2023年中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題特訓(xùn)《二次函數(shù)的應(yīng)用》原卷

二次函數(shù)的應(yīng)用

二疆代候建

（1）利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題

在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問(wèn)題.解此類題的關(guān)鍵是通過(guò)題

意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問(wèn)題中自變量X的取值要使實(shí)際問(wèn)題

有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量X的取值范圍.

（2）幾何圖形中的最值問(wèn)題

幾何圖形中的二次函數(shù)問(wèn)題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)

幾何中的最值的討論.

（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問(wèn)題

中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過(guò)解析式可解決

一些測(cè)量問(wèn)題或其他問(wèn)題.

匡）今妻導(dǎo)航

題型一利潤(rùn)問(wèn)題.......................................................................3

題型二幾何問(wèn)題......................................................................10

題型三構(gòu)造函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.........................................................16

Ja今褻債依

題型一利潤(rùn)問(wèn)題

肥對(duì)魚種珠

I.某商店從廠家以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價(jià).若每件商品售為x元，則可賣

出(350-lOx)件商品，那么商品所賺錢y元與售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系為()

A.y=-10x2-560x+7350B.y=-10x2+560x+7350

C.y=-10x2+350xD.y=-10x2+350x-7350

2.某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售

量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.

(1)寫出商場(chǎng)銷售這種文具，每天所得的銷售利潤(rùn)w(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式.

(2)若商場(chǎng)要每天獲得銷售利潤(rùn)2000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

(3)求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

3.某運(yùn)動(dòng)器材批發(fā)市場(chǎng)銷售一種籃球，每個(gè)籃球進(jìn)價(jià)為50元，規(guī)定每個(gè)籃球的售價(jià)不低于進(jìn)價(jià).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)

查，每月的銷售量y(個(gè))與每個(gè)籃球的售價(jià)元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

售價(jià)X606264

銷售量y500480460

(1)求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式；(不需求自變量X的取值范圍)

(2)該批發(fā)市場(chǎng)每月想從這種籃球銷售中獲利8000元，又想盡量多給客戶實(shí)惠，應(yīng)如何給這種籃球定價(jià)？

(3)物價(jià)部門規(guī)定，該籃球的每個(gè)利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的50%,設(shè)銷售這種籃球每月的總利潤(rùn)為以元)，那

么銷售單價(jià)定為多少元可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

4.新華書店銷售一個(gè)系列的兒童書刊，每套進(jìn)價(jià)100元，銷售定價(jià)為140元，一天可以銷售20套.為了

擴(kuò)大銷售，增加盈利，減少庫(kù)存，書店決定采取降價(jià)措施.若一套書每降價(jià)1元，平均每天可多售出2套.設(shè)

每套書降價(jià)x元時(shí)，書店一天可獲利潤(rùn)y元.

(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若要書店每天盈利1200元，則每套書銷售定價(jià)應(yīng)為多少元？

(3)當(dāng)每套書銷售定價(jià)為多少元時(shí)，書店一天可獲得最大利潤(rùn)？這個(gè)最大利潤(rùn)為多少元？

5.某商場(chǎng)以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，規(guī)定這種商品每件售價(jià)不高于35元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商

品每天的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）之間符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.

八W件

70

50——

II

I，I?

II

2時(shí)5x浣

（1）求〉與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)商場(chǎng)銷售這種商品每天獲利卬（元），當(dāng)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售利潤(rùn)最大？最大利

潤(rùn)是多少？

6.某商城在“雙11”期間舉行促銷活動(dòng)，一種熱銷商品進(jìn)貨價(jià)為每個(gè)12元，標(biāo)價(jià)為每個(gè)20元.

（1）商城舉行了“感恩老用戶”活動(dòng)，對(duì)于老客戶，商城對(duì)甲商品連續(xù)進(jìn)行兩次降價(jià)，每次降價(jià)的百分率相同，

最后以每個(gè)14.45元售出，求每次降價(jià)的百分率；

（2）市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)甲商品每個(gè)標(biāo)價(jià)20元時(shí)，平均每天能售出40個(gè)，當(dāng)每個(gè)售價(jià)每降1元時(shí)，平均每天

就能多售出10個(gè).

①在保證甲每個(gè)商品的售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)的前提下，若商城要想銷售甲商品每天的銷售額為1190元，則每個(gè)

應(yīng)降價(jià)多少元？

②若要使用甲商品每天的銷售利潤(rùn)最大，每個(gè)應(yīng)該降價(jià)多少元？此時(shí)最大利潤(rùn)為多少元？

7.某公司去年推出一種節(jié)能產(chǎn)品，售價(jià)y（元/個(gè)）與月銷量x（個(gè)）的函數(shù)關(guān)系如下表，成本為20（元/個(gè)），

同時(shí)每月還需支出固定廣告費(fèi)47500元-

售價(jià)y（元/個(gè)）119118117116115

月銷量X（個(gè)）100200300400500

（1）請(qǐng)觀察題中的表格，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)或反比例函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，寫出》與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若出售這種節(jié)能產(chǎn)品的月利潤(rùn)為H元），請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示月利潤(rùn)卬，并求出當(dāng)月銷售量為5000個(gè)

時(shí)的月利潤(rùn)；

（3）該公司去年每個(gè)月都銷售了5000個(gè)這種節(jié)能產(chǎn)品.從今年一月份開始，因物價(jià)上漲，廣告費(fèi)每月上漲了

2500元，產(chǎn)品成本增加了加％,因此售價(jià)上調(diào)06w%元，由此月銷量減少04〃%.結(jié)果今年一月份的月利

潤(rùn)比去年每個(gè)月的月利潤(rùn)減少了3500元.求機(jī)的整數(shù)值.（參考數(shù)據(jù)：病x8.3,V76-8.7,師=16.6）

8.某公司購(gòu)進(jìn)一批受環(huán)境影響較大的商品，該商品需要在特定的環(huán)境中才能保存.已知該商品成本y（元/

件）與保存的時(shí)間第x（天）之間的關(guān)系滿足），=V+2x+17,該商品售價(jià)2（元/件）與保存時(shí)間第x（天）

之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示.

X（天）12

P（元/件）97105

（1）求商品的售價(jià)p（元/件）與保存時(shí)間第x（天）之間的函數(shù)解析式；

（2）求保存第幾天時(shí)，該天此商品不賺也不虧；

（3）請(qǐng)你幫助該公司確定在哪一天賣出時(shí)，該天每件商品能獲得最大利潤(rùn)，并求此時(shí)每件商品的售價(jià)是多少？

9.云浮市各級(jí)公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶'’的規(guī)定，郁南縣某商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)

AB兩種類型的頭盔，已知購(gòu)進(jìn)3個(gè)A類頭盔和4個(gè)8類頭盔共需288元；購(gòu)進(jìn)6個(gè)A類頭盔和2個(gè)8類頭

盔共需306元.

（1）A,B兩類頭盔每個(gè)的進(jìn)價(jià)各是多少元？

（2）在銷售中，該商場(chǎng)發(fā)現(xiàn)A類頭盔每個(gè)售價(jià)50元時(shí)，每個(gè)月可售出100個(gè)；每個(gè)售價(jià)提高5元時(shí)，每個(gè)月

少售出10個(gè).設(shè)A類頭盔每個(gè)x元（50MX4100）,V表示該商家每月銷售A類頭盔的利潤(rùn)（單位：元），

求）'關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤(rùn).

10.某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為每件50元時(shí)，每個(gè)月可賣出210件，如果每件商品的售價(jià)每上

漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元），設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元，每個(gè)月的銷售量為

y件.

⑴則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：,自變量x的取值范圍是：；

（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)（X為正整數(shù)），每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？

（3）若在銷售過(guò)程中每一件商品都有元的其它費(fèi)用，商家發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價(jià)每件不低于58元時(shí)，每月的銷

售利潤(rùn)隨x的增大而減小，請(qǐng)直接寫出。的取值范圍：.

11.跳繩項(xiàng)目在中考體考中易得分，是大多數(shù)學(xué)生首選的項(xiàng)目，在中考體考來(lái)臨前，某文具店看準(zhǔn)商機(jī)購(gòu)

進(jìn)甲、乙兩種跳繩.已知甲、乙兩種跳繩進(jìn)價(jià)單價(jià)之和為32元；甲種跳繩每根獲利4元，乙種跳繩每根獲

利5元；店主第一批購(gòu)買甲種跳繩25根、乙種跳繩30根一共花費(fèi)885元.

（1）甲、乙兩種跳繩的單價(jià)分別是多少元？

（2）若該文具店預(yù)備第二批購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種跳繩共60根，在費(fèi)用不超過(guò)1000元的情況下，如何進(jìn)貨才能保

證利潤(rùn)W最大？

（3）由于質(zhì)量上乘，前兩批跳繩很快售完，店主第三批購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種跳繩若干，當(dāng)甲、乙兩種跳繩保持原

有利潤(rùn)時(shí)，甲、乙兩種跳繩每天分別可以賣出120根和105根，后來(lái)店主決定將甲、乙兩種跳繩的售價(jià)同

時(shí)提高相同的售價(jià)，已知甲、乙兩種跳繩每提高1元均少賣出5根，為了每天獲取更多利潤(rùn)，請(qǐng)問(wèn)店主將

兩種跳繩同時(shí)提高多少元時(shí)，才能使日銷售利潤(rùn)達(dá)到最大？

12.我市某苗木種植基地嘗試用單價(jià)隨天數(shù)而變化的銷售模式銷售某種果苗，利用30天時(shí)間銷售一種成本

為10元/株的果苗，售后經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)得到此果苗，單日銷售”（株）與第x天（x為整數(shù)）滿足關(guān)系式：”=r+50,

-x+20（l<x<20）

銷售單價(jià)（元/株）與x之間的函數(shù)關(guān)系為，；

—+10（21<x<30）

X

（1）計(jì)算第10天該果苗單價(jià)為多少元/株？

（2）求該基地銷售這種果苗20天里單日所獲利潤(rùn)y（元）關(guān)于第x（天）的函數(shù)關(guān)系式.

（3）“吃水不忘挖井人”，為回饋本地居民，基地負(fù)責(zé)人決定將區(qū)30天中，其中獲利最多的那天的利潤(rùn)全部捐

出，進(jìn)行“精準(zhǔn)扶貧”，試問(wèn)：基地負(fù)員人這次為“精準(zhǔn)扶貧”捐贈(zèng)多少錢？

13.某電子公司，生產(chǎn)并銷售一種新型電子產(chǎn)品，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每月生產(chǎn)x臺(tái)電子產(chǎn)品的成本y（元）

由三部分組成，分別是生產(chǎn)線投入、材料成本、人工成本，其中生產(chǎn)線投入固定不變?yōu)?000元，材料成本

（單位：元）與x成正比例，人工成本（單位：元）與x的平方成正比例，在生產(chǎn)過(guò)程中得到數(shù)下數(shù)據(jù)：

X（單位：臺(tái)）2040

y（單位：元）21042216

（1）求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若某月平均每臺(tái)電子產(chǎn)品的成本26元，求這個(gè)月共生產(chǎn)電子產(chǎn)品多少臺(tái)？

（3）若每月生產(chǎn)的電子產(chǎn)品均能售出，電子產(chǎn)品的售價(jià)也隨著x的增大而適當(dāng)增大，設(shè)每臺(tái)電子產(chǎn)品的售價(jià)

為。（單位：元），且有。=〃四+〃（陽(yáng)、”均為常數(shù)）,已知當(dāng)x=2000臺(tái)時(shí)，。為35元，且此時(shí)銷售利

潤(rùn)W（單位：元）有最大值，求"?、”的值（提示：銷售利潤(rùn)=銷售收入一成本費(fèi)用）

14.某文具店某種型號(hào)的計(jì)算器每個(gè)進(jìn)價(jià)14元，售價(jià)22元，多買優(yōu)惠，優(yōu)惠方法是：凡是一次買10個(gè)以

上的，每多買一個(gè)，所買的全部計(jì)算器每個(gè)就降價(jià)0.1元，例如：某人買18個(gè)計(jì)算器，于是每個(gè)降價(jià)

0.1x（l8-10）=0.8（元），因此所買的18個(gè)計(jì)算器都按每個(gè)21.2元的價(jià)格購(gòu)買，但是每個(gè)計(jì)算器的最低售

價(jià)為18元.

（1）一次至少購(gòu)買個(gè)計(jì)算器，才能以最低售價(jià)購(gòu)買

（2）寫出該文具店一次銷售x（x>10）個(gè)時(shí)，所獲利潤(rùn)y（元）與x（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x

的取值范圍；

（3）一天，甲顧客購(gòu)買了46只，乙顧客購(gòu)買了50只，店主發(fā)現(xiàn)賣46只賺的錢反而比賣50只賺的錢多，請(qǐng)

你說(shuō)明發(fā)生這一現(xiàn)象的原因；當(dāng)10<x450時(shí)，為了獲得最大利潤(rùn)，店家一次應(yīng)賣多少只？這時(shí)的售價(jià)是多

少？

15.隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)、科技的進(jìn)一步發(fā)展，我國(guó)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的機(jī)械化程度越來(lái)越高，過(guò)去的包產(chǎn)到戶就不太

適合機(jī)械化的種植.現(xiàn)在很多地區(qū)就出現(xiàn)了一種新的生產(chǎn)模式，很多農(nóng)民把自己的承包地轉(zhuǎn)租給種糧大戶

或者新型的農(nóng)村合作社，出現(xiàn)了大農(nóng)田，這些農(nóng)民則成為合作社里的工人，這樣更有利于機(jī)械化種植.河

南某地某種糧大戶，去年種植優(yōu)質(zhì)小麥360畝，平均每畝收益440元.他計(jì)劃令年多承租一些土地，預(yù)計(jì)

原來(lái)種植的360畝小麥，每畝收益不變.新承租的土地，每增加一畝，其每畝平均收益比去年每畝平均收

益減少2元.

⑴該大戶今年新承租多少畝土地，才能使總收益為182400元？

⑵該大戶今年應(yīng)新承租多少畝土地，可以使總收益最大，最大收益是多少？

16.紅星公司銷售一種成本為40元/件的產(chǎn)品，若月銷售單價(jià)不高于50元/件.一個(gè)月可售出5萬(wàn)件；月銷

售單價(jià)每漲價(jià)1元，月銷售量就減少01萬(wàn)件.其中月銷售單價(jià)不低于成本.設(shè)月銷售單價(jià)為x（單位：元/

件），月銷售量為y（單位：萬(wàn)件）.

（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當(dāng)月銷售單價(jià)是多少元/件時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

（3）為響應(yīng)國(guó)家“鄉(xiāng)村振興”政策，該公司決定在某月每銷售1件產(chǎn)品便向大別山區(qū)捐款“元.已知該公司

捐款當(dāng)月的月銷售單價(jià)不高于70元/件，月銷售最大利潤(rùn)是78萬(wàn)元，求〃的值.

17.在“鄉(xiāng)村振興”行動(dòng)中，某村辦企業(yè)以A,5兩種農(nóng)作物為原料開發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品，A原料的單價(jià)是5

原料單價(jià)的1.5倍，若用900元收購(gòu)A原料會(huì)比用900元收購(gòu)B原料少100kg.生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要A原料

2kg和5原料4kg,每盒還需其他成本9元.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價(jià)是60元時(shí)，每天可以銷售

500盒；每漲價(jià)1元，每天少銷售10盒.

（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本=原料費(fèi)+其他成本）；

（2）設(shè)每盒產(chǎn)品的售價(jià)是x元（x是整數(shù)），每天的利潤(rùn)是w元，求w關(guān)于x的函數(shù)解析式（不需要寫出自

變量的取值范圍）；

（3）若每盒產(chǎn)品的售價(jià)不超過(guò)。元（。是大于60的常數(shù)，且是整數(shù)），直接寫出每天的最大利潤(rùn).

18.甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對(duì)外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對(duì)話：

甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出.如果每輛汽車的月租費(fèi)

每增加50元，那么將少租出1輛汽車.另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元.

乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無(wú)論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850

元.

說(shuō)明：①汽車數(shù)量為擎數(shù)；

②月利潤(rùn)=月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；

③兩公司月利潤(rùn)差=月利潤(rùn)較高公司的利潤(rùn)-月利潤(rùn)較低公司的利潤(rùn).

在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是元；當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為

輛時(shí)，兩公司的月利潤(rùn)相等；

（2）求兩公司月利潤(rùn)差的最大值；

（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元（〃>（））給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)

仍高于乙公司月利潤(rùn)，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤(rùn)與乙公司月利潤(rùn)之差最大,

求a的取值范圍.

19.隨著龍蝦節(jié)的火熱舉辦，某龍蝦養(yǎng)殖大戶為了發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢(shì)，一次性收購(gòu)了10000kg小龍蝦，計(jì)劃養(yǎng)

殖一段時(shí)間后再出售.已知每天養(yǎng)殖龍蝦的成本相同，放養(yǎng)10天的總成本為166000,放養(yǎng)30天的總成本

為178000元.設(shè)這批小龍蝦放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為akg,銷售單價(jià)為y元/kg,根據(jù)往年的行情預(yù)測(cè)，a與t

[10000（0<r<20）

的函數(shù)關(guān)系為2=[]。0,+；（）00（2。<15。）7與1的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）設(shè)每天的養(yǎng)殖成本為m元，收購(gòu)成本為n元，求m與n的值；

（2）求y與I的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如果將這批小龍蝦放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤(rùn)為W元.問(wèn)該龍蝦養(yǎng)殖大戶將這批小龍蝦放養(yǎng)多少

天后一次性出售所得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

（總成本=放養(yǎng)總費(fèi)用+收購(gòu)成本；利潤(rùn)=銷售總額-總成本）

20.2020年新冠肺炎疫情期間，部分藥店趁機(jī)將口罩漲價(jià)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)某藥店某月（按30天計(jì)）前5天的

某型號(hào)口罩銷售價(jià)格。（元/只）和銷量q（只）與第x天的關(guān)系如下表：

第X天12345

銷售價(jià)格P（元/只）23456

銷量g（只）7075808590

物價(jià)部門發(fā)現(xiàn)這種亂象后，統(tǒng)一規(guī)定各藥店該型號(hào)口罩的銷售價(jià)格不得高于1元/只，該藥店從第6天起將

該型號(hào)口罩的價(jià)格調(diào)整為1元/只.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該藥店從第6天起銷量。（只）與第x天的關(guān)系為

^=-2X2+80X-200（6<X<30,且x為整數(shù)）,已知該型號(hào)口罩的進(jìn)貨價(jià)格為0.5元/只.

（1）京撰寫省該藥店該月前5天的銷售價(jià)格2與x和銷量夕與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求該藥店該月銷售該型號(hào)口罩獲得的利潤(rùn)W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式，并判斷第幾天的利潤(rùn)最大；

（3）物價(jià)部門為了進(jìn)一步加強(qiáng)市場(chǎng)整頓，對(duì)此藥店在這個(gè)月銷售該型號(hào)口罩的過(guò)程中獲得的正常利潤(rùn)之外

的非法所得部分處以用倍的罰款，若罰款金額不低于2000元，則，”的取值范圍為.

題型二幾何問(wèn)題

,月支出珠

1.如圖，四邊形A8CD是邊長(zhǎng)為2cm的正方形，點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別為邊AO,8中點(diǎn)，點(diǎn)0為正方形的中

心，連接。瓦。尸，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿E-O-尸運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度均

為lcm/s,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為fs,連接8P,PQ,V8PQ的面積為Sen?,

下列圖像能正確反映出S與，的函數(shù)關(guān)系的是（）

AED

S

2.如圖，一ABC是等邊三角形，AB=6cm,點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向以lcm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,

同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿射線C4方向以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也隨之停止.過(guò)

點(diǎn)M作MP〃C4交AB于點(diǎn)尸，連接MMNP,作關(guān)于直線MP對(duì)稱的JWVP,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6,

仞7'尸與_椒0重疊部分的面積為Scm?,則能表示S與f之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象為（）

3.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZA=45°,ZC=90°,AD=4cm,CD=3cm.動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)

從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)M以伍m/s的速度沿A8向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以2cm/s的速度沿折線4）-￡>C向終點(diǎn)C

運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為生，AMV的面積為Sen?,則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（）

4.如圖1,在四邊形ABC。中，fiC//AD,ZD=90°,ZA=45°,動(dòng)點(diǎn)P,。同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以億m/s

的速度沿AB向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)即停止），點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿折線DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，

設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Ms）,/\APQ的面積為"cn?），若丫與》之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖2所示，當(dāng)x=g（s）

時(shí)，貝!1'=cm2.

5.【生活情境】

為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對(duì)景觀帶中一個(gè)長(zhǎng)AD=4m,寬相=1m的長(zhǎng)方形水池ABC。進(jìn)

行加長(zhǎng)改造(如圖①，改造后的水池仍為長(zhǎng)方形，以下簡(jiǎn)稱水池1),同時(shí)，再建造一個(gè)周長(zhǎng)為12m

的矩形水池EFG”(如圖②，以下簡(jiǎn)稱水池2).

EEi-------------------------------------

A.----------------------------?---------聲水池2

水池；1

--------------------------------------------------------N尸?1G

圖①-------------------圖②圖②

【建立模型】

如果設(shè)水池ABC。的邊AO加長(zhǎng)長(zhǎng)度O0為x(m)(x>0),加長(zhǎng)后水池1的總面積為凹(0?),則以關(guān)于x的

函數(shù)解析式為：x=x+4(x>0)；設(shè)水池2的邊防的長(zhǎng)為x(m)(O<x<6),面積為內(nèi)仙?)，則y?關(guān)于x的

函數(shù)解析式為：%=-/+64(0<*<6),上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖③.

(1)若水池2的面積隨EF長(zhǎng)度的增加而減小，則及'長(zhǎng)度的取值范圍是(可省略單位)，水池2

面積的最大值是m2;

(2)在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是，此時(shí)的x(m)值是；

⑶當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，x(m)的取值范圍是；

(4)在l<x<4范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)x的值：

(5)假設(shè)水池A8C。的邊AO的長(zhǎng)度為/m),其他條件不變(這個(gè)加長(zhǎng)改造后的新水池簡(jiǎn)稱水池3),則水

池3的總面積為仙)關(guān)于x(m)(x>0)的函數(shù)解析式為：%=犬+匕(工>。).若水池3與水池2的面積相等時(shí),

x(m)有唯一值，求心的值.

6.某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成.已知墻長(zhǎng)25m,木柵欄長(zhǎng)47m,

在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口(另選材料建出入門).求雞場(chǎng)面積的最大值.

出入口

7.某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻(墻的長(zhǎng)度為10m),

另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m,設(shè)較小矩

形的寬為xm(如圖).

(1)若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2，求此時(shí)x的值；

(2)當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？

8.為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻(墻長(zhǎng)12m)

和21m長(zhǎng)的籬笆墻，圍成I、II兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地.某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案(除圍墻外，實(shí)

線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻)，請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問(wèn)題：

4RHB

H

F1IX口區(qū)

I區(qū)Il區(qū)

DGCDGC

圖①圖②

(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在I區(qū)中留一個(gè)寬度AE=lm的水池且需保證總種植面積

為32m工試分別確定CG、OG的長(zhǎng)；

(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問(wèn)BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？

9.如圖1,隧道截面由拋物線的一部分4E。和矩形ABC。構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊A8為2

米.以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)

度代表1米.E（0,8）是拋物線的頂點(diǎn).

1，VVV

圖1圖2圖3（方案一）圖3（方案二）

（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“E”型或“R”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)A，鳥在X軸

上，MN與矩形的一邊平行且相等.柵欄總長(zhǎng)/為圖中粗線段6鳥，鳥6，PR,MN長(zhǎng)度之和.請(qǐng)解

決以下問(wèn)題：

（i）修建一個(gè)“E”型柵欄，如圖2,點(diǎn)八，鳥在拋物線AEZ）上.設(shè)點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為機(jī)（0〈〃區(qū)6）,求

柵欄總長(zhǎng)/與m之間的函數(shù)表達(dá)式和/的最大值；

（ii）現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄，有如圖3所示的修建“E”型或“R”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你

從中選擇一種，求出該方案下矩形面積的最大值，及取最大值時(shí)點(diǎn)R的橫坐標(biāo)的取值范圍（1在巴右

側(cè)）.

10.如今我國(guó)的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分成熟.小明家的菜地上有一個(gè)長(zhǎng)為16米的蔬菜大棚，其橫

截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體A處，另一端固定在離地面高2米的墻體8處,

現(xiàn)對(duì)其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.已知大棚上某處離地面的高度y（米）與其離墻體A的水

圖2

(1)直接寫出b,c的值；

(2)求大棚的最高處到地面的距離；

(3)小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為3一7米的竹竿支架若干，已知大棚內(nèi)可以搭建支架的土

24

地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準(zhǔn)備多少根竹竿？

題型三構(gòu)造函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

￡.機(jī)珠

i.三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同.當(dāng)水面剛好淹沒小孔時(shí)，大孔水面

寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時(shí)，單個(gè)小孔的水面寬度為4米，若

大孔水面寬度為20米，則單個(gè)小孔的水面寬度為（）

A.4白米B.5&米C.29米D.7米

2.北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖1）,它由五個(gè)高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過(guò)吊

橋，拉鎖與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱（近似看成二次函數(shù)的圖象-拋物線）在同一豎直平面

內(nèi)，與拱腳所在的水平面相交于A,B兩點(diǎn)，拱高為78米（即最高點(diǎn)O到AB的距離為78米），跨徑為90

米（即AB=90米），以最高點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則此拋物線

3.豎直上拋物體離地面的高度〃（加）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間f（s）之間的關(guān)系可以近似地用公式h=-5r+v（/+%表示，

其中％（，〃）是物體拋出時(shí)離地面的高度，％（，*/5）是物體拋出時(shí)的速度.某人將一個(gè)小球從距地面1.5〃?的高

處以20m/s的速度豎直向上拋出，小球達(dá)到的離地面的最大高度為（）

A.23.5mB.22.5mC.21.5機(jī)D.20.5/n

4.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬6米，水面下降米，水面寬8米.

5.如圖，一拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為2機(jī)時(shí)，水面寬度為4處那么當(dāng)水位下降加后，水面

的寬度為m.

6.如圖，是一名男生推鉛球時(shí)，鉛球行進(jìn)過(guò)程中形成的拋物線.按照?qǐng)D中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行

17S

進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是〉=-*/+￥+：,則鉛球推出的水平距離

7.根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40m/s的速度將小球沿與地面成30。角的方向擊出，小球的

飛行高度做單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系是〃=-5/+207,當(dāng)飛行時(shí)間t為s

時(shí)，小球達(dá)到最高點(diǎn).

8.如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線是一條拋物線.若不考

慮空氣阻力，小球的飛行高度〃（單位：m）與飛行時(shí)間，（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：〃=-5/+20r,

則當(dāng)小球飛行高度達(dá)到最高時(shí)，飛行時(shí)間t=s.

9.如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，球沿拋物線y=-0.2V+x+2.25運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的

中心離地面的高度為3.05m,則他距籃筐中心的水平距離CW是m.

y

10.某學(xué)生在一平地上推鉛球，鉛球出手時(shí)離地面的高度為3米，出手后鉛球在空中運(yùn)動(dòng)的高度y（米）與

水平距離x（米）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-《/+for+c,當(dāng)鉛球運(yùn)行至與出手高度相等時(shí)，與出手點(diǎn)水平

距離為8米，則該學(xué)生推鉛球的成績(jī)?yōu)槊?

11.如圖，水池中心點(diǎn)。處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水

柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)。在同一水平面.安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O

點(diǎn)2.5m；噴頭高4m時(shí)，水柱落點(diǎn)距。點(diǎn)3m.那么噴頭高m時(shí)，水柱落點(diǎn)距。點(diǎn)4m.

12.崇左市政府大樓前廣場(chǎng)有一噴水池，水從地面噴出，噴出水的路徑是一條拋物線.如果以水平地面為x

軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線產(chǎn)-/+4x（單位：米）的一部分.則

水噴出的最大高度是米.

,//米

?AX

?、

■O\飛米

13.某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長(zhǎng)率都是x,則該

廠今年三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為丫=.

14.現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E

所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)。垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE=10m,

該拋物線的頂點(diǎn)P到OE的距離為9m.

（1）求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

（2）現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈.已知點(diǎn)A、

B到OE的距離均為6m,求點(diǎn)A、B的坐標(biāo).

15.甲秀樓是貴陽(yáng)市一張靚麗的名片.如圖①，甲秀樓的橋拱截面可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)

刻，橋拱內(nèi)的水面寬。4=8m,橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4m.

（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來(lái)，當(dāng)船駛到橋拱下方且距。點(diǎn)0.4m時(shí)，橋下水位剛好在。4處.有

一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會(huì)觸碰到橋拱，請(qǐng)說(shuō)明理由（假設(shè)船底

與水面齊平）；

（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線丫=辦2+法+。（“父0）,該拋物線在x軸下方部分與橋拱054在

平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象.將新函數(shù)圖象向右平移，〃（山＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的函數(shù)圖象

在84x49時(shí)，的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求機(jī)的取值范圍.

16.小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m,水

柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋

物線的表達(dá)式為y=4(x-其中x(m)是水柱距噴水頭的水平距離，y(m)是水柱距地面的高度.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m,身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好

接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離.

17.某游樂場(chǎng)的圓形噴水池中心。有一雕塑從