二次函數(shù)與一元二次方程 市賽獲獎

課題：§22.2二次函數(shù)與一元二次方程

順昌一中劉愛鳳內容分析1、課標要求

使學生了解一元二次方程的根的幾何意義（拋物線與x軸的交點的橫坐標），知道拋物線與x軸的三種位置關系對應著一元二次方程的根的三種情況，會利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解

。2、教材分析

知識層面：本節(jié)課是人教版數(shù)學九年級上冊第二十二章第二節(jié)內容，是學生已經學過“函數(shù)”“一次函數(shù)”“一次函數(shù)與一元一次方程、不等式”“二次函數(shù)”“二次函數(shù)的圖像和性質”等內容，經歷了探究一次函數(shù)圖象，經歷了探究一次函數(shù)與一次方程，不等式的關系，為本節(jié)課的學習奠定了知識基礎，這節(jié)將由一次函數(shù)、一次方程一次不等式提升為二次函數(shù)二次不等式，所得知識再次貼近生活，更具有應用性，思維跨度較大，符合“數(shù)學有由淺入深，由易到難”的發(fā)展原則。內容分析

能力層面：學生經歷了探究一次函數(shù)與一次方程，不等式的關系探究，已具有一定數(shù)與形的轉化初步思想，已具備用函數(shù)的觀點看方程和不等式的學習能力，本節(jié)課第二次學習函數(shù)與方程的聯(lián)系，特別是從數(shù)上看二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)值為零時對應自變量x的值就是方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的解，讓學生不斷體會數(shù)形結合，使數(shù)學、思想、方法、知識，技能融于一體，對培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力具有奠基和示范啟迪作用。內容分析

鑒于以上分析，我選擇二次函數(shù)與一元二次方程作為培養(yǎng)學生的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想能力的一個關鍵教學內容。

綜上所述，本節(jié)課的教學重點是：理解二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。

思想層面：從知識建構的層面看，在八年級下一次函數(shù)與一次方程、不等式的聯(lián)系之后學二次函數(shù)與二次方程的學習，從簡單到復雜的探索推導過程蘊含數(shù)學歸納類比思想，由此看來，在思想層面上，一次函數(shù)與一次方程的學習對二次函數(shù)與二次方程的學習產生了正向的影響，同時也為高中新函數(shù)與方程的學習提供類比方法，打下堅實基礎。

教學目標數(shù)學知識層面：會從函數(shù)的角度看一元二次方程實際上是已知二次函數(shù)圖象上的縱坐標求其對應的橫坐標，用函數(shù)圖象的觀點看不等式，需要把不等式的解集看成圖象上縱坐標的值在一定范圍內點對應的橫坐標的值的集合，而且為學習下一節(jié)實際問題與二次函數(shù)內容奠定了基礎。

教學目標數(shù)學能力層面：通過探索出二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的聯(lián)系過程，使學生的分析與歸納能力得到提高，并引導學生由數(shù)形結合的角度觀察問題，分析問題，并會用嚴謹?shù)臄?shù)學語言描述歸納拋物線與x軸交點情況與一元二次方程的判別式的關系，對學生綜合解題能力的提高有很大幫助。

教學目標數(shù)學思想層面：

由熟悉的一次函數(shù)，一次函數(shù)與一元方程、不等式關系的學習，到二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系的問題解決，滲透類比思想，經歷用函數(shù)圖象求方程和不等式的解或解集的過程，進一步體會“以形表示數(shù)，以數(shù)釋形”的數(shù)形結合思想及函數(shù)與方程的思想。

教學策略1、讓學生經歷“復習——對比——探究——提升——應用”的數(shù)學活動過程，啟發(fā)學生從熟悉的知識入手，通過類比，轉化，驗證新的知識，讓學生在學習中積累了一定的探索與推理的經驗，進而發(fā)展學生的推理能力?！皬土暋獙Ρ取骄俊嵘獞谩?、通過自主探究與合作交流的學習方式，發(fā)揮學生的主體作用，并用數(shù)形結合化難為易，讓學生在具體問題的解決過程中體會成功的喜悅。

教學過程溫故知新類比探究

遷移應用

回顧反思

課后反饋

成效評價xy溫故知新

復習：

問題1、如圖，一次函數(shù)y=2x+1，當x為何值時，對應的函數(shù)值：（1）y等于0?（2）y等于3?（3）y大于0?（4）y小于0?y=0x=-0.5y=2x+1y=3x=1x>-0.5x<-0.5追問：能用函數(shù)的觀點，從數(shù)和形兩個角度說說你對一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的聯(lián)系嗎？溫故知新師生互動：從數(shù)的角度看:（1）相當于求一元一次方程2x+1=0的解,（2）相當于求一元一次方程2x+1=3的解。（3）相當于求一元一次不等式2x+1>0的解,（4）相當于求一元一次不等式2x+1<0的解。溫故知新從形的角度看:（1）相當于函數(shù)y=2x+1的圖象上函數(shù)值y為0時求對應自變量x的值。（2）相當于函數(shù)y=2x+1的圖象上，函數(shù)值y為3時求對應自變量x的值。（3）相當于求圖象在x軸上方部分對應自變量x的范圍。（4）相當于求圖象在x軸下方部分對應自變量x的范圍。設計意圖：復習回顧一次函數(shù)與一次方程，一元一次不等式之間的聯(lián)系，用函數(shù)的觀點解釋方程和不等式的解或解集的意義，研究幫助學生體會函數(shù)，方程，不等式的聯(lián)系，為今天自主研究二次函數(shù)，方程，不等式的聯(lián)系做鋪墊，形象化的對照，滲透類比思想。類比探究問題2、解下列方程，他們有什么共同特點？你能從函數(shù)的角度對這三個方程進行解釋嗎？（1）x2-4x+3=0（2）x2-4x+3=3（3）x2-4x+3=8師生互動：教師引導學生發(fā)現(xiàn)：解這三個方程就是求函數(shù)

y=x2-4x+3=0函數(shù)值分別為0,3,8時對應的自變量的量的值，如右圖：0134xy類比探究師生互動：教師引導學生得出：一般地，一元二次方程ax2+bx+c=m(a、b、c、m為常數(shù)，a≠0)的解就是當函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為m時的自變量的值。設計意圖：用數(shù)形結合的方法，建立二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，并培養(yǎng)學生主動表達的意識和歸納總結的能力。追問：能把得到的結論推廣成一般情況嗎？類比探究問題3：解下列方程，它們有什么共同特點，你能從函數(shù)的角度對這三個方程進行解釋嗎？（1）x2+x-2=0（2）x2-6x+9=0（3）x2-x+1=0師生互動：

教師引導學生得出：解這三個方程就是求對應二次函數(shù)y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2-x+1的函數(shù)值為0時對應自變量的值，如右圖：y=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1xy0類比探究追問1：從形上看:

方程（1）兩個不等的解就是對應二次函數(shù)y=x2+x-2與x軸交點的橫坐標。

方程（2）兩個相等解就是對應二次函數(shù)y=x2-6x+9與x軸交點只有一個交點的橫坐標。

方程（3）無解就是對應二次函數(shù)y=x2-x+1與x軸無交點類比探究追問2:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點情況與一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情況有何聯(lián)系？師生互動：教師引導下得出：①如果一元二次方程有兩不等實根，即△＞0，那么相應二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點。②如果一元二次方程有兩相等實根，即△=0，那么相應二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點（頂點落在x軸）。③如果一元二次方程沒有實根，即△＜0，那么相應二次函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點。設計意圖：建立二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，滲透函數(shù)與方程的思想，并使學生不斷體會數(shù)形結合的精妙之處,使數(shù)學思想，方法，知識，技能融于一體，使得“數(shù)量關系”與“空間形式”珠聯(lián)璧合，相映生輝。xy0類比探究問題3、根據函數(shù)y=x2-x-的圖象，回答下列問題：(1)當x取何值時，y＞0?當x取何值時y＜0?(2)你能用含有x的不等式來描述（1）中的問題嗎？即：x2-x-＞0的解集是什么？

x2-x-＜0的解集是什么？(3)想一想：二次函數(shù)與一元二次不等式有何關系？類比探究師生互動歸納：讓學生類比二次函數(shù)與一元二次不等式方程的關系，討論、交流，達成共識：(1)從“形”的方面看:

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在x軸上方的圖象上的點的橫坐標，即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x軸下方的圖象上的點的橫坐標．即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集。

類比探究(2)從“數(shù)”的方面看：

當二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于0時，相應的自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；當二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值小于0時，相應的自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集；這一結論反映了二次函數(shù)與一元二次不等式的關系。

關鍵點：先確定二次函數(shù)與x軸的交點。設計意圖：讓學生討論交流達成共識，培養(yǎng)學生表達的意識和能力，突出數(shù)學建模環(huán)節(jié)，會用函數(shù)圖象解一元二次不等式，為高中學習打下堅實基礎。遷移應用問題4、如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有函數(shù)關系h=20t-5t2考慮以下問題：(1)小球的飛行高度能否達到15m？如果能，需要多少飛行時間？(2)小球的飛行高度能否達到20m?如果能，需要多少飛行時間？(3)小球的飛行高度能否達到20.5m?為什么？(4)小球從飛出到落地需要用多少時間？遷移應用師生互動：在第（1）小題中，一元二次方程有兩個解，從函數(shù)解析式看，就是自變量取這兩個值時函數(shù)值為15，從函數(shù)的圖象看，就是直線h=15與拋物線h=20t-5t2有兩個公共點。在第（2）小題中，一元二次方程有兩個相同解，從函數(shù)解析式看，就是自變量取這個值時函數(shù)值為20，從函數(shù)的圖象看，就是直線h=20與拋物線h=20t-5t2有一個公共點。遷移應用師生互動：在第（3）小題中，一元二次方程無實數(shù)解，從函數(shù)解析式看，就是自變量取任何實數(shù)值時函數(shù)值都不會為20.5，從函數(shù)的圖象看，就是直線h=20.5與拋物線h=20t-5t2沒有公共點。在第（4）小題中，“落地”就是函數(shù)值為0相應方程的解，從函數(shù)的圖象看，就是求x軸與拋物線h=20t-5t2有兩個公共點的橫坐標。設計意圖：通過小球飛行問題說明、鞏固二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，幾個小問題都可以轉化為用一元二次方程求解，體現(xiàn)學以致用的道理。遷移應用問題5：利用函數(shù)圖象求方程x2-2x-2=0的實根（結果保留小數(shù)后一位）。解：畫出函數(shù)y=x2-2x-2的圖象，如圖，它與x軸交點的橫坐標大約是-0.7，2.7。所以方程x2-2x-2=0的實根為x≈-0.7x≈2.7xy設計意圖：介紹用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根的方法。成效評價1、二次函數(shù)y=-x2-4x+3與x軸交點個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.32、已知二次函數(shù)y=kx2-6x+3的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）

A.k＜3B.k＜3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠0設計意圖：考察學生二次函數(shù)與x軸交點與一元二次方程的判別式關系的掌握情況。DD3、無論x為何值，y=ax2+bx+c恒為正的條件是（）

A.a＞0，b2-4ac＞0B.a＜0，b2-4ac＞0C.a＞0，b2-4ac＜0D.a＜0，b2-4ac＜04、拋物線y=ax2+bx+c的部分如圖如圖所示，則當y＞0時，x的取值范圍是_________。5、二次函數(shù)y1=ax2+bx+c和一次函數(shù)y2=kx(k≠0)的圖象交于原點和點A，當y1＜y2時，對應的x的取值范圍是________。-3-101xyy1y2xy0設計意圖：考察學生二次函數(shù)與一元二次不等式（組）的關系掌握情況，以及數(shù)形結合思想。成效評價C-1<x<3x<-3或x>06、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據圖象回答下列問題：xy0設計意圖：考查學生二次函數(shù)與方程、不等式的關系掌握情況，及綜合分析能力。成效評價(1).寫出方程ax2+bx+c=0的兩根；(2).寫出不等式ax2+bx+c＞0的解集；答：x1=1，x2=3。(3).若方程ax2+bx+c=k有兩個不等的實根，求