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北京市海淀清華附中2023-2024學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請將正確答案涂在答題卡上.)1.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.2.已知集合,集合,則()A.{-1,0,1} B.{1,2}C.{-1,0,1,2} D.{0,1,2}3.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為A.2 B.1C. D.1或4.已知集合,,若,則實(shí)數(shù)a值的集合為()A. B.C. D.5.冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),則函數(shù)的值域是()A. B.C. D.6.定義在上的奇函數(shù),滿足,則()A. B.C.0 D.17.為配制一種藥液,進(jìn)行了二次稀釋,先在容積為40L的桶中盛滿純藥液,第一次將桶中藥液倒出用水補(bǔ)滿,攪拌均勻,第二次倒出后用水補(bǔ)滿,若第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的60%,則V的最小值為()A.5 B.10C.15 D.208.如圖,摩天輪上一點(diǎn)在時刻距離地面的高度滿足,,,,已知某摩天輪的半徑為50米,點(diǎn)距地面的高度為60米,摩天輪做勻速運(yùn)動,每10分鐘轉(zhuǎn)一圈,點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn),則(米)關(guān)于(分鐘)的解析式為()A.() B.()C.() D.()9.已知,則的大小關(guān)系是A. B.C. D.10.函數(shù)的定義域為()A.(-∞,2) B.(-∞,2]C. D.11.已知,,且,均為銳角,那么()A. B.或-1C.1 D.12.已知=(4,5),=(-3,4),則-4的坐標(biāo)是()A(16,11) B.(-16,-11)C.(-16,11) D.(16,-11)二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案寫在答題卡上.)13.已知,若,則________14.已知圓(x-1)2+(y+2)2=6與直線2x+y-5=0的位置關(guān)系是__.(請?zhí)顚懀合嗲小⑾嘟?、相離)15.已知,則________16.圓的圓心到直線的距離為______.三、解答題(本大題共6個小題,共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)17.定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱函數(shù)的一個上界.已知函數(shù),.(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;(2)在第(1)的條件下,求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合;(3)若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.求解下列問題(1)化簡(其中各字母均為正數(shù)):;(2)化簡并求值:19.設(shè)兩個非零向量與不共線,(1)若,,,求證:A,B,D三點(diǎn)共線;(2)試確定實(shí)數(shù)k,使和共線20.已知函數(shù).(Ⅰ)用“五點(diǎn)法”作出該函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象簡圖;(Ⅱ)請描述如何由函數(shù)的圖象通過變換得到的圖象.21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示(1)求的解析式;(2)將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變),再將所得圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象.若在區(qū)間上不單調(diào),求的取值范圍22.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保,至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用,現(xiàn)有一個筒車按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動.每分鐘轉(zhuǎn)動5圈,如圖,將該簡車抽象為圓O,筒車上的盛水桶抽象為圓O上的點(diǎn)P,已知圓O的半徑為,圓心O距離水面,且當(dāng)圓O上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(圖中點(diǎn))開始計算時間(1)根據(jù)如圖所示的直角坐標(biāo)系,將點(diǎn)P到水面的距離h(單位:m,在水面下,h為負(fù)數(shù))表示為時間t(單位:s)的函數(shù),并求時,點(diǎn)P到水面的距離;(2)在點(diǎn)P從開始轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi),點(diǎn)P到水面的距離不低于的時間有多長?
參考答案一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請將正確答案涂在答題卡上.)1、A【解析】由函數(shù)的奇偶性質(zhì)可知函數(shù)為偶函數(shù),再結(jié)合時函數(shù)的符號即可得答案.【詳解】解:由題知函數(shù)的定義域為,關(guān)于原點(diǎn)對稱,,所以函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對稱,故排除B,D,當(dāng)時,,故排除C,得A為正確選項.故選:A2、B【解析】由交集定義求得結(jié)果.【詳解】由交集定義知故選:B3、A【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡函數(shù)f(x)的解析式為﹣(sinx﹣1)2+2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),求得函數(shù)f(x)的最大值【詳解】∵函數(shù)f(x)=cos2x+2sinx=1﹣sin2x+2sinx=﹣(sinx﹣1)2+2,∴sinx≤1,∴當(dāng)sinx=1時,函數(shù)f(x)取得最大值為2,故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,正弦函數(shù)的定義域和值域,二次函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題4、D【解析】,可以得到,求出集合A的子集,這樣就可以求出實(shí)數(shù)值集合.【詳解】,的子集有,當(dāng)時,顯然有;當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng),不存在符合題意,實(shí)數(shù)值集合為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了通過集合的運(yùn)算結(jié)果,得出集合之間的關(guān)系,求參數(shù)問題.重點(diǎn)考查了一個集合的子集,本題容易忽略空集是任何集合的子集這一結(jié)論.5、C【解析】設(shè),帶點(diǎn)計算可得,得到,令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域求解即可.【詳解】設(shè),代入點(diǎn)得,則,令,函數(shù)的值域是.故選:C.6、D【解析】由得出,再結(jié)合周期性得出函數(shù)值.【詳解】,,即,,則故選:D7、B【解析】依據(jù)題意列出不等式即可解得V的最小值.【詳解】由,解得則V的最小值為10.故選:B8、B【解析】根據(jù)給定信息,依次計算,再代入即可作答.【詳解】因函數(shù)最大值為110,最小值為10,因此有,解得,而函數(shù)的周期為10,即,則,又當(dāng)時,,則,而,解得,所以.故選:B9、B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出的取值范圍,從而可得結(jié)果.【詳解】,,,,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題,屬于難題.解答比較大小問題,常見思路有兩個:一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間(一般是看三個區(qū)間);二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答;數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.10、D【解析】利用根式、分式的性質(zhì)列不等式組求定義域即可.【詳解】由題設(shè),,可得,所以函數(shù)定義域為.故選:D11、A【解析】首先確定角,接著求,,最后根據(jù)展開求值即可.【詳解】因為,均為銳角,所以,所以,,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】(1)給值求值問題一般是正用公式將所求“復(fù)角”展開,看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值,然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值,代入展開式即可(2)通過求所求角的某種三角函數(shù)值來求角,關(guān)鍵點(diǎn)在選取函數(shù),常遵照以下原則:①已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù);②已知正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù);若角的范圍是,選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,π),選余弦較好;若角的范圍為,選正弦較好12、D【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】-4.故選:D二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案寫在答題卡上.)13、1【解析】由已知條件可得,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,再由,得,從而可求得答案【詳解】由題意得,,令,則,所以在上單調(diào)遞增,因為,所以,所以,故答案為:114、相交【解析】求得的圓心到直線的距離,與圓的半徑比較大小,即可得出結(jié)論.【詳解】圓的圓心為、半徑為,圓心到直線的距離為,小于半徑,所以直線和圓相交,故答案為相交.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法,點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.解答直線與圓的位置關(guān)系的題型,常見思路有兩個:一是考慮圓心到直線的距離與半徑之間的大小關(guān)系;二是直線方程與圓的方程聯(lián)立,考慮運(yùn)用判別式來解答.15、【解析】利用和的齊次分式,表示為表示的式子,即可求解.【詳解】.故答案為:16、1【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可得所求的距離.【詳解】圓心坐標(biāo)為,它到直線的距離為,故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離,此類問題,根據(jù)公式計算即可,本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題(本大題共6個小題,共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)17、(1);(2);(3).【解析】(1)由函數(shù)為奇函數(shù)可得,即,整理得,可得,解得,經(jīng)驗證不合題意.(2)根據(jù)單調(diào)性的定義可證明函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),從而可得在區(qū)間上的值域為,故,從而可得所有上界構(gòu)成的集合為.(3)將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,整理得在上恒成立,通過判斷函數(shù)的單調(diào)性求得即可得到結(jié)果試題解析:(1)∵函數(shù)是奇函數(shù),∴,即,∴,∴,解得,當(dāng)時,,不合題意,舍去∴.(2)由(1)得,設(shè),令,且,∵;∴在上是減函數(shù),∴在上是單調(diào)遞增函數(shù),∴在區(qū)間上是單調(diào)遞增,∴,即,∴在區(qū)間上的值域為,∴,故函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合為.(3)由題意知,上恒成立,∴,∴,因此在上恒成立,∴設(shè),,,由知,設(shè),則,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,∴在上的最大值為,在上的最小值為,∴∴的取值范圍.點(diǎn)睛:(1)本題屬于新概念問題,解題的關(guān)鍵是要緊緊圍繞所給出的新定義,然后將所給問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值(或值域)問題處理(2)求函數(shù)的最值(或值域)時,利用單調(diào)性是常用的方法之一,為此需要先根據(jù)定義判斷出函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合所給的定義域求出最值(或值域)18、(1)(2)【解析】(1)結(jié)合指數(shù)運(yùn)算求得正確答案.(2)結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【小問1詳解】原式【小問2詳解】原式19、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)轉(zhuǎn)化為證明向量,共線,即可證明三點(diǎn)共線;(2)由共線定理可知,存在實(shí)數(shù)λ,使,利用向量相等,即可求解值.【詳解】(1)證明:,,,,共線,又∵它們有公共點(diǎn)B,∴A,B,D三點(diǎn)共線(2)和共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使,即,.,是兩個不共線的非零向量,,.20、(Ⅰ)圖象見解析;(Ⅱ)答案不唯一,見解析.【解析】(Ⅰ)分別令取、、、、,列表、描點(diǎn)、連線可作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象簡圖;(Ⅱ)根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換原則可得出函數(shù)的圖象通過變換得到的圖象的變換過程.【詳解】(Ⅰ)列表如下:函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象簡圖如下圖所示:(Ⅱ)總共有種變換方式,如下所示:方法一:先將函數(shù)的圖象向左平移個單位,將所得圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,再將所得圖象上每個點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的倍,可得到函數(shù)的圖象;方法二:先將函數(shù)的圖象向左平移個單位,將所得圖象上每個點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的倍,再將所得圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,可得到函數(shù)的圖象;方法三:先將函數(shù)的圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,將所得圖象向左平移個單位,再將所得圖象上每個點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的倍,可得到函數(shù)的圖象;方法四:先將函數(shù)的圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,將所得圖象上每個點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的倍,再將所得圖象向左平移個單位,可得到函數(shù)的圖象;方法五:先將函數(shù)的圖象上每個點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的倍,將所得圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,再將所得圖象向左平移個單位,可得到函數(shù)的圖象;方法六:先將函數(shù)的圖象上每個點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的倍,將所得圖象向左平移個單位,再將所得圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,可得到函數(shù)的圖象.【點(diǎn)睛】本題考查利用五點(diǎn)作圖法作出正弦型函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖,同時也考查了三角函數(shù)圖象變換,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2)【解析】(1)利用最值求出,根據(jù)得出,再由特殊值求出即可求解.(2)根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得出,再由正弦函數(shù)在上單調(diào)即可求解.【詳解】解:(1)
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