高等量子力學(xué)-基本原理-2要點(diǎn)課件

一、量子力學(xué)的建立二、量子力學(xué)基本原理三、量子力學(xué)的理論方法四、量子力學(xué)的應(yīng)用

高等量子力學(xué)

二、量子力學(xué)基本原理§1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋原理§4力學(xué)量用厄米算符表示§2態(tài)疊加原理§5體系狀態(tài)波函數(shù)可用算符的本征函數(shù)展開§3體系狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程§7全同性原理§6不確定度關(guān)系§4力學(xué)量用厄米算符表示

經(jīng)典力學(xué)中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)總用坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量、自旋、動(dòng)能、勢(shì)能、轉(zhuǎn)動(dòng)能等力學(xué)量描述。量子力學(xué)引入了波函數(shù)這樣一個(gè)基本概念，以概率的特征全面地描述了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。但并不能作為量子力學(xué)中的力學(xué)量。于是，又引入了一個(gè)重要的基本概念——算符，用它表示量子力學(xué)中的力學(xué)量。

什么是算符?算符代表對(duì)波函數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算或變換的符號(hào)1）du/dx=v

，

d/dx

就是算符，其作用是對(duì)函數(shù)u微商，故稱為微商算符。2）xu=v，

x

也是算符。它對(duì)u作用是使u變成v。由于算符只是一種運(yùn)算符號(hào)，所以它單獨(dú)存在是沒(méi)有意義的，僅當(dāng)它作用于波函數(shù)上，對(duì)波函數(shù)做相應(yīng)的運(yùn)算才有意義，例如：u=v表示

把函數(shù)u

變成

v，

就是這種變換的算符。（一）算符的定義與構(gòu)造Ex.動(dòng)能算符角動(dòng)量算符

若量子力學(xué)中的力學(xué)量

在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示該力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示中將動(dòng)量換成動(dòng)量算符而得出。

構(gòu)造力學(xué)量算符的規(guī)則：

（1）以上所述力學(xué)量算符規(guī)則是對(duì)坐標(biāo)表象而言；對(duì)于動(dòng)量表象，表示力學(xué)量F的算符是將經(jīng)典表示中的坐標(biāo)變量換成坐標(biāo)算符（2）對(duì)于只在量子理論中才有，而在經(jīng)典力學(xué)中沒(méi)有的力學(xué)量，其算符如何構(gòu)造的問(wèn)題另外討論。即

注意力學(xué)量算符坐標(biāo)表象動(dòng)量表象坐標(biāo)算符動(dòng)量算符力學(xué)量算符其中(二）算符的本征方程、本征值與本征函數(shù)算符作用在函數(shù)上，等于一常數(shù)乘以此稱為算符的本征方程即

稱為其本征值，為其本征函數(shù)。

如果算符描述力學(xué)量，那么當(dāng)體系處于的本征態(tài)中時(shí)，力學(xué)量

有確定值，這個(gè)值就是屬于該本征態(tài)的本征值。

該假設(shè)給出了表示力學(xué)量的算符與該力學(xué)量的關(guān)系

算符?之厄密共軛算符?+定義:可以證明:(?

?)+=?+

?+

(?

??...)+=...?+

?+

?+（1）復(fù)共軛算符與厄密共軛算符算符?的復(fù)共軛算符?*就是把?表達(dá)式中的所有量換成復(fù)共軛.例如:坐標(biāo)表象中可以證明：(三)厄密算符(2)厄密算符1.定義:滿足下列關(guān)系的算符稱為厄密算符.2.性質(zhì)性質(zhì)I:兩個(gè)厄密算符之和仍是厄密算符。即若?+=?,?+=?則(?+?)+=?++?+=(?+?)性質(zhì)II:兩個(gè)厄密算符之積一般不是厄密算符,除非二算符對(duì)易。

因?yàn)?/p>

(??)+=?+?+=??≠??僅當(dāng)[?,?]=0成立時(shí),(??)+=??才成立。設(shè)為厄米算符，其本征方程（實(shí)數(shù)）證:性質(zhì)III:厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)例例量子力學(xué)基本假定量子力學(xué)中的力學(xué)量用線性厄密算符表示。

若力學(xué)量是量子力學(xué)中特有的(如宇稱、自旋等），將由量子力學(xué)本身定義給出。

若力學(xué)量在經(jīng)典力學(xué)中有對(duì)應(yīng)的量,則在直角坐標(biāo)系下通過(guò)如下對(duì)應(yīng)方式，改造為量子力學(xué)中的力學(xué)量算符：波函數(shù)完全描述了體系狀態(tài)若體系的狀態(tài)已知，則體系的可以測(cè)量的力學(xué)量的可能測(cè)得值的相應(yīng)的概率就完全確定了。在這個(gè)意義上講，波函數(shù)完全描述了體系狀態(tài)?！?體系狀態(tài)波函數(shù)可用算符的本征函數(shù)展開表示力學(xué)量的算符必須是線性厄密算符，而且有完備的本征函數(shù)系。一些基本表達(dá)式分立譜和連續(xù)譜同時(shí)存在6不確定度關(guān)系設(shè)二厄密算符對(duì)易關(guān)系為：有：其中：均方偏差兩力學(xué)量算符對(duì)易則同時(shí)有確定值；若不對(duì)易，一般來(lái)說(shuō)，不存在共同本征函數(shù)，不同時(shí)具有確定值。問(wèn)題：兩個(gè)不對(duì)易算符所對(duì)應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？不確定度關(guān)系海森堡的不確定原理于1927年3月23日發(fā)表在《物理學(xué)雜志》上坐標(biāo)和動(dòng)量的不確定度關(guān)系隨后海森堡又發(fā)現(xiàn)了能量與時(shí)間的不確定度關(guān)系求和中所包含的力學(xué)量本征值Fn都有可能出現(xiàn),出現(xiàn)的概率為一個(gè)粒子處于力學(xué)量的本征態(tài)態(tài)下測(cè)量該力學(xué)量時(shí),所得結(jié)果是完全確定的,即為但如粒子處于非本征態(tài)即很多本征值Fn的本征態(tài)的疊加,測(cè)量粒子的力學(xué)量時(shí),本征態(tài),當(dāng)測(cè)量結(jié)果為某個(gè)本征值Fn時(shí),粒子的狀態(tài)就變?yōu)橄鄳?yīng)的量子力學(xué)稱之為量子態(tài)坍縮(collapse)力學(xué)量測(cè)量問(wèn)題以觀察電子為例：在我們觀測(cè)電子以前，電子實(shí)際上處于一種疊加態(tài)，所有關(guān)于位置的可能性疊合在一起，彌漫到整個(gè)空間中，但當(dāng)我們?cè)噲D測(cè)量電子的位置的時(shí)候，它被迫做出選擇，在無(wú)數(shù)可能性中挑選一種，以一個(gè)確定的位置出現(xiàn)在我們面前。兩個(gè)力學(xué)量的同時(shí)測(cè)量在經(jīng)典力學(xué)中，要測(cè)量?jī)蓚€(gè)力學(xué)量，我們可以先測(cè)其中一個(gè)，如對(duì)F和G的測(cè)量，我們可以先測(cè)F，然后測(cè)G。但在量子力學(xué)中，一般來(lái)說(shuō)是不可能的。因?yàn)樵诮?jīng)典力學(xué)中，測(cè)量的影響可以無(wú)限減小。經(jīng)過(guò)測(cè)量，狀態(tài)沒(méi)有明顯改變。但在量子力學(xué)中，測(cè)量將引起狀態(tài)的突變。測(cè)量F,將使變成F的某一本征態(tài)Φn,然后測(cè)量G，又將Φn變?yōu)镚的某一本征態(tài)Ψn。因此，一般來(lái)說(shuō)，第二次測(cè)量將破壞第一次所測(cè)得結(jié)果。然而，當(dāng)F和G可以對(duì)易時(shí)，做第二次測(cè)量，即將Φn按G的本征態(tài)Ψn展開，它將不會(huì)改變狀態(tài)已經(jīng)具有的Fn值，同樣，先測(cè)量G，隨后測(cè)量F，也不會(huì)改變狀態(tài)已有的Gn。因此，僅當(dāng)F和G對(duì)易時(shí)，前后兩次測(cè)量才互不干擾?！?全同性原理固有性質(zhì)相同的粒子稱為全同粒子1.全同粒子

固有性質(zhì)指的是：質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、宇稱、壽命等

例：電子、質(zhì)子、中子、超子、重子、輕子、微子……同類核原子、分子……(一)全同粒子體系交換對(duì)稱性全同粒子的重要特點(diǎn)：在同樣的物理?xiàng)l件下，它們的行為完全相同，因此用一個(gè)全同粒子代替另一粒子，不引起物理狀態(tài)的變化

2．不可區(qū)分性微觀體系（粒子），因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)具有波粒二象性，無(wú)確定軌道。粒子的位置是由波函數(shù)來(lái)決定。而波函數(shù)只能提供粒子在每一個(gè)位置的概率。隨著時(shí)間演變，幾個(gè)粒子的波函數(shù)會(huì)擴(kuò)散蔓延，互相重疊。在波函數(shù)重疊處就不能區(qū)分是哪個(gè)粒子。

經(jīng)典力學(xué)中，兩物體性質(zhì)相同時(shí)，仍然可以區(qū)分，因各自有確定軌道。

12在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)分的3．全同性原理由于全同粒子的不可區(qū)分性，在全同粒子所組成的系統(tǒng)中，任意兩個(gè)全同粒子相互交換（位置等），不會(huì)引起系統(tǒng)狀態(tài)的改變。概率分布不變：

全同性原理是量子力學(xué)中的基本原理之一，也稱基本假設(shè)之一。4．全同粒子體系波函數(shù)的特性-交換對(duì)稱性設(shè)體系由N個(gè)全同粒子組成以表示第i個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋表示第i個(gè)粒子在外場(chǎng)中的勢(shì)能表示第i個(gè)粒子和第j個(gè)粒子的相互作用能則體系的哈米頓算符：兩粒子互換，哈米頓算符不變薛定諤方程：交換與

這表示如果是方程的解，則也是方程的解。

根據(jù)全同性原理，它們描述的是同一狀態(tài)，則它們間只可能相差一常數(shù)因子，以表示.即有

再交換與當(dāng)時(shí)

即波函數(shù)為反對(duì)稱函數(shù)當(dāng)時(shí)

即波函數(shù)為對(duì)稱函數(shù)描述全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的，或者反對(duì)稱的。費(fèi)米子和玻色子：費(fèi)米子：自旋為奇數(shù)倍的粒子稱為費(fèi)米子。如電子、質(zhì)子、中子等粒子，自旋均為，它們均為費(fèi)米子。

玻色子：自旋為的整數(shù)倍的粒子稱為玻色子。如介子、光子的自旋分別為O或，它們均為玻色子。費(fèi)米子系統(tǒng)服從費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計(jì)，其波函數(shù)是反對(duì)稱的。

玻色子服從玻色—愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，其波函數(shù)是對(duì)稱的。

結(jié)論：描寫全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間變化。實(shí)驗(yàn)表明全同粒子體系的波函數(shù)的交換對(duì)稱性與粒子自旋有確定關(guān)系泡利不相容原理：費(fèi)米系統(tǒng)中，兩個(gè)費(fèi)米子不能處于同一個(gè)狀態(tài)由N個(gè)費(fèi)米子組成的體系的本征函數(shù)是反對(duì)稱的，稱為斯萊特行列式

量子力學(xué)應(yīng)用一：運(yùn)用薛定諤方程求解超晶格結(jié)構(gòu)中的電子態(tài)理想超晶格:是一種人造的周期性結(jié)構(gòu)四種效應(yīng)：量子效應(yīng)、界面效應(yīng)、周期性效應(yīng)、能帶人工裁剪運(yùn)用薛定諤方程求解超晶格結(jié)構(gòu)中的電子態(tài)半導(dǎo)體超晶格概念的提出(EsakiL&TsuR.,1970)—一個(gè)全新的革命性的概念新方向：低維量子系統(tǒng)(包括超晶格、量子阱、量子點(diǎn)、量子線、納米管等）當(dāng)前物理領(lǐng)域的重要的前沿研究方向渡重洋，迎朝暉，心系祖國(guó)，傲視功名富貴如草芥；攀高峰，歷磨難，志興華夏，欣聞徒子徒孫盡棟梁?！贝笪锢硐祹熒徒o黃昆院士的一副對(duì)聯(lián)

世界著名物理學(xué)家、中國(guó)固體物理學(xué)和半導(dǎo)體物理學(xué)的奠基人之一、杰出的教育家、中國(guó)科學(xué)院院士，瑞典皇家科學(xué)院外籍院士、第三世界科學(xué)院院士，中國(guó)人民政治協(xié)商會(huì)議全國(guó)委員會(huì)第五、六、七、八屆常務(wù)委員，中國(guó)共產(chǎn)黨優(yōu)秀黨員，九三學(xué)社社員，全國(guó)“五一”勞動(dòng)獎(jiǎng)?wù)芦@得者，1995年度何梁何利基金科學(xué)與技術(shù)成就獎(jiǎng)獲得者，2001年度國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)獲得者，中國(guó)科學(xué)院半導(dǎo)體研究所名譽(yù)所長(zhǎng)（于2005年7月6日16時(shí)18分在北京逝世，享年86歲）黃昆

學(xué)習(xí)知識(shí)不是越多越好，越深越好，而是要服從于應(yīng)用，要與自己駕馭知識(shí)的能力相匹配。

黃昆含結(jié)構(gòu)缺陷的超晶格含結(jié)構(gòu)缺陷的超晶格是一種新型的超晶格材料，它具有周期超晶格所沒(méi)有的獨(dú)特的物理性質(zhì)：（1）在能隙內(nèi)形成局域態(tài)；（2）電子在壘上及壘區(qū)都能形成束縛態(tài)，擴(kuò)展了超晶格的光學(xué)

性能；（3）同摻雜和界面的不完整性所產(chǎn)生的缺陷相比較，結(jié)構(gòu)缺陷

能夠準(zhǔn)確地控制。

(4)

結(jié)構(gòu)缺陷超晶格在紅外探測(cè)和紅外激光器等光電子器件方

面有著相當(dāng)?shù)膽?yīng)用前景

d根據(jù)有效質(zhì)量理論，零場(chǎng)下電子的哈密頓可寫為：其中和z分別表示平行和垂直于界面的電子動(dòng)量算符

m(z)和U(z)(被分別定義為

m(z)是依賴于空間位置的電子的有效質(zhì)量含結(jié)構(gòu)缺陷超晶格中的電子態(tài)因?yàn)閯?shì)U(z)僅是z的函數(shù)，

所以總能量E和是守恒量

電子的波函數(shù)可以表示為其中是平行界面的平面內(nèi)電子的橫向坐標(biāo)

根據(jù)本征方程:

可以導(dǎo)出一維薛定諤方程

電子在阱層和壘層的縱向能量

其中引進(jìn)有效壘高

其中對(duì)含缺陷層的超晶格結(jié)構(gòu),電子的縱向波函數(shù)表示為

其中對(duì)于位于微隙中的局域電子態(tài)，其布洛赫波數(shù)為邊界條件：和在每一個(gè)界面處連續(xù)

可導(dǎo)出下列方程：

其中基于復(fù)波數(shù)形式的Bloch定理和轉(zhuǎn)移矩陣方法，我們建立了一個(gè)關(guān)系式能統(tǒng)一處理含結(jié)構(gòu)缺陷的超晶格中的電子態(tài)、聲學(xué)聲子態(tài)、界面光學(xué)聲子態(tài)的帶結(jié)構(gòu)、帶隙及其局域模，這個(gè)關(guān)系式也適合于計(jì)算一維光子晶體的帶結(jié)構(gòu)、帶隙及其缺陷模。其中α:elasticstiffnessconstantsβ:acousticwavenumberα:theeffectivemassofelectronβ:wavenumber電子態(tài)聲學(xué)聲子模α:dielectricfunctionβ:transversewavenumberq//界面光學(xué)聲子模μj

:permeabilitynj:refractive