機械控制工程之頻率特性的分析

機械控制工程之頻率特性的分析第四章頻率特性分析：重點研究過渡過程，通過階躍或脈沖輸入下系統(tǒng)的瞬態(tài)時間響應來研究系統(tǒng)的性能。頻域分析：通過系統(tǒng)在不同頻率ω的諧波（正弦）輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應來研究系統(tǒng)的性能。頻率特性的基本概念及與傳遞函數(shù)的關(guān)系本章介紹的內(nèi)容頻率特性的表示方法極坐標圖（Nyquist圖）對數(shù)坐標圖（Bode圖）頻率特性的特征量最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)一、頻率特性概述（1）頻率響應：系統(tǒng)對諧波輸入的穩(wěn)態(tài)響應

頻率響應與頻率特性若輸入諧波信號為xi(t)=Xisin

t

則例1有一階系統(tǒng)瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量輸入:xi(t)=Xisinωt

同頻率幅值ω的非線性函數(shù)(揭示了系統(tǒng)的頻率響應特性)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量：結(jié)果表明：相位（2）頻率特性：對系統(tǒng)頻率響應特性的描述幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入諧波的幅值比，即相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入諧波的相位差

(

)

記為:A(

)·

(

)或A(

)·ej

(

)

指數(shù)表示法2.頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系

一般系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:輸入信號為xi(t)=Xisin

t即則若無重極點,則有故若系統(tǒng)穩(wěn)定,則有求B與B*,

結(jié)果則系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為：系統(tǒng)的頻率特性記為G(j

)=

G(j

)

ej

G(j

)所以歐拉方程3.頻率特性的求法

(1)根據(jù)頻率響應來求：首先輸入正弦信號，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出，根據(jù)頻率特性的定義寫出頻率特性。

(2)根據(jù)傳遞函數(shù)來求：將傳遞函數(shù)中的s換為jω來求。(3)實驗方法

(1)根據(jù)頻率響應來求：例（1）

例1中，穩(wěn)態(tài)輸出（頻率響應）則系統(tǒng)的頻率特性為或(2)傳遞函數(shù)→頻率特性

即頻率響應例1中，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)4.頻率特性的表示法

(1)解析表示

(2)圖示方法

幅頻—相頻幅頻特性相頻特性實頻—虛頻實頻特性虛頻特性Nyquist圖（極坐標圖，幅相頻率特性圖）Bode圖（對數(shù)坐標圖，對數(shù)頻率特性圖）二、頻率特性的圖示方法在工程分析和設(shè)計中，為了直觀、方便，通常把頻率特性畫成一條曲線，在曲線上進行研究。常用的頻率特性圖示方法有2種：極坐標圖、對數(shù)坐標圖。頻率特性的極坐標又稱Nyquist圖，也稱幅相頻率特性圖。

給定

，G(j)可以用一矢量或其端點（坐標來表示），矢量的長度為其幅值G(j

)，與正實軸的夾角為其相角

(

)

，在實軸和虛軸上的投影分別為實部和虛部，相角

(

)的符號規(guī)定為從正實軸開式，逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負。

當

從0∞時，G(j

)端點的軌跡為頻率特性的極坐標圖，或稱Nyquist圖。Nyquist圖表示方法1.根據(jù)傳遞函數(shù)求G(j)。2.由G(j

)求時頻特性、虛頻特性和幅頻特性、相頻特性3.求若干個特征點，（起點、終點、與實軸的交點以及所處的象限。）繪Nyquist圖步驟1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(1)比例環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=K

頻率特性：G(j

)=K

幅頻：

G(j

)

＝Ｋ相頻：

G(j

)=0o

實頻：

U(

)=K

虛頻：V(

)=0

實軸上的一定點，其坐標為(K,j0)

1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(2)積分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=1/s頻率特性：G(j

)=1/j=-(1/

)

j幅頻：

G(j

)

＝1/

相頻：

G(j

)=－90o

實頻：

U(

)=0

虛頻：V(

)=－1/

虛軸的下半軸，由無窮遠點指向原點1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(3)微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=s頻率特性：G(j

)=j

幅頻：

G(j

)

＝

相頻：

G(j

)=90o

實頻：

U(

)=0

虛頻：V(

)=

虛軸的上半軸，由原點指向無窮遠點1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(4)慣性環(huán)節(jié)

當

＝0時，

G(j

)

=K，

G(j

)=0o當

=1/T時，

G(j

)=-45o當

＝

時，

G(j

)

=0，

G(j

)=-90o傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻：相頻：

G(j

)=－arctgT

實頻：虛頻：當ω從0

時，其Nyquist圖為正實軸下的一個半圓，圓心為(K/2,j0)，半徑為K/2。1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(5)一階微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=1+Ts始于點(1,j0)，平行于虛軸頻率特性：G(j

)=1+jT

幅頻：相頻：

G(j

)=arctgT

實頻：

U(

)=1

虛頻：V(

)=T

1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(6)振蕩環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻：相頻：實頻：虛頻：當

=0，即＝0時，

G(j

)

=1，G(j

)=0o；當=1，即＝

n時，

G(j

)=1/(2ξ)，G(j

)=－90o；當=

，即

＝

時，

G(j

)

=0，G(j

)=－180o；

（令λ=

/

n），1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(6)振蕩環(huán)節(jié)

當ω從0(即

由0)時，G(j)的幅值由10，其相位由0o-180o。其Nyquist圖始于點(1,j0)，而終于點(0,j0)。曲線與虛軸的交點的頻率就是無阻尼固有頻率n，此時的幅值為1/(2ξ)

ξ<0.707時，

G(j

)

在頻率為

r處出現(xiàn)峰值(諧振峰值，r－諧振頻率)由有顯然

r<d<n（有阻尼固有頻率）1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(7)延時環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=e

s

頻率特性：G(j

)=e

j

=cos－jsin

幅頻：

G(j

)

＝1

相頻：

G(j

)=－

實頻：

U(

)=cos

虛頻：V(

)=－sin

Nyquist圖：單位圓例1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解系統(tǒng)的頻率特性

＝0，U()=－KT，V()=－，

G(j

)

=

，

G(j

)=－90ｏ

＝

，U()=0，V()=0，

G(j

)

=0，G(j

)=－180ｏ幅頻：相頻：

G(j

)=－90ｏ－arctgT實頻：虛頻：積分環(huán)節(jié)改變了起始點（低頻段）

＝0，U()=－，V()=

，

G(j

)

=

，

G(j

)=－180ｏ

＝

，U()=0，V()=0，

G(j

)

=0，G(j

)=－360ｏ例2系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解系統(tǒng)的頻率特性幅頻：相頻：

G(j

)=－180ｏ－arctgT1－arctgT2

實頻：虛頻：U()=03.

Nyquist圖的一般形狀

當ω＝０時： 對0型系統(tǒng)，

G(j

)

=K，G(j

)=0ｏ，Nyquist曲線的起始點是一個在正實軸上有有限值的點； 對Ⅰ型系統(tǒng)，G(j

)

=∞，G(j

)=－90ｏ，在低頻段，Nyquist曲線漸近于與負虛軸平行的直線； 對Ⅱ型系統(tǒng)，G(j

)

=∞，G(j

)=－180ｏ，在低頻段，G(j)負實部是比虛部階數(shù)更高的無窮大。當ω＝∞時，G(j

)

=0，G(j

)=(m-n)×90ｏ。當G(s)包含有導前環(huán)節(jié)時，若由于相位非單調(diào)下降，則Nyquist曲線將發(fā)生“彎曲”。

三、頻率特性的對數(shù)坐標圖(Bode圖)Bode圖幅頻特性圖和相頻特性圖①對數(shù)幅頻特性圖橫坐標：ω，對數(shù)分度，標注真值；幾何上的等分→真值的等比dec(10倍頻程）②對數(shù)相頻特性圖橫坐標：同上縱坐標：∠G(j

)

，線性分度；特別：dB=0，

G(j

)=1，輸出幅值=輸入幅值dB>0，

G(j

)>1，輸出幅值>輸入幅值(放大）dB<0，

G(j

)<1，輸出幅值<輸入幅值(衰減）縱坐標：

G(j

)

的分貝值（dB)，dB=20lg

G(j

)

；線性分度；Bode圖優(yōu)點

作圖簡單：①化乘除為加減，系統(tǒng)的Bode圖為各環(huán)節(jié)的Bode圖的線性疊加；②可通過近似方法作圖；便于細化感興趣的頻段；物理意義明顯；環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響明顯；2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖(1)比例環(huán)節(jié)

G(s)=KG(j

)=K

20lg

G(j

)

＝20lgＫ；

G(j

)=0o(2)積分環(huán)節(jié)G(s)=1/sG(j

)=1/j

20lg

G(j

)

＝20lg1/

=－20lg

G(j

)=－90o

對數(shù)幅頻特性：過點（1，0）斜率－20dB/dec的直線對數(shù)相頻特性：過點（0，－90o

）平行于橫軸的直線2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖(3)微分環(huán)節(jié)G(s)=sG(j

)=j

20lg

G(j

)

＝20lg

G(j

)=90o

對數(shù)幅頻特性：過點（1，0）斜率20dB/dec的直線對數(shù)相頻特性：過點（0，90o

）平行于橫軸的直線2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖始于點（ωT，0)，斜率－20dB/dec的直線(4)慣性環(huán)節(jié)令：故：對數(shù)幅頻特性：低頻段（ω<<ωT），20lg

G(j

)

20lg

T－20lgT＝0dB

高頻段（ω>>ωT），20lg

G(j

)

20lg

T－20lgωT:轉(zhuǎn)角頻率低頻段漸近線：20lg

G(j

)

0dB

誤差：高頻段漸近線：20lg

G(j

)

20lg

T－20lg誤差：

=0，G(j

)=0°；

=

T，G(j

)=－45°；

=，G(j

)=－90°；對數(shù)相頻特性曲線對稱于點(T，－45°)

≤0.1T時，G(j

)

0°

≥10T時，G(j

)90°

對數(shù)相頻特性：由：2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖始于點（ωT，0)，斜率20dB/dec的直線對數(shù)幅頻特性：低頻段（ω<<ωT），20lg

G(j

)

20lg

T－20lgT＝0dB

高頻段（ω>>ωT），20lg

G(j

)

20lg－20lg

T故：ωT:轉(zhuǎn)角頻率(5)一階微分環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性：

=0，G(j

)=0°；=

T，G(j

)=45°；=，G(j

)=90°；對數(shù)相頻特性曲線對稱于點(T，45°)2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖低頻段（ω<<ωn；λ≈0），20lg

G(j

)

0dB（0dB線）高頻段（ω>>ωn；λ>>1），20lg

G(j

)

－40lgλ=－40lg＋40lg

n（始于點（ωn，0)，斜率－40dB/dec的直線）(6)振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性：ωn:轉(zhuǎn)角頻率2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖(6)振蕩環(huán)節(jié)誤差：低頻段高頻段對數(shù)相頻特性：

=0，G(j

)=0°；

=

n，G(j

)=－90°；

=，G(j

)=－180°；對數(shù)相頻特性曲線對稱于點(n，－90°)2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖(7)二階微分環(huán)節(jié)

與二階振蕩系統(tǒng)Bode圖對稱于頻率軸。(8)延時環(huán)節(jié)G(s)=e

sG(j

)=e

j

G(j

)

＝1

G(j

)=－

20lgG(j

)

＝0dB因?qū)?shù)分度，直線→曲線3.系統(tǒng)Bode圖的繪制G(s)→標準形（常數(shù)項為1）→G(j

)

求典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率（慣性、一階微分、振蕩和二階微分環(huán)節(jié)）作出各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的漸近線誤差修正（必要時）將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加(不包括系統(tǒng)總的增益K)將疊加后的曲線垂直移動20lgK，得到系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性作各環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性，然后疊加而得到系統(tǒng)總的對數(shù)相頻特性有延時環(huán)節(jié)時，對數(shù)幅頻特性不變，對數(shù)相頻特性則應加上－(1)環(huán)節(jié)曲線疊加法3.系統(tǒng)Bode圖的繪制例(1)環(huán)節(jié)曲線疊加法G(s)→標準形→G(j

)轉(zhuǎn)角頻率ωT1=0.4ωT2=40ωT3=2各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的漸近線，疊加，平移各環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，疊加3.系統(tǒng)Bode圖的繪制(2)順序斜率法在各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率處，系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化，其變化量等于相應的環(huán)節(jié)在其轉(zhuǎn)角頻率處斜率的變化量（即其高頻漸近線的斜率）。當G(j)包含振蕩環(huán)節(jié)或二階微分環(huán)節(jié)時，不改變上述結(jié)論。

系統(tǒng)在低頻段的頻率特性為因此，其對數(shù)幅頻特性在低頻段表現(xiàn)為過點(1,20lgK)，斜率為－20dB/dec的直線根據(jù)上述特點，可以直接繪制系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性3.系統(tǒng)Bode圖的繪制(2)順序斜率法G(s)→標準形（常數(shù)項為1）→G(j

)

；確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，并由小到大將其順序標在橫坐標軸上；過點(1,20lgK)，作斜率為－20dB/dec的直線；延長該直線，并且每遇到一個轉(zhuǎn)角頻率便改變一次斜率，其原則是：如遇慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率則斜率增加-20dB/dec；遇一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，斜率增加+20dB/dec；如遇振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，斜率增加-40dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)則增加+40dB/dec。如果需要，可根據(jù)誤差修正曲線對漸近線進行修正，其辦法是在同一頻率處將各環(huán)節(jié)誤差值迭加，即可得到精確的對數(shù)幅頻特性曲線。

四、閉環(huán)頻率特性與頻域特征量閉環(huán)頻率特性四、閉環(huán)頻率特性與頻域特征量系統(tǒng)頻域特征量（頻域性能指標）零頻值A(chǔ)(0)復現(xiàn)頻率ωM與復現(xiàn)帶寬0～ωM諧振頻率ωr與相對諧振峰值Mr截止頻率ωb與截止帶寬0～ωb帶寬越大，響應的快速性越好0.707五、最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)：所有零點和極點均在[s]平面的左半平面與非最小相位系統(tǒng)相比：幅頻特性相同，但前者的相位變化范圍最小例（非最小相位系統(tǒng)）（最小相位系統(tǒng)）六、系統(tǒng)傳遞函數(shù)的實驗確定法頻率特性實驗測試給定頻率ω=1/T，有根據(jù)實驗得到的各個頻率下的幅值比和相位差，就可作出頻率特性實驗曲線。頻率特性實驗曲線→對數(shù)幅頻特性漸近線在對數(shù)幅頻特性圖上，用斜率為0，±20，±40，±60dB/dec的漸近線由低頻段到高頻段逐段逼近實驗曲線，得到對數(shù)幅頻特性漸近線系統(tǒng)在低頻段的頻率特性為(1)確定K和ν其對數(shù)幅頻特性點(1,20lgK)，斜率為－20dB/dec的直線（與零分貝線交點處的頻率為）由此可確定K和ν(2)確定系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)找出對數(shù)幅頻特性圖上的轉(zhuǎn)角頻率，并根據(jù)各轉(zhuǎn)角頻率處斜率的變化確定各組成環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線→傳遞函數(shù)（初步估計，最小相位形式）非最小相位修正六、系統(tǒng)傳遞函數(shù)的實驗確定法例1由低到高確定轉(zhuǎn)折頻率和相應典型環(huán)節(jié)ω1=1；ω2=2；ω3=8確定增益K。作低頻段的延長線交0dB線于