2022年人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)綜合檢測(cè)試卷

本冊(cè)綜合檢測(cè)題

考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.己知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量無i=（—2,1）,則復(fù)數(shù)z=含的

虛部為（D）

13

1

---

A.2B.2

［解析］由題意可知zi=-2+i,所以2=含=4密器-=二^③=一桿|。因

3

-

此，復(fù)數(shù)2

2.某臺(tái)機(jī)床加工的1000只產(chǎn)品中次品數(shù)的頻率分布如下表:

次品數(shù)01234

頻率0.50.20.050.20.05

則次品數(shù)的眾數(shù)、平均數(shù)依次為（A）

A.0,1.1B.0,1

C.4,1D.0.5,2

［解析］由表可知，次品數(shù)的眾數(shù)為0,平均數(shù)為0X0.5+1X0.2+2X0.05+3X0.2+

4X0.05=1.1.

3.已知/,機(jī)表示兩條不同的直線，a表示平面，則下列說法正確的是（A）

A.若/_La,mUa,則B.若/_1_m，mU。，則/_La

C.若1〃m,mUa,則/〃aD.若/〃a,mUa,則/〃相

［解析］對(duì)于A,若/J_a,mUa,則根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)，知/J_根，故A正確；

對(duì)于B,若/_LmUa,則/可能在a內(nèi)，故B不正確；對(duì)于C,若/〃/，mUa,貝

或/UQ,故C不正確；對(duì)于D,若/〃a,mUa,則/與機(jī)可能平行，也可能異面，故D不

正確.故選A.

4.在△48。中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是mb,c,若a=acos5+bcos4,則△ABC

是（A）

A.等腰三角形B.銳角三角形

C,直角三角形D.鈍角三角形

［解析I因?yàn)閍=4cosB+Z?cosA,所以由余弦定理可得a=aX-

4+廿一M

bx—沛一，整理得〃=c,所以AABC為等腰三角形.

27r

5.已知平面向量0與6的夾角為了，且同=1,|Z>|=2,則|a+加=(B)

A.3B.小

C.7D.市

［解析］因?yàn)閨a+肝=(a+b)2—a2+Tab+b2—|a|2+2|a|-|Z)|-cos苗+|i|2=1+

2X1X2X(—￡)+4=3,所以|a+b|=3.

6.一個(gè)元件能正常工作的概率r稱為該元件的可靠性，由多個(gè)元件組成的系統(tǒng)能正常

工作的稱為系統(tǒng)的可靠性，今設(shè)所用元件的可靠性都為40<廠<1),且各元件能否正常工作

是相互獨(dú)立的，如圖所示的系統(tǒng)的可靠性為(C)

A.7B.2r~r

C.23一尸D.?-4?+4?

［解析］設(shè)4(i=l,2,3,4)表示“元件i能正常工作”的事件,S表示“系統(tǒng)能正常工作”，

得P⑸=P(AtA2UA3A4)=P(AI)P(A2)+P(A3)尸(A4)—P(4)尸(A2)P(A3)尸(4)=$+/一1=2,一

汽故選C.

7.在梯形A8CD中，已知AB〃CD,AB=2￡>C,點(diǎn)P在線段3c上，且8P=2PC,則

(C)

A.AP=^AB-1-^ADB.AP=^AB+^AD

C.AI)=^AP~AB—*2—*—*

D.AD=^AP-AB

->■—?-?—?―?—?I―?—?1—?-?2-*?2->,)

［解析］因?yàn)锽C=—AB+AD+DC=—AB+A￡)+/A8=AQ-BP巧BC=gAD-~q

-~~>―?—>―?2-1-?2-*■2-—―?3--*■

AB,所以AP=A8+8尸=4B+1A￡>一駛8=鏟8+P￡),所以AZ)=］AP—AB.

8.(2020?全國(guó)II卷理)已知aABC是面積為手的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球

面上.若球。的表面積為16兀，則。到平面A8C的距離為(C)

3

小B-

A.

C2

1DV32

［解析J設(shè)球。的半徑為凡則4兀2=16兀，解得：R=2.

設(shè)ZUBC外接圓半徑為r,邊長(zhǎng)為a,

?；△A8C是面積為十的等邊三角形,

近

乎

X

2-

二球心。到平面ABC的距離4=.咫一戶=5=1.

故選C.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0

分）

9.己知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù),則以下為真命題的是（CD）

74Q

A.z的共軌復(fù)數(shù)為5一早B.z的虛部為5

「I|=返

C.|z|-5D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

_3+2i_(3+2i)(2+i)

［解析］=2-i=(2-i)(2+i)

；.z的共物復(fù)數(shù)為,一親，Z的虛部為（團(tuán)=｛（3+自2=華,Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

為序a在第一象限，故選CD.

10.如圖是2019年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述正確的是（BCD）

s

8000

12

G7000H號(hào)r

1O

O6000回

最50008說

段40006芒

^3000云

4地

機(jī)000

2木

<

I000/

0%

11=1GDP總量—與去年同期相比增長(zhǎng)率I

A.2019年第一季度GDP總量和增速均居同一位的省只有1個(gè)

B.與去年同期相比，2019年第一季度五個(gè)省的GDP總量均實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)

C.去年同期的GDP總量前三位是B省、D省、A省

D.2018年同期A省的GDP總量也是第三位

［解析］2019年第一季度GDP總量和增速均居同一位的省有2個(gè)，B省和C省的GDP

總量和增速分別居第一位和第四位，故A錯(cuò)誤；由圖知B正確；由圖計(jì)算2018年同期五省

的GDP總量，可知前三位為B省、D省、A省，故C正確；由C知2018年同期A省的

GDP總量是第三位，故D正確.故選BCD.

11.2021年3月5日上午，十三屆全國(guó)人大四次會(huì)議開幕，國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)作政府工

作報(bào)告.報(bào)告提出，扎實(shí)做好碳達(dá)峰、碳中和各項(xiàng)工作，制度“2030年碳達(dá)峰，2060年碳

中和”的工作目標(biāo).為了解某企業(yè)職工對(duì)“碳達(dá)峰、碳中和”的認(rèn)知程度，隨機(jī)抽取了100

名職工組織了“碳達(dá)峰、碳中和”知識(shí)競(jìng)賽，滿分為100分(80分以上為認(rèn)知程度較高)，并

將所得成績(jī)分組得到如圖所示的頻率分布折線圖，從頻率分布折線圖中得到的這100名職工

成績(jī)的以下信息正確的是(ABC)

A.a=0.03

B.對(duì)“碳達(dá)峰、碳中和”認(rèn)知程度較高的人數(shù)是35人

C.中位數(shù)是76.25

D.平均分是76.05

I解析］A選項(xiàng)，由題意可得4=0.1-(0.01+0.015+0.04+0.005)=0.03,故A正確；

B選項(xiàng)，成績(jī)80分及以上的職工人數(shù)為(0.03+0.005)X10X100=35人，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)中位數(shù)為x,因?yàn)?0.01+0.015)X10=0.25,(0.01+0.015+0.04)X10=

0.55,所以xG(70,80),由題意可得0.25+(彳-70)X0.04=0.5,解得x=76.25,故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，平均分為55X0.1+65X0.15+75X0.4+85X0.3+95X0.05=75.5,故D

不正確.

12.如圖，正三棱柱A8C—4BC1各條棱的長(zhǎng)度均相等，。為44i的中點(diǎn)，M,N分別

是線段和線段CG上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足BM=CN,當(dāng)M,N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論

中正確的是（ABC）

A.在△OWN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面DMN_L平面BCG8

C.三棱錐4—的體積為定值

D.△OMN可能為直角三角形

［解析I用平行于平面A8C的平面截平面。MN,則交線平行于平面A3C,故A正確；

當(dāng)M,N分別在BBi,CG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若滿足BM=GM則線段MN必過正方形8CGB1的

中心。，由。。上平面BCCiBi可得平面OMN_L平面BCGBi,故B正確；當(dāng)M,N分別在

BBi,CG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積不變，點(diǎn)N到平面4OM的距離不變，所以三棱錐N

-AiQM的體積不變，即三棱錐A-QMN的體積為定值，故C正確；若△OWN為直角三

角形，則必是以NMON為直角的直角三角形，易證。M=￡W,所以為等腰直角三

角形，所以DO=OM=ON,即MN=2D0.設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2,則。。=小，MN=2小.因

為MN的最大值為BG,BCi=2木,所以不可能為2小，所以△ZWN不可能為直角三

角形，故D錯(cuò)誤.故選ABC.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（2021.全國(guó)乙卷）已知向量a=（l,3）,6=（3,4）,若（。一勸）_Lb,則曰=一,一

［解析］由題意得（a-Ab）-b=Q,即15—252—0,解得兀=；.

14.在某道路的4,B,C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在1分鐘內(nèi)開放綠燈的時(shí)間分別

為25秒,35秒,45秒，某輛車在這段道路上勻速行駛，則在這三處都不停車的概率為_盍35

［解析］由題意可知，汽車在這三處都不停車的概率為器X益x^=奇.

15.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD—AiBiGD中，4B=2,BC=l,=P是AB的中點(diǎn),

則異面直線BC\與PD所成的角等于60。.

［解析］如圖，取481的中點(diǎn)E,連接9E,ADi,AE,則NAQE即為異面直線8G

與PD所成的角.因?yàn)锳8=2,所以A|E=1,又BC=BBi=l,所以。/=4。=4E=也，

所以△AGE為正三角形，所以NAGE=60°.

16.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：cm)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方

圖(如下圖).由圖中數(shù)據(jù)可知“=0.030.若要從身高在［120,130),［130,140),［140,150］

三組的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在［140,150］的學(xué)生中

選取的人數(shù)應(yīng)為3.

［解析］V0.005X10+0.035X10+dX10+0.020X10+0.010X10=1,

二〃=0.030.

設(shè)身高在口20,130),［130,140),［140,150］三組的學(xué)生分別有x,y,z人，

則忐=0.030X10,解得x=30.

同理，y=20,z=10.

故從［140,150］的學(xué)生中選取的人數(shù)為布景正X18=3.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)在平面直角坐標(biāo)系xO.y中，已知點(diǎn)4(1,4),8(—2,3),C(2,-

1).

(1)求贏.危及|泰+啟|;

⑵設(shè)實(shí)數(shù)f滿足(贏一疝。_L灰:，求f的值.

［解析］(1)=油=(-3,-1),啟=(1,-5),

.,.AB-AC=(-3)Xl+(-l)X(-5)=2.

VAB+AC=(-2,-6),

二|初+/1=何4+36=2股.

(2)VA8-/dC=(-3-2r,-1+r),0C=(2,-1),且(贏一/%_!_沆，

：.(AB-tOC)OC=0,

??(一3—2/)X2+(—1+/)X(—1)=0,

/.t=-l.

18.(本小題滿分12分)如圖所示，在四棱錐P—A8CQ中，底面A8C。為等腰梯形，且

滿足A8〃CD,AD=DC=^AB,%_L平面ABCQ.

⑴求證：平面平面力￡>；

(2)若％=48,求直線PC與平面布。所成角的正弦值.

［解析］⑴證明：取AB的中點(diǎn)E,連接CE,則由題意知，ZYBCE為正三角形，所以

ZABC=60°.

由四邊形ABC。為等腰梯形知/BC￡)=120。，設(shè)A￡>=Z5C=BC=2,貝1!AB=4,BD=

2小，故AU+BUMA),即得NAO8=90°,所以AD_LBD

又以，平面A8CD,所以玄_LBL>.

又AOC%=A,所以8DJ_平面以D

又BDU平面PBD,所以平面尸8O_L平面PAD.

(2)在平面ABC。中，過點(diǎn)C作C”〃8￡)交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,由(1)知BO_L平面PAD,

所以C”,平面也。，連接P”，則NCP”即為所求的角.

根據(jù)(1)中所設(shè)，在RtZXC，。中，CD=2,/COH=60。，

所以CH=小,

連接AC,在RtZ\B4C中，

PC^yjPA2+AC2=正+(2小>=2巾.

所以在RtZiPHC中，sin/CPH=，E=^=]1，

即PC與平面布。所成角的正弦值為唔.

19.(本小題滿分12分)(2021.全國(guó)I卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

已知序=ac,點(diǎn)。在邊AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AZ)=2OG求cosNA3c.

I解析](1)由條件知js'"=4c,

*■*bin/MOt“

又ac=b2,則BDb=b2^BD=b.

21

(2)若AD=2￡>C,則AD=1〃，DC=^b.

\AB2=BD2+AD1-2ADBDCOSNADB

貝！I,,,

[BC2=BD2+DC2-2BDDCcosZBDC

42

c2=b2+gb2—2?嗎b,cosZADB①

{a2=b2+^b2—2/>；bcosZBDC②

①+②X2今3c2+6。2=11",又+=ac,

3c2+6cr=Uac

3陪)+6旬=11.

令七

3r+y=11,3產(chǎn)―11/+6=0.

(3z—2)(r—3)=0,

2、

，，=,或f=3,

當(dāng)t=3時(shí)，c=3a,b=y/3a9

此時(shí)a+方=(小+l)a〈3a(舍)，

t—

次+c2—1，1、7

cos/ABC=2ac或-l)=n-

20.(本小題滿分12分)為選拔選手參加“中國(guó)謎語(yǔ)大會(huì)”，某中學(xué)舉行了一次“謎語(yǔ)

大賽”活動(dòng).為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整

數(shù)，滿分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］的

分組作出頻率分布直方圖(如圖(1)),并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(莖葉圖中僅列出得分在

［50,60),［90,100］的數(shù)據(jù),如圖⑵).

512345678

6

7

8

934

(1)(2)

已知分?jǐn)?shù)在［80,90)的學(xué)生中，男生有2人，現(xiàn)從該組抽取3人“座談”，寫出樣本空間

并求至少有2名女生的概率.

［解析］分?jǐn)?shù)在［80,90)的學(xué)生共有8+(0.016X10)X(0.010X10)=5(人).由題意知，這5

人中男生有2人，女生有3人，分別編號(hào)為歷和0,172.

所以樣本空間為{(。1,a2,的)，3,?21bi),(ai,a2,bi),(a\,內(nèi)，b\),(?i,⑷，一),

(。2,as,b\),(“2,。3,b2),(b\,bi,a\),(b\,左，az),(Jb\,岳，s)},共有10個(gè)樣本點(diǎn).

記人=“至少有2名女生”，則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為7.

7

所以至少有2名女生的概率為P(A)=fQ.

21.(本小題滿分12分)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，是底面

的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，/APC=90。.

⑴證明：平面平面B1C；

(2)設(shè)。。=也，圓錐的側(cè)面積為小兀，求三棱錐產(chǎn)一ABC的體積.

［解析］(1)由題設(shè)可知，PA=PB=PC.

由于△4BC是正三角形，故可得△用Cg△附B.

△B4c絲△P8C.

又NAPC=90°,故NAPB=90°,ZBPC=W0.

從而PB_LR4,PBLPC,故PBJ_平面%C,所以平面平面wC.

(2)設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為/.

由題設(shè)可得〃=小，/一/二？，解得r=l,1=小,

從而AB=41由(1)可得力2+PB2=AB2,故叢=PB=PC=坐.

所以三棱錐P-ABC的體積為gx；XR4XPB><PC=；xJxO邛

22.(本小題滿分12分)某服裝店對(duì)過去100天其實(shí)體店