2017年高考數(shù)學(xué)考前回扣教材2 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

回扣2函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1．函數(shù)的定義域和值域(1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍；②若已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f[g(x)]的定義域?yàn)椴坏仁絘≤g(x)≤b的解集；反之，已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)楹瘮?shù)y＝g(x)(x∈[a，b])的值域；③在實(shí)際問題中應(yīng)使實(shí)際問題有意義．(2)常見函數(shù)的值域①一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的值域?yàn)镽；②二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：a>0時(shí)，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，a<0時(shí)，值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))；③反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域?yàn)閧y∈R|y≠0}．2．函數(shù)的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))．(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期．3．關(guān)于函數(shù)周期性、對(duì)稱性的結(jié)論(1)函數(shù)的周期性①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)為周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期．②設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期．③設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，4a是它的一個(gè)周期．(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱性①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱．③若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．4．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域上的局部性質(zhì)．①單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．②若函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性．5．函數(shù)圖象的基本變換(1)平移變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(h>0，右移),\s\do5(h<0，左移))y＝f(x－h(huán))，y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(k>0，上移),\s\do5(k<0，下移))y＝f(x)＋k.(2)伸縮變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(0<ω<1，伸),\s\do5(ω>1，縮))y＝f(ωx)，y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(0<A<1，縮),\s\do5(A>1，伸))y＝Af(x)．(3)對(duì)稱變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(x軸))y＝－f(x)，y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(y軸))y＝f(－x)，y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(原點(diǎn)))y＝－f(－x)．6．準(zhǔn)確記憶指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)定點(diǎn)：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過(0,1)點(diǎn)；y＝logax(a>0，且a≠1)恒過(1,0)點(diǎn)．(2)單調(diào)性：當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax在R上單調(diào)遞增；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝ax在R上單調(diào)遞減；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．7．函數(shù)與方程(1)零點(diǎn)定義：x0為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)?f(x0)＝0?(x0,0)為f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)．(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的三種常用方法①解方程判定法：即解方程f(x)＝0.②零點(diǎn)定理法：根據(jù)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)滿足f(a)f(b)<0，判斷函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)．③數(shù)形結(jié)合法：尤其是方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同時(shí)多用此法求解．8．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)f′(x0)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上．9．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：①求函數(shù)f(x)的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；③由f′(x)>0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由f′(x)<0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間．(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍：①若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，則I是其單調(diào)區(qū)間的子集．10．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值(1)求函數(shù)的極值的一般步驟：①確定函數(shù)的定義域；②解方程f′(x)＝0；③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側(cè)的符號(hào)變化：若左正右負(fù)，則x0為極大值點(diǎn)；若左負(fù)右正，則x0為極小值點(diǎn)；若不變號(hào)，則x0不是極值點(diǎn)．(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②比較函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)的大小，最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．1．解決函數(shù)問題時(shí)要注意函數(shù)的定義域，要樹立定義域優(yōu)先原則．2．解決分段函數(shù)問題時(shí)，要注意與解析式對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍．3．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“∪”和“或”連接，可用“及”連接或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替．4．判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響．5．準(zhǔn)確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)．如函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的單調(diào)性忽視字母a的取值討論，忽視ax>0；對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件．6．易混淆函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，不能把函數(shù)零點(diǎn)、方程的解、不等式解集的端點(diǎn)值進(jìn)行準(zhǔn)確互化．7．已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)，則f′(x)≥0(≤0)對(duì)?x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”號(hào)，且需驗(yàn)證“＝”不能恒成立；而已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a，b)，則f′(x)＞0(＜0)的解集為(a，b)．8．f′(x)＝0的解不一定是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．一定要檢驗(yàn)在x＝x0的兩側(cè)f′(x)的符號(hào)是否發(fā)生變化，若變化，則為極值點(diǎn)；若不變化，則不是極值點(diǎn)．1．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2，x≤0，,2x－4，x>0，))則f[f(1)]等于()A．－10B．10C．－2D．2答案C解析由f[f(1)]＝f(21－4)＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝－2，故選C.2．若函數(shù)f(x)＝x2－eq\f(1,2)lnx＋1在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[1，eq\f(3,2))C．[1,2) D．[eq\f(3,2)，2)答案B解析因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，y′＝2x－eq\f(1,2x)，由f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,2).利用圖象可得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1<\f(1,2)<k＋1，,k－1≥0，))解得1≤k<eq\f(3,2)，故選B.3．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x>7))單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(eq\f(9,4)，3) B．[eq\f(9,4)，3)C．(1,3) D．(2,3)答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x>7))單調(diào)遞增，所以1<a<3且由f(7)<f(8)得，7(3－a)－3<a2，解得a<－9或a>2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)，故選D.4．函數(shù)y＝eq\f(x·2x,|x|)的圖象大致形狀是()答案A解析y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,－2x，x<0，))y＝2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且y＝2x＞0，排除B，D；又y＝－2x在(－∞，0)上單調(diào)遞減，排除C.5．(2016·課標(biāo)全國甲)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lgx的定義域和值域相同的是()A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝eq\f(1,\r(x))答案D解析函數(shù)y＝10lgx的定義域?yàn)閧x|x>0}，值域?yàn)閧y|y>0}，所以與其定義域和值域分別相同的函數(shù)為y＝eq\f(1,\r(x))，故選D.6．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且f(－1)＝2，則f(2017)的值是()A．2B．0C．－1D．－2答案D解析由題意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)是以T＝4的周期函數(shù)，所以f(2017)＝f(1)＝－f(－1)＝－2，故選D.7．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))x－log3x，若x0是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，且0＜x1＜x0，則f(x1)的值()A．恒為正值 B．等于0C．恒為負(fù)值 D．不大于0答案A解析由題意知f(x)為(0，＋∞)上的減函數(shù)，又f(x0)＝0，x1＜x0，∴f(x1)＞f(x0)＝0，故選A.8．設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則()A．a(chǎn)>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b答案D解析易知log23>1，log32，log52∈(0,1)．在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝log3x與y＝log5x的圖象，觀察可知log32>log52.所以c>a>b.比較a，b的其他解法：log32>log3eq\r(3)＝eq\f(1,2)，log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)，得a>b；0<log23<log25，所以eq\f(1,log23)>eq\f(1,log25)，結(jié)合換底公式得log32>log52，即a＞b.9．若函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇－2,2]，則函數(shù)y＝f(2x)·ln(x＋1)的定義域?yàn)開_______．答案(－1,1]解析由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤2x≤2，,x＋1>0，))∴－1<x≤1，即函數(shù)y＝f(2x)·ln(x＋1)的定義域?yàn)?－1,1]．10．(2016·天津)已知函數(shù)f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(0)的值為________．答案3解析因?yàn)閒(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.11．設(shè)奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)，滿足對(duì)任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈[0，eq\f(1,2)]時(shí)f(x)＝－x2，則f(3)＋f(－eq\f(3,2))的值等于________．答案－eq\f(1,4)解析由于y＝f(x)為奇函數(shù)，根據(jù)對(duì)任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，可得f(－t)＝f(1＋t)，所以函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)周期為2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f(－eq\f(3,2))＝f(eq\f(1,2))＝－eq\f(1,4)，∴f(3)＋f(－eq\f(3,2))＝－eq\f(1,4).12．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極小值10，則a＋b的值為________．答案－7解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝3＋2a＋b＝0，,f1＝1＋a＋b＋a2＝10，))解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3，經(jīng)驗(yàn)證，a＝4，b＝－11符合題意，故a＋b＝－7.13．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1,ex)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋eq\f(1,ex)，存在實(shí)數(shù)x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．解(1)∵函數(shù)的定義域?yàn)镽，f′(x