寫出.【詳解】對(duì)于集合B，由時(shí)，由時(shí)．此外的取值都不在集合A內(nèi)，均不滿足交集結(jié)果．所以.故選：D2.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】由，得，則，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限．故選：A．3.已知，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由可得，即，故，故選：B4.已知，且，則的值是A.20 B. C. D.400【答案】B【解析】【詳解】由，得，化簡(jiǎn)得有，所以.故選B.5.推動(dòng)小流域綜合治理提質(zhì)增效，推進(jìn)生態(tài)清潔小流域建設(shè)是助力鄉(xiāng)村振興和建設(shè)美麗中國(guó)的重要途徑之一．某鄉(xiāng)村落實(shí)該舉措后因地制宜，發(fā)展旅游業(yè)，預(yù)計(jì)2023年平均每戶將增加4000元收入，以后每年度平均每戶較上一年增長(zhǎng)的收入是在前一年每戶增長(zhǎng)收入的基礎(chǔ)上以10%的增速增長(zhǎng)的，則該鄉(xiāng)村每年度平均每戶較上一年增加的收入開始超過12000元的年份大約是（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A.2033年 B.2034年 C.2035年 D.2036年【答案】C【解析】【分析】設(shè)經(jīng)過n年之后，每年度平均每戶收入增加y元，且，解不等式可得答案．【詳解】設(shè)經(jīng)過n年之后，每年度平均每戶收入增加y元，由題得，即，則，，又，則．所以所求年份大約是2035年．故選：C.6.如圖所示的程序框圖的輸出結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)行程序，根據(jù)裂項(xiàng)求和法求得正確答案.【詳解】運(yùn)行程序，，判斷否，，，判斷否，，……以此類推，，判斷是，輸出.故選：C7.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為2，且成等差數(shù)列，則（）A.62 B.93 C.96 D.64【答案】B【解析】【分析】利用給定條件求出，進(jìn)而求出，再利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】等比數(shù)列的公比為2，由成等差數(shù)列，得，即，解得，所以．故選：B8.已知，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦二倍角公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算．詳解】由題意，，所以，故選：A．9.數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，得到數(shù)列為周期數(shù)列，然后根據(jù)周期性求.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，，，，則是以4為周期的周期函數(shù)，所以，故選：C.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到偶函數(shù)的圖象，則正實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題圖可知，周期，則，所以，又點(diǎn)在的圖象上，求出，得到函數(shù)解析式，利用平移規(guī)律得的解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得到答案．【詳解】由題圖可知，周期，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以＝－2，所以，得，因?yàn)椋?，，所以，是偶函?shù)，，，則當(dāng)時(shí)，正實(shí)數(shù)取最小值.故選：C11.數(shù)列滿足（），則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求，再由已知仿寫作差得到，驗(yàn)證是否符合，最后再用等差數(shù)列的求和公式求解.【詳解】由，，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，顯然滿足上式，因此，所以.故選：A12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則（）A.23 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件求出函數(shù)的周期，再根據(jù)函數(shù)的周期性求值即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以，，令，則，所以，，所以，，則，所以的周期，因?yàn)?，所以，，，，所以．故選：C．二、填空題.（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量滿足，的夾角為，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式直接代入求解即可.【詳解】，故答案為：.14.已知數(shù)列中，，若是遞減數(shù)列，則的取值范圍________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)是遞減數(shù)列得出恒成立，再求出最小值即可得出的范圍.【詳解】∵數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，∴當(dāng)時(shí)，，∴，即，由于數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞增，因此其最小值為3，∴,綜上可得：的取值范圍是.故答案為：.15.已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為2，且頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出大致圖像，確定球心在的延長(zhǎng)線上，再結(jié)合幾何關(guān)系和勾股定理進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖設(shè)底面的中心為，連接，則球心在直線上，

由幾何關(guān)系可知，，先將三角形轉(zhuǎn)化成平面三角形，如圖：因?yàn)?，由勾股定理可得，設(shè)球心為，則在的延長(zhǎng)線上，且，則，由勾股定理可得，即，解得，所以球體的表面積．故答案為：．16.已知，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，設(shè)，數(shù)形結(jié)合可知的范圍，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.【詳解】作函數(shù)圖象，如圖，設(shè)，則，，又，，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，，即實(shí)數(shù)取值范圍是故答案為：三、解答題.（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）利用關(guān)系及等比數(shù)列定義求通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求基本量，即得的通項(xiàng)公式；（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，,，兩式相減得，即，所以是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，故.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得，又，所以，解得，故.【小問2詳解】令，由（1）知，則，①，②①—②，得，所以.18.已知向量，，函數(shù).（1）若，求的值；（2）已知為銳角三角形，，，為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線定理可得，再利用二倍角的余弦公式，結(jié)合齊次式的應(yīng)用可得解；（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式可得，進(jìn)而可得，再利用正弦定理和面積公式可將三角形面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域問題，確定自變量范圍，即可得解.【小問1詳解】，，則；；【小問2詳解】，又，所以，，得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，則故，即面積的取值范圍為.19.正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求四面體的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，，則與交于點(diǎn)，由正四棱錐的性質(zhì)得到，平面，則，即可得證；（2）首先求出，再由為上靠近的三等分點(diǎn)，得到，所以.【小問1詳解】在正四棱錐中為底面中心，連接，，則與交于點(diǎn)，且，平面，平面，所以，又，平面，所以平面.【小問2詳解】因?yàn)?，，所以，又為上靠近的三等分點(diǎn)，所以，則.20.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，記的面積為，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于，，的方程即可求解；（2）設(shè)直線方程（有兩種方法，一種設(shè)；另一種設(shè)），與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及基本不等式即可求出面積的最大值.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，則，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，解得，從而，.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】易知點(diǎn)在的外部，則直線的斜率存在且不為0，設(shè)，，，聯(lián)立方程組消去得，由得，由根與系數(shù)的關(guān)系知所以，化簡(jiǎn)得.設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以的面積令，得，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)闈M足，所以的最大值為.評(píng)分細(xì)則：第二問另解：（2）設(shè)，，，聯(lián)立方程組，消去得.由得，由根與系數(shù)的關(guān)系知.所以，化簡(jiǎn)得設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以的面積.令，得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)闈M足，所以的最大值為.21.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；（2）若在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】21.0；22..【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)式進(jìn)行兩次求導(dǎo)分析即得；（2）對(duì)于含參數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)問題，常常考慮運(yùn)用分析討論法，即對(duì)導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行分類逐個(gè)分析，找到符合題意的情況即得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，，令，，，則在上是增函數(shù)，則>0，所以，即在上是增函數(shù)，則.【小問2詳解】，，，令，，，（1）當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)，則，①若，易得，則在上是減函數(shù)，，不合題意；②若，因，，則根據(jù)零點(diǎn)存在定理，必，使，即，變化時(shí)，，的變化情況如下表：0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減則，故要使函數(shù)在上存在零點(diǎn)，需使，即；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上是增函數(shù)，，不合題意；（3）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，則在上是增函數(shù)，，不合題意，綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）分析討論法：對(duì)含參函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論，逐個(gè)判斷求得；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，曲線與直線交于，兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1），（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)曲線的參數(shù)方程與直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程即可；（2）根據(jù)題意寫出直線的參數(shù)方程，再將其代入曲線的普通方程中，化簡(jiǎn)后，利用參數(shù)的幾何意義即可求解．【小問1詳解】由，得，代入，得，所以曲線的普通方程為，由，得，即，所以直線的直角坐標(biāo)方程為．【小問2詳解】由點(diǎn)在直線上，則設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入中，得，設(shè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)