北京市東城區(qū)第十一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

北京市東城區(qū)第十一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)f(x)＝2x－5零點(diǎn)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)（）.A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)2．已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)則A.，且在上單調(diào)遞減B.，且在單調(diào)遞增C.且在上單調(diào)遞減D.，且在上單調(diào)遞增3．圓與圓有（）條公切線(xiàn)A.0 B.2C.3 D.44．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A. B.C. D.5．函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象大致為（）A. B.C. D.6．如果角的終邊在第二象限，則下列結(jié)論正確的是A. B.C. D.7．函數(shù)f(x)=tan的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(k∈Z) B.(k∈Z)C.(k∈Z) D.(k∈Z)8．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B.C. D.9．已知（）A. B.C. D.10．直線(xiàn)l1：x+ay+1＝0與l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直，則直線(xiàn)l2的斜率為（）A. B.C.1 D.﹣1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M為AC的中點(diǎn)，沿BM把△ABC折成二面角，折后A與C的距離為1，則二面角C—BM—A的大小為_(kāi)____________．12．已知冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的范圍為_(kāi)_______13．已知函數(shù),若方程有四個(gè)不同的解,且,則的最小值是______,的最大值是______.14．已知，則_________15．化簡(jiǎn)=________16．已知f（x）=mx3-nx+1（m，n∈R），若f（-a）=3，則f（a）=______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．函數(shù)，在內(nèi)只取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（1）求此函數(shù)的解析式；（2）求此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間18．已知函數(shù)為奇函數(shù)（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．設(shè)函數(shù)，其中，且.（1）求的定義域；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上是否存在不同兩點(diǎn)，使過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于軸，并證明.20．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù).(i)證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；(ii)若對(duì)任意，總存在，使得成立，求的取值范圍.21．如圖1，直角梯形ABCD中，，，．如圖2，將圖1中沿AC折起，使得點(diǎn)D在平面ABC上的正投影G在內(nèi)部．點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．連接DB，DE，三棱錐D－ABC的體積為．對(duì)于圖2的幾何體（1）求證：；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)閱握{(diào)遞增，且；因?yàn)?，所以區(qū)間內(nèi)必有一個(gè)零點(diǎn)；故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷，判斷的依據(jù)是零點(diǎn)存在定理，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2、A【解析】由冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，求出，從而，在上單調(diào)遞減【詳解】?jī)绾瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，，解得，，在上單調(diào)遞減故選A．【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)解析式的求法，并判斷其單調(diào)性，考查冪函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、B【解析】由題意可知圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為半徑為∵兩圓的圓心距∴∴兩圓相交，則共有2條公切線(xiàn)故選B4、B【解析】不妨設(shè)，的圖像如圖所示，則，，其中，故，也就是，則，因，故.故選：B.【點(diǎn)睛】函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為的圖像與動(dòng)直線(xiàn)有四個(gè)不同的交點(diǎn)，注意函數(shù)的圖像有局部對(duì)稱(chēng)性，而且還是倒數(shù)關(guān)系.5、A【解析】由為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B、D，又，排除選項(xiàng)C，從而即可得答案.【詳解】解：令，因?yàn)?，且定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，所以排除選項(xiàng)B、D；又，所以排除選項(xiàng)C；故選：A.6、B【解析】由題意結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)確定所給結(jié)論是否正確即可.【詳解】角的終邊在第二象限，則，AC錯(cuò)誤；，B正確；當(dāng)時(shí)，，，D錯(cuò)誤本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)符號(hào)，二倍角公式及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7、B【解析】運(yùn)用整體代入法，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得選項(xiàng).【詳解】由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z)，得<x<(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)=tan的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】由零點(diǎn)存在定理判定可得答案.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，，所以的零點(diǎn)所在區(qū)間為故選：B9、D【解析】利用誘導(dǎo)公式對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，即可得到答案；【詳解】，故選：D10、C【解析】利用直線(xiàn)l1：x+ay+1＝0與l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直，則，解出即可.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)l1：x+ay+1＝0與l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直.所以，即.解得：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由兩條直線(xiàn)互相垂直求參數(shù)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】分別計(jì)算出的長(zhǎng)度,然后結(jié)合二面角的求法,找出二面角,即可.【詳解】結(jié)合題意可知,所以,而發(fā)現(xiàn)所以,結(jié)合二面角找法:如果兩平面內(nèi)兩直線(xiàn)分別垂直兩平面交線(xiàn),則該兩直線(xiàn)的夾角即為所求二面角,故為所求的二面角,為【點(diǎn)睛】本道題目考查了二面角的求法,尋求二面角方法:兩直線(xiàn)分別垂直兩平面交線(xiàn),則該兩直線(xiàn)的夾角即為所求二面角12、【解析】根據(jù)冪函數(shù)所過(guò)的點(diǎn)求出解析式，利用奇偶性和單調(diào)性去掉轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式即可求解.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得：，所以，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，且在和上單調(diào)遞減，所以可化為，可得，解得：，所以的范圍為，故答案為：．13、①.1②.4【解析】畫(huà)出的圖像,再數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)的的最小值,再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性與函數(shù)的解析式判斷中的定量關(guān)系化簡(jiǎn)再求最值即可.【詳解】畫(huà)出的圖像有：因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不同的解,故的圖像與有四個(gè)不同的交點(diǎn),又由圖,,故的取值范圍是,故的最小值是1.又由圖可知,,,故,故.故.又當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,故.又在時(shí)為減函數(shù),故當(dāng)時(shí)取最大值.故答案為：(1).1(2).4【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及范圍的問(wèn)題,需要根據(jù)題意分析交點(diǎn)間的關(guān)系,并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解.屬于難題.14、【解析】?jī)蛇呁瑫r(shí)取以15為底的對(duì)數(shù)，然后根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)樗?，所以，故答案為?5、【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出【詳解】解：原式lg0.12＝2+2lg10﹣1＝2﹣2故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】直接證出函數(shù)奇偶性，再利用奇偶性得解【詳解】由題意得，所以，所以為奇函數(shù)，所以，所以【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)中的給值求值問(wèn)題，一般都是利用函數(shù)的周期性和奇偶性把未知的值轉(zhuǎn)化到已知值上，若給點(diǎn)函數(shù)為非系非偶函數(shù)可試著構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)為奇偶函數(shù)從而求解三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由函數(shù)的最值求得振幅A，利用周期公式求得，根據(jù)五點(diǎn)法求，進(jìn)而求得解析式；（2）依據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間，列出不等式，解之即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】（1）在內(nèi)函數(shù)只取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)的最小正周期，則由，可得，則此函數(shù)的解析式；（2）由，可得，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為18、（1）（2）【解析】（1）利用函數(shù)為奇函數(shù)所以即得的值(2)方程有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為求的值域即可得解.試題解析：（1）∵，∴，∴（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴19、（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，定義域?yàn)?（2）不存在，證明見(jiàn)解析.【解析】（1）首先根據(jù)題意得到，再分類(lèi)討論解不等式即可.（2）首先根據(jù)單調(diào)性定義得到函數(shù)在為增函數(shù)，從而得到函數(shù)圖像上不存在不同兩點(diǎn)，使過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于軸.【詳解】（1）由題知：，①當(dāng)時(shí)，即，則，定義域?yàn)?②當(dāng)時(shí)，即，則，定義域?yàn)?綜上，當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，定義域?yàn)?（2）因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)?，任取，且，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，函?shù)在為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象上不存在不同兩點(diǎn)，使過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于軸.20、（1）；（2）(i)證明見(jiàn)解析；(ii).【解析】(1)根據(jù)題意∵為奇函數(shù)，∴，令x＝1即可求出；(2)(i)驗(yàn)證為奇函數(shù)即可；(ii))求出在區(qū)間上的值域?yàn)锳，記在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t.由此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論f(x)的值域B，分，，三種情況討論即可.【小問(wèn)1詳解】∵為奇函數(shù)，∴，得，則令，得.【小問(wèn)2詳解】(i)，∵為奇函數(shù)，∴為奇函數(shù)，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(ii)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上的值域?yàn)?，記在區(qū)間上的值域?yàn)?，由?duì)，總，使得成立知，①當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，由對(duì)稱(chēng)性知，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，只需即可，得，∴滿(mǎn)足題意；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由對(duì)稱(chēng)性知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴或，當(dāng)時(shí)，，，∴滿(mǎn)足題意；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，由對(duì)稱(chēng)性知，在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，只需即可，得，∴滿(mǎn)足題意.綜上所述，的取值范圍為.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)取AC的中點(diǎn)F，連接DF，CE，EF，證明AC⊥平面DEF即可.(2)以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法求解線(xiàn)面角.【小問(wèn)1詳解】取AC的中點(diǎn)F，連接DF，CE，EF，則△DAC，△EAC均為等腰直角三角形∴AC⊥DF，AC⊥EF，∵DF∩EF＝F，∴AC⊥平面DEF，又DE?平面DEF，∴DE⊥AC【小問(wèn)2詳解】連接GA，GC，∵DG⊥平面ABC，而GA?平面ABC，GC?平面ABC，∴DG⊥GA，DG⊥GC，又DA＝DC，∴GA＝GC，∴G在AC的垂直平分線(xiàn)上，又EA＝EC，∴E在AC的垂直平分線(xiàn)上，∴EG垂直平分AC，又F為AC的中點(diǎn)，∴E，F(xiàn)，G