2022年2月9日內(nèi)容三角恒等變換與解三角形（課堂）

2020年2月9日內(nèi)容-三角恒等變換與解三角形上杭一中邱克榮1.三角函數(shù)的化簡與求值是高考的命題熱點，其中關鍵是利用兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等進行恒等變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心；2.正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查邊、角、面積的計算及有關的范圍問題.解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.答案

B答案A3.(2018·全國Ⅰ卷)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍.由(1)知A＋C＝120°，1.三角函數(shù)公式2.正弦定理、余弦定理、三角形面積公式(1)正弦定理熱點一三角恒等變換及應用(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值.探究提高1.三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角(名)，化簡求值.三角變換的關鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系.2.求解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小.求解時，盡量縮小角的取值范圍，避免產(chǎn)生增解.答案

C熱點二正弦定理與余弦定理角度1利用正(余)弦定理進行邊角計算解

(1)由asinB－bcosA＝0及正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，即sinB(sinA－cosA)＝0，又B為三角形的內(nèi)角，知sinB≠0，所以sinA－cosA＝0，即sinA＝cosA.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，探究提高

1.高考的熱點是利用正弦定理、余弦定理求三角形的邊、角、面積等基本計算，或?qū)蓚€定理與三角恒等變換相結(jié)合綜合解三角形.2.關于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口.(1)求角C；(2)若AD是BC上的中線，延長AD至點E，使得DE＝2AD＝2，求E，C兩點的距離.DE＝2，所以AE＝3，角度2正、余弦定理的實際應用解析因為小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.所以這輛汽車的速度約為22.6m/s.答案

22.6探究提高1.實際問題經(jīng)抽象概括后，若已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.實際問題經(jīng)抽象概括后，若已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解.解析由題意，設AC＝x米，則BC＝(x－40)米，在△ABC內(nèi)，由余弦定理，得BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420(米).答案B熱點三與解三角形相關的交匯問題因為a2＝b2＋c2－2bccosA，所以12＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，探究提高1.該題求解的關鍵是利用向量的知識將條件“脫去向量外衣”，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關知識進行求解.2.與解三角形有關的交匯問題的關注點(1)根據(jù)條件恰當選擇正弦、余弦定理完成邊角互化.(2)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、面積公式等，靈活運用三角恒等變換公式.【訓練4】

(2019·天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2a，3csinB＝4asinC. (1)求cosB的值；解

(1)在△ABC中，由已知及正弦定理得bsinC＝csinB.又3csinB＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a.①又b＋c＝2a，②1.對于三角函數(shù)的求值，需關注：(1)尋求角與角關系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準確地應用公式；(2)注意切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運用；(3)對于條件求值問題，要認真尋找條件和結(jié)論的關系，尋找解題的突破口，對于很難入手的問題，可利用分析法.2.三角形中判斷邊、角關系的具體方法： (1)通過正弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；(2)通過余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；(3)通過三角變換找出角之間的關系；(4)通過三角