第十章無窮級數(shù)小結(jié)

斂散性：

級數(shù)的基本性質(zhì)(四則運(yùn)算法則)且結(jié)論:級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.

性質(zhì)設(shè)兩收斂級數(shù)?￥==1nnas?￥==s1nnb2,,則級數(shù)?￥=±1)(nnnba收斂,其和為s±s.注意結(jié)論：在級數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散性.注意收斂級數(shù)去括號后所成的級數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散性質(zhì)5級數(shù)收斂的必要條件:注意2.必要條件而非充分條件.1.（逆否命題）如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;常用來證明級數(shù)發(fā)散正項(xiàng)級數(shù)審斂法1.2.比較判別法：3.比較法極限形式：注意:交錯級數(shù)：注意：此方法只能判別是否收斂，不能用于判斷發(fā)散絕對收斂：條件收斂：注意:結(jié)論：級數(shù)逐項(xiàng)取絕對值后收斂，原級數(shù)收斂關(guān)系：補(bǔ)充定理如果任意項(xiàng)級數(shù)滿足條件定理（Dirichelet判別法）定理（Abel判別法）

若（1）為單調(diào)有界數(shù)列，

提示:

由定義在區(qū)間I上的函數(shù)列{un(x)}所構(gòu)成的表達(dá)式

u1(x)

u2(x)

u3(x)

un(x)

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級數(shù)=u1(x)

u2(x)

u3(x)

un(x)

,

x

I.收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)提示:

對于每一個確定的值x0

I,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)成為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)

u1(x0)

u2(x0)

u3(x0)

un(x0)

,這個常數(shù)項(xiàng)級數(shù)或者收斂或者發(fā)散.

使函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的點(diǎn)x0稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂點(diǎn);使函數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散的點(diǎn)x0稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的發(fā)散點(diǎn).

收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域,發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域.

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和

和函數(shù)的定義域就是級數(shù)的收斂域.

在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x),它稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的和函數(shù),并寫成s(x)=∑un(x).

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x),即

sn(x)=u1(x)

u2(x)

u3(x)

un(x).

在收斂域上有sn(x)

s(x)(n

).

注:函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的余項(xiàng)

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的余項(xiàng)記為rn(x),它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差:rn(x)

s(x)

sn(x).

在收斂域上有rn(x)0(n

).

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和

和函數(shù)的定義域就是級數(shù)的收斂域.

在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x),它稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的和函數(shù),并寫成s(x)=∑un(x).

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x),即

sn(x)=u1(x)

u2(x)

u3(x)

un(x).

在收斂域上有sn(x)

s(x)(n

).

定義2

則稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù)列來確定命題1：一致收斂性充分條件：命題2：不一致收斂性充分條件：命題3：不一致收斂的極限形式：定理2(一致收斂的柯西準(zhǔn)則)

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件為:對任

,存在正整數(shù)給的正數(shù)，使當(dāng)

對一切

和或

定理中當(dāng)p=1時,得到函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的一個必要條件（定理1）:一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的通項(xiàng)在收斂域上一致趨于零。函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂判別法定理3（強(qiáng)級數(shù)判別法(Weierstrass)判別法）一致收斂性簡便的判別法：定理4

（狄利克雷判別法）設(shè)⑴∑un(x)

的部分和函數(shù)列在I

上一致有界；⑵對每一個x∈I

，{Sn(x)}是單調(diào)的；⑶{vn(x)}在I

上一致收斂于0，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)vn(x)在數(shù)集I上一致收斂．

定理5

（阿貝爾判別法）設(shè)⑴∑un(x)在區(qū)間I上一致收斂；⑵對每一個x∈I

，{vn(x)}是單調(diào)的；⑶{vn(x)}在

I上一致有界，即存在M>0,

使得對任何x∈I

，

|vn(x)|≤M,n=1,2,...則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)vn(x)在數(shù)集I

上一致收斂．

一致收斂函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)

定理（連續(xù)性）若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)在[a,b]上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其和函數(shù)在[a,b]上也連續(xù)．注意：1.和函數(shù)的連續(xù)性是連續(xù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的必要條件。2.在定理的條件下，求和運(yùn)算與求極限運(yùn)算可以交換順序，即

推論設(shè)X是一區(qū)間（開，閉，或半開半閉），若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)在X上連續(xù)，但其和函數(shù)在X上不連續(xù)．則級數(shù)在X上不一致收斂

注意：推論是定理6的逆否命題。判別函數(shù)項(xiàng)級數(shù)不一致收斂的充分條件。定理7(逐項(xiàng)求積）定理8(逐項(xiàng)求導(dǎo)）此時正數(shù)

R

稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?（－R，R）稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)域＝收斂區(qū)間＋收斂的區(qū)間端點(diǎn)定理2，3

冪級數(shù)的性質(zhì)則在(

R,R)與(

R

,R

)中較小的區(qū)間內(nèi)有加法：減法：乘法：

a0

b0

(a0

b1

a1

b0)x

(a0

b2

a1

b1

a2

b0)x2

···

(a0

bn

a1

bn

1

···

an

b0)xn

···冪級數(shù)的運(yùn)算：定理4冪級數(shù)的一致收斂性（冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的內(nèi)閉一致性）且收斂半徑仍為R.

且收斂半徑仍為R.

注意：若函數(shù)能展開成冪級數(shù)，則其系數(shù)唯一。定理2稱為n階余項(xiàng).微分型余項(xiàng)關(guān)于余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng)柯西型余項(xiàng)函數(shù)

f(x)

展開成冪級數(shù)的具體步驟：2.寫出冪級數(shù)，并求其收斂域

D.如果是,則

f(x)在

D上可展開成泰勒級數(shù)

二、函數(shù)展開成冪級數(shù)

展開方法直接展開法—利用泰勒公式或麥克勞林公式間接展開法—根據(jù)展開式的唯一性,利用已知展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開式.需記住的幾個冪級數(shù)注意：收斂域方法1：方法2：利用已有的展開式－－間接展開1.函數(shù)的冪級數(shù)展開:2.求冪級數(shù)的和函數(shù)：方法：利用四則運(yùn)算、求導(dǎo)、積分和已有展開式3.求收斂域方法：求收斂半徑，從而得收斂區(qū)間，將區(qū)間兩個端點(diǎn)代入，判斷所得常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性關(guān)于冪級數(shù)的題型：1.若在處收斂,則此級數(shù)在

(A)條件收斂,(B)絕對