2023年中考數(shù)學訓練-二次函數(shù)與實際問題的綜合

心

2023年中考數(shù)學專題訓練——二次函數(shù)與實際問題的綜合

一、綜合題

1.某水果商店銷售?種進價為40元/千克的優(yōu)質水果，若售價為50元/千克，則?個月可售出500千克；若

售價在50元/千克的基礎上每漲價I元，則月銷售量就減少10千克.(1)求噴出的水流離地面的最大高度；

(1)當售價為55元/千克時，每月銷售水果多少千克？(2)求噴嘴離地面的高度；

(2)當每千克水果售價為多少元時，獲得的月利潤最大？(3)若把噴水池改成圓形，則水池半徑至少為多少時，才能使噴出的水流不落在水池外？

2.如圖,足球場上守門員在。處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出(A在V軸上)，運動員乙在距。4.某公園對一塊長20m,寬10m的場地進行設計，方案如圖所示.陰影區(qū)域為綠化區(qū)(四塊全等的矩形)，空

點6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達到最高點距地面約4米高，球落地后又一次彈起.據(jù)實驗測白區(qū)域為活動區(qū)，且4個出口寬度相同，其寬度不小于4m,不大于8m.設出口長均為x(m),活動區(qū)面積為

算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半.y(m).

(I)求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式.(1)求y關于X的函數(shù)表達式：

(2)足球第一次落地點C距守門員多少米？(取4G=7)(2)當x取多少時，活動區(qū)面積最大？最大面積是多少？

(3)若活動區(qū)布置成本為10元/m?,綠化區(qū)布置成本為8元/nR布置場地的預算不超過1850元，當x為

(3)運動員乙要搶到第二個落點他應再向前跑多少米?

整數(shù)時，請求出符合預算且使活動區(qū)面積最大的x值及此時的布置成本.

(取2能=5)

5.在“母親節(jié)”期間，某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批進價為6元/個的許愿瓶進行銷售，

3.如圖是某公園一噴水池(示意圖)，在水池中央有一垂直于地面的噴水柱，噴水時，水流在各方向沿形狀相并將所得的利潤捐給慈善機構.根據(jù)市場調查，這種許愿瓶每日的銷售量丫(個)與銷售單價x(元/個)之間滿足

同的拋物線落下.若水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關系式為y=-(x-l)2+2.25.關系式：y=-20x+400.

(1)求每H銷售這種許愿瓶所得的利潤w(元)與銷售單價x之間的函數(shù)關系式.

（2）求每日銷售這種許愿瓶所得的利潤w（元）的最大值及相應的銷售單價.（2）當箱售價格定為多少元時，每月獲得利潤3630元？

（3）“國慶節(jié)”期間，該校公益團隊想繼續(xù)銷售許愿瓶的慈善活動，卻發(fā)現(xiàn)批發(fā)商調整了許愿瓶的進貨9.十三中為了創(chuàng)建城市文明單位，準備在操場的墻（線段MN所示，不考慮墻體長度）外開辟一處長方形的

價格，進價變?yōu)榱薽元/個.但是許愿瓶每日的銷量與銷售單價的關系不變.為了不虧本，至少需按照12元/土地進行綠化美化，除墻體外三面要用柵欄圍起來，計劃用柵欄40米（正好用完）.

個銷售，而物價部門規(guī)定銷售單價不得超過15元/個.在實際銷售過程中，發(fā)現(xiàn)該商品每天獲得的利潤隨x的MV

............=

增大而增大，求m的最小值.

AD

6.總公司將批襯衫由甲、乙兩家分店共同銷售，因地段不同，甲店一天可售出30件，每件盈利30元；乙

B'----------

店一天可售出40件，每件盈利20元.經調查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價1元，甲、乙兩家店一天分別可多售出

2,4件.設甲店每件襯衫降價m元時，?天可盈利山元，乙店每件襯衫降價n元時，?天可盈利yz元.（1）長方形的各邊的長為多少米時，長方形的面積最大？

（2）若9WABW12,試求長方形面積S的取值范圍.

（1）當m=3時，求yi的值.

10.網絡銷售已經成為?種熱門的銷售方式.為了減少農產品的庫存，某銷售商親自在一網絡平臺上進行直播

（2）求y?關于n的函數(shù)表達式.

銷售某品牌板栗.為提高大家購買的枳極性，直播時，板栗公司每天拿出2（X）0元現(xiàn)金，作為紅包發(fā)給購買

（3）若總公司規(guī)定：m-n=6（m,n為正整數(shù)），請求出每件襯衫下降多少元時，兩家分店一天的盈利和

者.已知該板栗的成本價格為6元/kg,每日銷售量y（kg）與銷售價x（元/kg）滿足關系式：

最大，最大是多少元？

y=-100x+5000.經銷售發(fā)現(xiàn)，銷售價不低于成本價格且不高于30元/kg.設板栗公司銷售該板栗的日獲利為

7.某商場要經營一種新上市的文具，進價為20元件，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價25元/件時，每天的銷售

W阮）.

量是250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.

（1）請求出日獲利W與銷售價X之間的函數(shù)關系式：

（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式；

（2）當W=46400元時，此時的銷售單價定為多少元？

（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；

11.某商店銷售一種書包，進價為每個20元，物價部門規(guī)定每個書包的銷售利潤不得高于進價的60%,銷售

（3）商場的營銷部結合上述情況，提出/A、B兩種營銷方案：

過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（個）與每個書包的售價x（元）滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表：

方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過30元；

售價X（元/個）302523

方案B：每件文具的利潤不低于25元且不高于29元.

銷售量y（個）80100108

請比較咖種方案的最大利潤更高，并說明理由.

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；

8.某種商品每件的進價為10元，若每件按20元的價格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價格銷

售，則每月能賣出60件.假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價格x（單位：元）的一次函數(shù).（2）當每個書包的售價定為多少元時，該商店銷售這種書包每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

（1）求y關于x的一次函數(shù)解析式12.某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與每件售價x（

元）之間存在一次函數(shù)關系（其中8WXW15,且x為整數(shù)）.當每件消毒用品售價為9元時，每天的銷售量為16.某商戶購進?批布裝，40天箱售完畢.根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（件）與銷售時間工

f2x>0<x<30

105#；當每件消毒用品售價為11元時,每天的銷售量為95件.（天）之間的關系式是y=\/?八“，八，銷售單價P（元/件）與銷售時間工（天）之間的

[-6x+240,30<x<40

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；

函數(shù)關系如圖所示.

（2）設該商店銷售這種消毒用品每天獲利亞（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤

p阮/件）

最大？最大利潤是多少元？

13.某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每個掛件的進價

是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個.

（1）求第二批每個掛件的進價：

（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經市場調查發(fā)現(xiàn)，當售價

為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，

求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？

（1）第15天的日銷售量為件；

14.一名高爾夫球手某次擊出的球的高度/?（〃?）和經過的水平距離d（〃?）滿足下面的關系式：

（2）當0cxW30時，求日銷售額的最大值；

h=d-0.0\d2.

（3）在銷售過程中，若日銷售量不低于48件的時間段為“火熱銷售期”，則“火熱箱售期”共有多少天？

（1）當球經過的水平距離為50/w時，球的高度是多少？

17.某種商品每件的進價為10元，若每件按20元的價格銷售，則每月能賣出360件：若每件按30元的價格

（2）當球第一次落到地面時，經過的水平距離是多少？銷售，則每月能賣出60件.假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價格x（單位：元）的一次函數(shù).

（3）設當球經過的水平距離分別為20m和80〃z時，球的高度分別為%和h,比較/?,和佝的（1）求y關于x的一次函數(shù)解析式；

大小.（2）當銷售價格定為多少元時，每月獲得的利潤最大？并求此最大利潤.

15.某文具店購進一批單價為12元的學習用品，按照相關部門規(guī)定其銷售單價不低于進價，且不高于進價的18.某蘋果經銷商在銷售蘋果時，經市場調查：當蘋果的售價為10元/千克時，日銷售量為40千克，若售價

1.5倍，通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足?次函數(shù)關系，且當x=15每提高1元/千克，日銷售量就減少2千克.設蘋果售價為x元/千克（式210,且x為整數(shù)）.

時，y=50：當X=17時，y=30.

（1）若某日蘋果的銷售量為28千克，求該日蘋果的銷售單價；

（I）求y與X之間的函數(shù)關系式；

（2）若政府將銷售價格定為不超過18元/千克，設該經銷商的日銷售額為W元，求W的最大值和最小

（2）這種學習用品的銷售單價定為多少時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？值:

（3）若政府每H給該經銷商補貼10加元后（m為正整數(shù)），發(fā)現(xiàn)只有5種不同的售價使H收入不少于500

元，請求出m的值.（日收入=銷售額+政府補貼）

19.某公司把一種原料加工成產品進行銷售，已知某月共加工原料工噸，恰好能生產相同噸數(shù)的產品并能完全

銷售.每噸原料的加工成本。（萬元）與x（噸）有如下關系：。=*+2-30（其中。、b均為常數(shù)），且

x

在整個過程中，經過統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：

X（噸）3060

Q（萬元）7035

（1）求a、b的值;

（2）若這個月的加工總成本為2052萬元，求二的值:

（3）若生產的產品每噸售價60萬元，求該月可獲得的最大利潤是多少萬元？

20.在鄉(xiāng)村振興活動中，某電商正在熱俏?種當?shù)靥厣唐?，其成本?0元/件，在俏售過程中發(fā)現(xiàn)隨著售價

增加，銷售量在減少.商家決定當售價為80元/件時，改變銷售策略，此時售價每增加1元需支付由此產生的

額外費用400元.該商品銷售量y（件）與售價x（元/件）滿足如圖所示的函數(shù)關系（其中50WXW90,且x為

整數(shù)）.

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關系式:

（2）當售價為多少時，商家所獲利潤最大，最大利潤是多少？

答案解析部分由已知：當％=0時y=L

1.【答案】(1)解：500-10x(55-50)

即1=36a+4,:.a=--

12

=500-10x5

二表達式為y=-J(x-6)2+4.(或),=一*/+工+1)

=5(X)-50

(2)解：令)=0,-'@-6)2+4=0.

=450(千克).

/.(X-6)2=48.^=4>/3+6?13,x,=-4>/3+6<0(舍去).

答：每月銷售水果450千克：

(2)解：設每千克水果售價為工元，總利潤為y元，「?足球第一次落地距守門員約13米.

由題意可得)，=(戈一40)[500—10(.丫-50)]二-10(4一70)2+9000,(3)解：解法一：如圖，第二次足球彈出后的距離為CQ

根據(jù)題意：CD=EF(即相當于將拋物線AEMFC向下平移了2個單位)

V-10<0,

2=-*(工一6)2+4解得X]=6-2而x2=6+2而

???當x=70時，y有最大值為9000,

答：每千克水果售價為70元時，利潤最大為9000元.CD=N-x,|=4>/6?10.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意列出算式求解即可：

.?.30=13-6+10=17(米).

(2)設每千克水果售價為X元，總利潤為y元，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式

2答：他應再向前跑17米.

y=(x-40)[500-10(x-50)]=-10(x-70)+9000,再利用二次函數(shù)的性質求解即可。

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意代入x的值即可得出拋物線的表達式；

2.【答案】(1)解：如圖，設第一次落地時，

(2)令>=0,一卷(工一6)2+4=0.再按照實際情況篩選即可：

(3)由(2)得出點C的坐標，進而得出拋物線的解析式，再計算出點D的坐標，根據(jù)坐標即可得出答案。

▲尸

3.【答案】(1)解：???水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關系式為y=-(x-1)2+2.25,

???噴出的水流離地面的最大高度為：2.25m

(2)解：當x=0,則y=(0-1)42.25=1.25(m),

答：噴嘴離地面的高度為1.25m

拋物線的表達式為y=a(x—6)2+4.

(3)解:由題意可得：y=0時,0=-(x-1)2+2.25,令w=1850,

解得:xi=-0.5(舍去),X2=2.5,-2x2+60x+1600=1850,

答：水池半徑至少為2.5m時,，才能使噴出的水流不落在水池外.解得：x=25或x=5,

【解析】【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可；V4<x<8,

(2)將x=0代入y=-(x-1>+2.25,求出y的值即可：

?*.4<x<5,

(3)將y=O代入y=-(x-1產+2.25,求出x的值即可。

???活動區(qū)域面積為y=f2+30x,-1<0,對稱軸為直線x=15,

70-X10—x

4.【答案】(1)解：根據(jù)題意得：y=20xl0-4x——x——

，當x=5時，活動區(qū)面積最大，此時的布置成本為1850元.

=200-(20-x)(10-x)

【解析】【分析】(1)利用活動區(qū)域的面積;大長方形的面積減去4個陰影區(qū)域的面積，可得到y(tǒng)與x之間的函

=200-200+30x-x2數(shù)解析式.

(2)將函數(shù)解析式轉化為頂點式，由題意可得到x的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質可求出結果.

=-x2-|-30x,

(3)設布置場地所用費用為w元，可知亞=活動區(qū)域的面積x活動區(qū)布置成本+綠化區(qū)域的面積x綠化區(qū)布置

Ay與x的函數(shù)關系式為y=-x2+30x：

成本，可得到W與x的函數(shù)解析式，將函數(shù)解析式轉化為頂點式，根據(jù)布置場地的預算不超過1850元，可得

(2)解：由(1)知：y=-x2+30x=-(x-15)2+225,到關于x的方程，解方程求出x的值，可得到x的取值范圍為43工5,再利用二次函數(shù)的對稱軸及開口方向，

可得到活動區(qū)面積最大的x值及此時的布置成本.

由題意得：4<x<8,

5.【答案】(1)解：iv=(-20x+400)(x-6)=-2x2+520x-2400

V-l<0,

⑵解：卬=一20式2+520X一2400???當工=一二二13時，%大位=980(元)

???當xV15時，y隨x的增大而增大，

2a

???當x=8時，y有最大值，最大值為176,即：當銷售單價為13元/個時，銷售利潤最大值為980元.

??當x取8m時，活動區(qū)面積最大，最大面積是176m2(3)解：由題意得：vv={-2(Lr+4(X))(x-in)=-20x2+(2O/?z+4(X))x-4(X)/??

(3)解：設布置場地所用費用為w元，

???w隨x的增大而增大(12WxW15),-20<0

貝I]w=10(-x2+30x)4-8[200-(-x2+30x)]

—rn+1215

=-IOx2+300x+1600+8x2-240x2

:.77?>10

=-2x2+60x+1600.

Am最小值為10(2)由題意可得乙每件的利潤為(20-n)元，每天可售出(40+4n)件，然后根據(jù)每件的利潤x銷售量=總利潤可得

yz與n的關系式：

【解析】【分析】(1)利用這種許愿瓶每H的銷售利潤;每一個的利潤X銷售量，根據(jù)題意可得到W與X之間的

(3)設兩家分店一天的盈利為w元，根據(jù)w=yi+y2可得w=(30-m)(30+2m)+(-4n2+40n+800),結合m-n=6可

函數(shù)解析式.

得w=-6(n-一23V11377,然后利用二次函數(shù)的性質進行解答.

(2)利用二次函數(shù)的性質，可求出拋物線的對稱軸，由此可求出W的最大值.66

(3)抓住已知條件：進價變?yōu)榱嗽?個，可得到每一個的利潤為(x-m)元，根據(jù)這種許愿瓶每日的銷售利潤

7.【答案】⑴解:由題意得,銷售量=25040(x-25)=-10x+500,

=每一個的利潤x銷售量，可得到W與x之間的函數(shù)解析式，同時可得到x的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質

貝ijw=(x-20)(-10X+500)=-lOx2+7OOx-IOOOO.

可得到關于m的不等式，然后求出不等式的解集.

(2)解：w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250.

6.【答案】(1)解：m=3時，yi=(30-3)x(30+2x3)=972(元)，

V-10<0,

???yi的值為972???函數(shù)圖象開口向下，W有最大值，

當x=35時,w1H人=2250,

(2)解：根據(jù)題意得:y2=(20-n)(40+4n)=-4ir+40n+800,

???當單價為35元時，該文具每天的利潤最大.

Ay：關于n的函數(shù)表達式為：y2=-4n2+40n+800；

(3)解：方案A利潤高，理由如下：

(3)解：設兩家分店一天的盈利為w元，方案A中：20<x<30,

當x=30時,w有最大值，

根據(jù)題意得w=yi+y?=(30-m)(30+2m)+(-4n2+40n+800),

此時WA=2000；

Vm-n=6?方案B中：

故x的取值范圍為：45<x<49,

.*.m=n+6,

??,函數(shù)w=-10(x-35)2+2250,對稱軸為直線x=35,

23|1377

222

/.w=(30-n-6)(30+2n+12)+(-4n+40n+800)=-6n+46n+l808=-6(n--)+——,,?.當x=45時，w有最大值，

66

此時WB=1250,

V-6<0?m,n為正整數(shù)，

VWA>WB,

.??n=4時，w取最大值，最大值為-6x—+=1896,

M3”；?方案A利潤更高.

366

此時m=n+6=10,【解析】【分析】(1)由利潤=(銷售單價-進價)x銷售量，列出函數(shù)關系式即可；

(2)根據(jù)(1)式列出的函數(shù)關系式，再利用配方法得到二次函數(shù)頂點式，結合二次函數(shù)性質求最大值即

???甲店每件襯衫降價10元，乙店每件襯衫降價4元，兩家分店一天的盈利和最大，最大是1896元.

可；

【解析】【分析】(1)當m=3時，每天可售出(30+2x3)件，每件的利潤為(30-3)元，根據(jù)每件的利潤x銷售量=(3)分別求出方案A、B中x的取值范圍，再分別求出A、B方案的最大利潤，最后進行比較即可求解.

總利潤可得力的值：

8.I：答案】(1)解：設)，="+6,把x=20,y=360,和x=30,y=60代入，可得f卷之上：吸)(2)解：V9<AB<12,

IS\JK*T*D—OU

-12,

僅=-30

解得/Q"

[b=960VS=-2(x-10)2+200,

??.)，=-30x4-960(10<x<32)；???x=10時,S有最大值,最大值為200,

當x=9時，S=-2x(9-10)2+200=198,

(2)解：設每月所獲的利潤為W元，

當x=12時,S=-2x(12-10)2+200=192,

??.W=(-30.r+96())(x-10)

.\192<S<200.

=-30(x-32)(x-10)

???長方形面積S的取值范圍為I92WSW200.

=-30(x2-42x+320)

【解析】【分析】(1)設AB=CD=x,則BC=40-2x,根據(jù)0VBCV40可得x的范圍，根據(jù)矩形的面積公式可

得S與x的關系式，然后結合二次函數(shù)的性質進行解答：

=一30(工一21f+3630

(2)由gABW12可得x的范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質進行解答.

???當x=21時，W有最大值，最大值為3630.

10.【答案】(1)解：根據(jù)題意得：W=(x-6)(-100x+5000)-2000=-100x2+5600x-32000,

【解析】【分析】(1)設丫=1?+13,把x=20,y=360：x=30,y=60代入求出k、b的值，據(jù)此可得y與x的函數(shù)

關系式；???日獲利W