理論力學之點的合成運動

第八章點的合成運動理論力學1中南大學土木建筑學院研究點和剛體的運動地面為參考系不同參考系上觀察物體的運動會有不同的結果相對于地面運動的物體為參考系實際問題中需要理論力學2中南大學土木建筑學院§8-1點的合成運動概念動點定系動系絕對運動相對運動絕對速度絕對加速度相對速度相對加速度點的運動固結于地面上的坐標系固結于相對于地面運動物體上的坐標系絕對軌跡相對軌跡牽連運動動系相對于定系的運動剛體運動理論力學3中南大學土木建筑學院動點動系不同瞬時，動點在動系中的位置不同。牽連點設想該瞬時將該動點固結在動系上，而隨著動系一起運動所具有的速度和加速度。即受動參考系這個剛體的拖帶或牽連而產(chǎn)生的速度和加速。相對運動牽連點是動系上的點，不同瞬時牽連點不同！在某瞬時，動系中與動點相重合的點。牽連點對定系的速度和加速度分別稱為

的牽連速度與牽連加速度

動點理論力學4中南大學土木建筑學院動點：

AB桿上A點動系：固結于凸輪上定系：固結在地面上凸輪頂桿機構理論力學5中南大學土木建筑學院絕對運動：鉛直運動相對運動：曲線(圓弧)運動牽連運動：凸輪直線平移理論力學6中南大學土木建筑學院絕對速度：相對速度：牽連速度：理論力學7中南大學土木建筑學院絕對加速度：相對加速度：牽連加速度：理論力學8中南大學土木建筑學院絕對運動：曲線（圓周）相對運動：直線牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動圓輪搖桿機構動點：A（在圓盤上)動系：O'A擺桿定系：機架理論力學9中南大學土木建筑學院動點：AB桿上的A點

動系：偏心輪

絕對運動：直線相對運動：圓周（曲線）牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動理論力學10中南大學土木建筑學院搖桿滑道機構絕對運動：點A的水平直線運動；相對運動：點A沿OB軸線的運動；牽連運動：OB桿的定軸轉(zhuǎn)動。動點:銷子A(CD上);動系:固結于OB。理論力學11中南大學土木建筑學院曲柄滑塊機構動點:O1A上A點;動系:固結于BCD上。絕對運動：圓周運動;相對運動：直線運動;牽連運動：BCD平移動點:BCD上的套筒F點;動系:固結于O2E上。絕對運動：直線運動；相對運動：直線運動；牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動。再選理論力學12中南大學土木建筑學院刨床機構理論力學13中南大學土木建筑學院建立動點的絕對速度，相對速度和牽連速度之間的關系。＝＋當t

→

t+△t

AB→

A'B'

M→M'也可看成M→

M１

→

M′MM'

為絕對軌跡MM'

為絕對位移

M1M'為相對軌跡M1M'

為相對位移將上式兩邊同除以后，時的極限，得取§8-2點的速度合成定理一、證明理論力學14中南大學土木建筑學院理論力學15中南大學土木建筑學院說明：va—動點的絕對速度；

vr—動點的相對速度；

ve—動點的牽連速度，是動系上一點(牽連點)的速度

①動系作平移時，動系上各點速度都相等;

②動系作轉(zhuǎn)動時，ve必須是該瞬時動系上與 動點相重合點的速度。

即在任一瞬時動點的絕對速度等于其牽連速度與相對速度的矢量和，這就是點的速度合成定理。理論力學16中南大學土木建筑學院點的速度合成定理是瞬時矢量式，共包括大小?方向六個元素，已知任意四個元素，就能求出其他兩個。二、應用舉例[例]橋式吊車已知：小車水平運行，速度為v平，物塊A相對小車垂直上升的速度為v

。求物塊A的運行速度。理論力學17中南大學土木建筑學院作出速度平四邊形如圖示，則物塊Ａ的速度大小和方向為解：選取動點:物塊A

動系:小車靜系:地面相對運動:直線;相對速度vr=v

方向

牽連運動:平移;牽連速度ve=v平方向絕對運動:曲線;絕對速度va

的大小,方向待求。由速度合成定理：理論力學18中南大學土木建筑學院解：取OA桿上A點為動點，擺桿O1B

為動系，基座為靜系。 絕對速度va

=r

，方向

OA

相對速度vr

=?，方向//O1B

牽連速度ve

=?，方向

O1B（）[例]曲柄擺桿機構。已知：OA=r,

,

OO1=l。圖示瞬時OA

OO1

求：擺桿O1B角速度

1由速度合成定理va=vr+

ve

作出速度平行四邊形如圖示。理論力學19中南大學土木建筑學院由速度合成定理va=vr+

ve

，作出速度平行四邊形如圖示。解：動點取直桿上A點，動系固結于圓盤，靜系固結于基座。絕對速度va=?待求，方向//AB

相對速度vr

=?未知，方向

CA

牽連速度ve=OA

=2e,方向

OA[例]圓盤凸輪機構已知：OC＝e,

,

（勻角速度）圖示瞬時,OC

CA

且

O、A、B三點共線。求：從動桿AB的速度。理論力學20中南大學土木建筑學院理論力學21中南大學土木建筑學院由上述例題可看出，求解合成運動的速度問題的一般步驟為：①選取動點，動系和靜系；②三種運動的分析；③三種速度的分析；④根據(jù)速度合成定理作出速度平行四邊形。根據(jù)速度平行四邊形，求出未知量。恰當?shù)剡x擇動點、動系是求解合成運動問題的關鍵。理論力學22中南大學土木建筑學院動點、動系的選擇原則①動點、動系和靜系必須分別屬于三個不同的物體，否則絕對、相對和牽連運動中就缺少一種運動，不能成為合成運動②動點相對動系的相對運動軌跡要易于直觀判斷。（已知絕對運動和牽連運動求解相對運動的問題除外）理論力學23中南大學土木建筑學院

分析：相接觸的兩個物體的接觸點位置都隨時間而變化，因此兩物體的接觸點都不宜選為動點，否則相對運動的分析就會很困難。這種情況下，需選擇滿足上述兩條原則的非接觸點為動點。[例]已知:凸輪半徑r,圖示時已知桿OA靠在凸輪上。求：桿OA的角速度。理論力學24中南大學土木建筑學院解:取凸輪上C點為動點,

動系固結于OA桿上,

靜系固結于基座。絕對運動:直線運動,絕對速度:相對運動:直線運動,相對速度:牽連運動:定軸轉(zhuǎn)動,牽連速度:

如圖示。根據(jù)速度合成定理做出速度平行四邊形（）理論力學25中南大學土木建筑學院[例]AB桿以速度v1向上作平動，CD桿斜向上以速度v2作平動，兩條桿的夾角為a，求套在兩桿上的小環(huán)M的速度。MBCDαAv2v1ve1vr1vr2ve2va解取M為動點，AB為動坐標系，相對速度、牽連速度如圖。取M為動點，CD為動坐標系，相對速度、牽連速度如圖。由上面兩式可得：其中理論力學26中南大學土木建筑學院將等式兩邊同時向y軸投影：則動點M的絕對速度為：αMABCDv2v1ve1vr1vr2ve2vay理論力學27中南大學土木建筑學院由于牽連運動為平移，故由速度合成定理對t求導§8-3牽連運動為平移時點的加速度合成定理

設有一動點M按一定規(guī)律沿著固連于動系O'x'y'z'的曲線AB運動,而曲線AB同時又隨同動系O'x'y'z'相對靜系Oxyz平移。理論力學28中南大學土木建筑學院(其中 為動系坐標的單位矢量，因為動系為平移，故它們的方向不變，是常矢量，所以 ）—牽連運動為平移時點的加速度合成定理即當牽連運動為平移時，動點的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和?！嘁话闶娇蓪憺椋豪碚摿W29中南大學土木建筑學院解：取桿上的A點為動點，動系與凸輪固連。[例]已知：凸輪半徑求：j=60o時,頂桿AB的加速度。理論力學30中南大學土木建筑學院由速度合成定理做出速度平行四邊形,如圖示。

絕對速度va=?,方向//AB

；絕對加速度aa=?,方向//AB，待求。相對速度vr

=?,方向

CA;相對加速度art=?方向

CA ,方向沿CA指向C牽連速度ve=v0,方向→;牽連加速度ae=a0,方向→理論力學31中南大學土木建筑學院因牽連運動為平移，故有將上式投影到法線上，得整理得

作加速度矢量圖如圖示n理論力學32中南大學土木建筑學院上一節(jié)我們證明了牽連運動為平移時的點的加速度合成定理，那么當牽連運動為轉(zhuǎn)動時，上述的加速度合成定理是否還適用呢？下面我們來分析一特例?！?-4牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理設一圓盤以勻角速度

繞定軸Ｏ順時針轉(zhuǎn)動，盤上圓槽內(nèi)有一點M以大小不變的速度vr

沿槽作圓周運動，那么M點相對于靜系的絕對加速度應是多少呢？理論力學33中南大學土木建筑學院相對運動為勻速圓周運動，（方向如圖）由速度合成定理可得出選點M為動點，動系固結與圓盤上，則M點的牽連運動為勻速轉(zhuǎn)動即絕對運動也為勻速圓周運動，所以方向指向圓心Ｏ點理論力學34中南大學土木建筑學院分析上式： 還多出一項2vr。

可見，當牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度并不等于牽連加速度和相對加速度的矢量和。那么他們之間的關系是什么呢？2vr又是怎樣出現(xiàn)的呢？它是什么呢？下面我們就來討論這些問題，推證牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理。理論力學35中南大學土木建筑學院rO'O'j'k'i'y'z'x'xyzO設動參考系O'x'y'z'以角速度we繞定軸轉(zhuǎn)動，不失一般性，取定坐標系的z軸為其轉(zhuǎn)軸。設k'的端點A的矢徑為rA，則A點的速度既等于rA對時間的一階導數(shù)，又可用矢積來表示，即ArAwe理論力學36中南大學土木建筑學院同樣可得i'、j'的導數(shù)。k'xyrMrO'r'M(M')O'j'i'y'z'x'zO理論力學37中南大學土木建筑學院點的加速度合成定理：動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和。令 ,稱為科氏加速度，于是有理論力學38中南大學土木建筑學院三種速度分析牽連速度相對速度絕對速度

t

瞬時在位置Ｉt+Dt瞬時在位置II可以看出，經(jīng)過Dt時間間隔，牽連速度和相對速度的大小和方向都變化了。設有已知桿OA在圖示平面內(nèi)以勻

繞軸O轉(zhuǎn)動，套筒M（可視為點M）沿直桿作變速運動。取套筒M為動點，動系固結于桿OA上，靜系固結于機架。理論力學39中南大學土木建筑學院其中--相對速度大小的改變量，它與牽連轉(zhuǎn)動無關。

--由于牽連轉(zhuǎn)動而引起的相對速度方向的改變量，與牽連轉(zhuǎn)動的

的大小有關

。

Dt時間間隔內(nèi)的速度變化分析相對速度：由 作速度矢量三角形，在矢量上截取長度后，分解為和牽連速度：由 作速度矢量三角形，在矢量上截取等于長后，將分解為和，理論力學40中南大學土木建筑學院其中:

—由于牽連轉(zhuǎn)動而引起的牽連速度方向的改變量，與相對運動無關。

—動點的牽連速度，由于相對運動而引起的大小改變量，與相對速度有關。加速度分析根據(jù)加速度定義上式中各項的物理意義如下：第一項大?。豪碚摿W41中南大學土木建筑學院方向：Dt

0時，D

0,其方向沿著直桿指向A點。因此，第一項正是t

瞬時動點的牽連加速度。第三項大?。簽閷诖笮「淖?方向：總是沿直桿。因此，該項恰是ｔ瞬時動點的相對加速度。第二項大小：該項為由于相對運動的存在而引起牽連速度的大小改變的加速度。第四項大?。哼@一項表明由于牽連轉(zhuǎn)動而引起相對速度方向改變的加速度。理論力學42中南大學土木建筑學院由于第二項和第四項所表示的加速度分量的大小，方向都相同，可以合并為一項，用表示，稱為科里奧利加速度，簡稱科氏加速度。所以，當牽連運動為轉(zhuǎn)動時，加速度合成定理為牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度等于它的牽連加速度，相對加速度和科氏加速度三者的矢量和。一般式

一般情況下

科氏加速度的計算可以用矢積表示理論力學43中南大學土木建筑學院解:動點:頂桿上A點；動系:凸輪;靜系:地面。絕對運動:直線;

絕對速度:va=?待求,方向//AB;

相對運動:曲線;相對速度:vr=?方向

n;

牽連運動:定軸轉(zhuǎn)動;

牽連速度:ve=r，方向

OA，

方向：按右手法則確定。[例]已知凸輪機構以勻

繞O軸轉(zhuǎn)動，圖示瞬時OA=r

，A點曲率半徑

,

已知。求：該瞬時頂桿AB的速度和加速度。理論力學44中南大學土木建筑學院根據(jù)速度合成定理做出速度平行四邊形，求得理論力學45中南大學土木建筑學院由牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理根據(jù)圖示加速度矢量圖：向n軸投影：理論力學46中南大學土木建筑學院點M2的科氏加速度解：點M1的科氏加速度

垂直板面向里。

[例]矩形板ABCD以勻角速度

繞固定軸z轉(zhuǎn)動，點M1和點M2分別沿板的對角線BD和邊線CD運動，在圖示位置時相對于板的速度分別為和，計算點M1、

M2的科氏加速度大小,并圖示方向。DABC理論力學47中南大學土木建筑學院解：根據(jù)做出速度平行四邊形方向：與相同。[例]曲柄擺桿機構已知：O1A＝r,

,

,

1;取O1A桿上A點為動點，動系固結O2B上，試計算動點A的科氏加速度。理論力學48中南大學土木建筑學院第八章點的合成運動習題課一、概念及公式

1、一點、二系、三運動點的絕對運動為點的相對運動與牽連運動的合成．

2、速度合成定理

3、加速度合成定理牽連運動為平移時牽連運動為轉(zhuǎn)動時理論力學49中南大學土木建筑學院二、解題步驟

1、選擇動點、動系、靜系。

2、分析三種運動：絕對運動、相對運動和牽連運動。

3、作速度分析,畫出速度平行四邊形,求出有關未知量(速度,

角速度）。

4、作加速度分析，畫出加速度矢量圖，求出有關的加速度、角加速度未知量。理論力學50中南大學土木建筑學院

三、解題技巧

1、恰當?shù)剡x擇動點和動系,應滿足選擇原則，具體地有：

①兩個不相關的動點，求二者的相對速度。根據(jù)題意，選擇其中之一為動點，動系為固結于另一點的平移坐標系。

②運動剛體上有一動點，點作復雜運動。該點取為動點，動系固結于運動剛體上。

③機構傳動，傳動特點是在一個剛體上存在一個不變的接觸點，相對于另一個剛體運動。導桿滑塊機構：典型方法是動系固結于導桿，取滑塊為動點。凸輪挺桿機構：典型方法是動系固結與凸輪，取挺桿上與凸輪接觸點為動點。理論力學51中南大學土木建筑學院

④特殊問題，特點是相接觸兩個物體的接觸點位置都隨時間而變化，此時，這兩個物體的接觸點都不宜選為動點，應選擇滿足前述的選擇原則的非接觸點為動點。2、速度問題，采用幾何法求解簡便,即作出速度平行四邊形；

加速度問題，往往超過三個矢量，一般采用解析（投影）法求解，投影軸的選取依解題簡便的要求而定。理論力學52中南大學土木建筑學院四、注意問題

1、牽連速度及加速度是牽連點的速度及加速度。

2、牽連為轉(zhuǎn)動時加速度分析不要丟掉，正確分析和計算。

3、加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，特別要注意與靜力平衡方程的投影式不同。

4、圓周運動時，非圓周運動時，(r

為曲率半徑)理論力學53中南大學土木建筑學院解：動點：OA桿上A點;動系：固結在滑桿上;靜系：固結在機架上。

絕對運動：圓周運動，相對運動：直線運動，牽連運動：平移；方向水平，大小待求。已知:OA＝l,

=45o

時，w,e;求：小車的速度與加速度．[例1]

曲柄滑桿機構理論力學54中南大學土木建筑學院小車的速度：

根據(jù)速度合成定理 做出速度平行四邊形,如圖示投至x軸：，方向如圖示小車的加速度：根據(jù)牽連平移的加速度合成定理做出加速度矢量圖如圖示。理論力學55中南大學土木建筑學院解：動點:銷子D(BC上);動系:固結于OA；靜系:固結于機架。

絕對運動：直線運動， 相對運動：直線運動，，沿OA線 牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動，（）根據(jù)速度合成定理做出速度平行四邊形,如圖示。[例2]搖桿滑道機構已知求:OA桿的

,

。理論力學56中南大學土木建筑學院投至

軸：（）根據(jù)牽連轉(zhuǎn)動的加速度合成定理理論力學57中南大學土木建筑學院解：動點:O1A上A點;動系:固結于BCD上,靜系固結于機架上。

絕對運動：圓周運動;

相對運動：直線運動;

牽連運動：平移;

，水平方向[例3]

曲柄滑塊機構。已知O1A=

r,w1,q,h。圖時瞬時O1A//O2E。求:該瞬時O2E桿的w2。

理論力學58中南大學土木建筑學院根據(jù) 做出速度平行四邊形再選動點：BCD上F點動系：固結于O2