拋物線的定義及簡單幾何性質(zhì)

試卷第=page22頁，總=sectionpages55頁試卷第=page66頁，總=sectionpages66頁專項訓(xùn)練:拋物線的定義及簡單幾何性質(zhì)一、單選題1．已知拋物線（其中為常數(shù)）經(jīng)過點，則拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離等于（）A．B．C．D．2．拋物線y=2x2A．0,14B．0,18C．13．（北京市豐臺區(qū)2018年高三年級一模數(shù)學(xué)）已知拋物線C的開口向下，其焦點是雙曲線y23-A．y2=8xBC．y2=2x4．（2017-2018學(xué)年湖南省長沙市第一中學(xué)高三高考模擬卷）已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準(zhǔn)線與x軸的交點為K,點A在拋物線C上,且A．4B．6C．8D．125．已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l,且l過點(-2,3),A．2B．3C．4D．56．（2015新課標(biāo)全國I文科）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,離心率為12,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點,則|AB|A．3B．6C．9D．127．（2017-2018學(xué)年重慶市九校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)合考試）已知拋物線C:y=2pxA．18B．C．12D．8．（2016新課標(biāo)全國II文科）設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點，曲線y=kx（k>0）與C交于點P，PF⊥x軸，則kA．12B．C．32D．9．已知點A(4,m)在拋物線C:y2=2pxA．4B．2C．1D．-10．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.若射線y＝2(x－1)(x≤1)與C，l分別交于P，Q兩點，則＝()A．B．2C．D．511．若拋物線y2＝2px(p＞0)上的點A(x0，)到其焦點的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于()A．B．1C．D．212．已知雙曲線－x2＝1的兩條漸近線分別與拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線交于A，B兩點．O為坐標(biāo)原點．若△OAB的面積為1，則p的值為()A．1B．C．2D．413．已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝()A．3B．5C．6D．1014．若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為()A．2B．C．D．15．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，且過點，在拋物線上，若點，則的最小值為（）A．2B．3C．4D．516．設(shè)拋物線的焦點為F，直線l交拋物線C于A、B兩點，，線段AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為4，則A．B．5C．4D．317．已知拋物線y2＝2px的焦點F與雙曲線的右焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點K，點A在拋物線上且|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為()A．4B．8C．16D．3218．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，過點M(p,0)，傾斜角為45°的直線與拋物線交于A、B兩點，若|AF|＋|BF|＝10，則拋物線的準(zhǔn)線方程為()A．x＋1＝0B．2x＋1＝0C．2x＋3＝0D．4x＋3＝019．(2017·蘭州市模擬)以F(0，)(p>0)為焦點的拋物線C的準(zhǔn)線與雙曲線x2－y2＝2相交于M，N兩點，若△MNF為正三角形，則拋物線C的方程為()A．y2＝2xB．y2＝4xC．x2＝2yD．x2＝4y20．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，若點N(4,1)，P為拋物線C上的點，則|NP|＋|PF|的最小值為()A．9B．8C．7D．621．已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點在x軸上，其上點P(－3，m)到焦點的距離為5，則拋物線方程為()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x22．已知拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，過拋物線上一點M(p，p)和拋物線的焦點F作直線l交拋物線于另一點N，則|NF|∶|FM|等于()A．1∶B．1∶C．1∶2D．1∶323．設(shè)拋物線的焦點為，直線過且與交于兩點，若，則的方程為（）A．或B．或C．或D．或24．已知P為拋物線y＝x2上的動點，點P在x軸上的射影為M，點A的坐標(biāo)是(6，)，則|PA|＋|PM|的最小值是()A．8B．C．10D．25．拋物線C1:y=12px2p>0的焦點與雙曲線C2:x23-y2=1的右焦點的連線交CA．316B．38C．23326．已知雙曲線的離心率為，則拋物線的焦點到雙曲線的距離是（）A．B．C．D．27．已知拋物線的焦點為,、為拋物線上兩點，若,為坐標(biāo)原點，則的面積為（）A．B．C．D．二、填空題28．已知拋物線y2=4x的焦點與圓x2+29．已知直線l過點（1,0）且垂直于??軸，若l被拋物線y2=4ax截得的線段長為430．（天津市河?xùn)|區(qū)2018屆高三高考二模）拋物線y2=2px(p>0)焦點為F，原點為O，過拋物線焦點垂直于x軸的直線與拋物線交于點P，若31．（2018年天津市河北區(qū)高三數(shù)學(xué)二模）若點P(m，23)在以F為焦點的拋物線32．設(shè)橢圓x2a2+y2b三、解答題33．（江蘇省南京市2018屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F（1）求p的值；（2）若M,N為拋物線C上異于A的兩點，且AM⊥AN．記點M,N到直線34．（2018屆安徽省江淮十校高三第三次（4月）聯(lián)考）已知拋物線C:y2(1)若斜率為-1的直線l過點F與拋物線C交于A,B兩點,求(2)過點M(m,0)(m>0)作直線l與拋物線C交于A,B兩點,35．（2017-2018學(xué)年福建省高三畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢查）已知拋物線C:y2=2px(p(1)求拋物線C的方程;(2)若x0>2,圓E:(x-1)2+y2=1,過M36．已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點P4,m（1）求該拋物線C的方程；（2）已知拋物線上一點Mt,4，過點M作拋物線的兩條弦MD和ME，且MD⊥ME答案第=page22頁，總=sectionpages1414頁答案第=page1414頁，總=sectionpages1414頁參考答案1．D【解析】，過點，則，所以焦點到準(zhǔn)線的距離是。故選D。2．B【解析】分析：將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即可得到其焦點坐標(biāo).詳解：拋物線y=2x的方程化為拋物線焦點在y軸上，焦點坐標(biāo)為0,18，點睛：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)，意在考查對基礎(chǔ)知識、基本概念掌握的熟練程度.3．B【解析】雙曲線y23-x2=1的一個焦點為故答案為：B.4．C【解析】拋物線C:y2=8x的焦點為F,準(zhǔn)線與x軸的交點為K,點A在拋物線C上,且|AK|=2|AF|,過點A作準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,則|AM|=|AF|,所以可知|AK|=5．B【解析】由題可得,l:由拋物線的定義可知,MF=所以MN+MF=MN+6．B【解析】因為拋物線C:y2=8x的焦點坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線l的方程為x=-2①，設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2又橢圓E的離心率為12,所以a=4,b=23橢圓E的方程為x216+y212=1②,聯(lián)立①②,解得A(-2,3),B(-2,-3),或A(-2,-3),B(-2,3),所以優(yōu)解：因為拋物線C:y2=8x的焦點坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線l的方程為x=-2①，設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2又橢圓E的離心率為12,所以a=4,b=23由于準(zhǔn)線x=-2過橢圓E的左焦點,所以AB為橢圓E的通徑,所以|AB|=2b2a【名師點睛】本題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線與橢圓的簡單幾何性質(zhì)及基本量的運算等基礎(chǔ)知識,考查考生綜合運用知識分析、解決問題的能力與運算求解能力.求解時,首先求出拋物線的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程,再利用拋物線與橢圓的聯(lián)系求出橢圓中的基本量a,b,c與橢圓方程,進(jìn)而求得|AB|.7．B【解析】∵拋物線C:y=2px2經(jīng)過點M1,2,∴∴拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離等于18．D【解析】因為拋物線方程是y2＝4x，所以F(1，0).又因為PF⊥x軸，所以P(1，2)，把P點坐標(biāo)代入曲線方程y＝kx(k>0)，即k1＝2，所以k＝2.9．B【解析】因為點A(4,m)在拋物線C:y2=2px上，10．C【解析】由題意知拋物線C：y2＝4x的焦點為F(1,0)，設(shè)準(zhǔn)線l：x＝－1與x軸的交點為F1．過點P作直線l的垂線，垂足為P1，由得點Q的坐標(biāo)為(－1,－4)，∴，又，∴．選C．11．D【解析】由題意得，且，解得，∴點A的坐標(biāo)為．將代入方程y2＝2px(p＞0)，得，又p＞0，∴p＝2．選D．12．B【解析】雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±2x，拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A，B兩點的坐標(biāo)為和，∴|AB|＝2p，∴，解得．選B．13．C【解析】由拋物線方程y2＝8x，得，p＝4，焦點為F(2，0)，準(zhǔn)線l：x＝－2．如圖，M為FN中點，可得BM為梯形AFNC的中位線．∵|CN|＝2，|AF|＝4，∴|MB|＝3，又由拋物線的定義知|MB|＝|MF|，且|MN|＝|MF|，∴|NF|＝|NM|＋|MF|＝2|MB|＝6．選C．14．D【解析】根據(jù)題意，設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，則有|PF|＝d．拋物線的方程為y＝2x2，即，其準(zhǔn)線方程為y＝－，結(jié)合圖形可得當(dāng)點P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|min＝．選D．點睛：與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，利用定義實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)化．（1）將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，利用“兩點之間線段最短”解決；（2）將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點的連線中的垂線段最短”解決．15．B【解析】依題意，，則拋物線,過點M作，垂足為，過點作，垂足為，則，故選B.16．B【解析】拋物線方程可化為，線段的中點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4，結(jié)合拋物線的定義和梯形中位線的性質(zhì)有：，故.本題選擇B選項.17．D【解析】依題意知，拋物線焦點坐標(biāo)為(4,0)．作AA′垂直拋物線的準(zhǔn)線，垂足為A′，根據(jù)拋物線定義|AA′|＝|AF|，所以在△AA′K中，|AK|＝|AA′|，故∠KAA′＝45°，此時不妨認(rèn)為直線AK的傾斜角為45°，則直線AK的方程為y＝x＋4，代入拋物方程y2＝16x中得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8，A的坐標(biāo)為(4,8)．故△AFK的面積為×8×8＝32.點睛：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化．18．A【解析】，則，則，得，，則，所以準(zhǔn)線方程為，即，故選A。點睛：拋物線問題學(xué)會利用幾何定義解題。本題中由條件，所以我們需要設(shè)直線方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程得到韋達(dá)定理，應(yīng)用韋達(dá)定理解題。19．D【解析】由題意，代入雙曲線，可得，為正三角形，∴拋物線的方程為故選D．20．D【解析】記點P到拋物線C的準(zhǔn)線l的距離為d，點N到拋物線C的準(zhǔn)線l的距離為d′，故|NP|＋|PF|＝|NP|＋d≥d′＝6，故|NP|＋|PF|的最小值為6.故選：D21．B【解析】依題意，設(shè)拋物線方程為，則，所以，即拋物線方程為；故選B.點睛：在處理拋物線上的點到焦點的距離時，往往利用拋物線的定義將到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，但要注意拋物線的方程是那種標(biāo)準(zhǔn)方程，如：拋物線上的點到焦點的距離為，拋物線上的點到焦點的距離為，拋物線上的點到焦點的距離為，拋物線上的點到焦點的距離為.22．C【解析】由題意知直線方程為，聯(lián)立方程,得．所以，所以，故選C.23．C【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),又F(1,0),則=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),由題意知=3,因此即又由A、B均在拋物線上知解得直線l的斜率為=±,因此直線l的方程為y=(x-1)或y=-(x-1).故選C.視頻24．B【解析】選B.依題意可知焦點F(0，)，準(zhǔn)線為y＝－，延長PM交準(zhǔn)線于H點(圖略)．則|PF|＝|PH|，|PM|＝|PH|－，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，即求|PF|＋|PA|的最小值．因為|PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝＝10.所以|PM|＋|PA|≥10－＝.故選B.25．D【解析】試題分析：由已知可求得拋物線C1的焦點F坐標(biāo)及雙曲線C2的右焦點F1的坐標(biāo)，從而就可寫出直線FF1的方程，聯(lián)立直線方程與拋物線的方程可求得點M的橫坐標(biāo)，從而由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可用p將C1在點M處的切線的斜率表示出來，令其等于雙曲線C因為拋物線C1：y=12px2(p>0)的焦點F（0，），雙曲線C2：x2所以直線FF1的方程為：代入y=1，解得，由于點M在第一象限，所以點M的橫坐標(biāo)為：，從而C1在點M處的切線的斜率=，解得：；故選D．考點：1．拋物線的性質(zhì)；2．雙曲線的性質(zhì)；3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義．26．B【解析】由題意得，拋物線的焦點坐標(biāo)為，又雙曲線的離心率為，即，又由，則，即雙曲線的方程為，在雙曲線的一條漸近線的方程為，則其焦點到雙曲線的漸近線的距離為，故選C.27．C【解析】試題分析：拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程為：，代入拋物線方程可得.設(shè)，，則，，由，得，則..故選C．考點：圓錐曲線中的弦長與面積.【思路點晴】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．28．-【解析】【分析】拋物線的焦點坐標(biāo)為1,0，圓的圓心坐標(biāo)為-m2,0，利用兩者相同可得【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為1,0，圓的圓心坐標(biāo)為-m2,0，故-m2=1【點睛】圓的一般方程為x2+y2+Dx+29．(1,0)【解析】分析：根據(jù)題干描述畫出相應(yīng)圖形，分析可得拋物線經(jīng)過點(1,2)，將點(1,2)坐標(biāo)代入可求參數(shù)a的值，進(jìn)而可求焦點坐標(biāo).詳細(xì)：由題意可得，點P(1,2)在拋物線上，將P(1,2)代入解得：a=1，∴由拋物線方程可得：2p∴焦點坐標(biāo)為(1,0).點睛：此題考查拋物線的相關(guān)知識，屬于易得分題，關(guān)鍵在于能夠結(jié)合拋物線的對稱性質(zhì)，得到拋物線上點的坐標(biāo)，再者熟練準(zhǔn)確記憶拋物線的焦點坐標(biāo)公式也是保證本題能夠得分的關(guān)鍵.30．6【解析】分析：首先根據(jù)題意，求得拋物線的焦點坐標(biāo)，之后將橫坐標(biāo)代入拋物線方程，求得點P的縱坐標(biāo)，從而得到點P的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式得到p所滿足的等量關(guān)系，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意得F(p2,0)，將從而有P(p2,±得到p24+p點睛：該題考查的是有關(guān)曲線方程中參數(shù)的求解問題，在解題的過程中，需要把握住題的條件，因為等量關(guān)系就有PO=35，所以關(guān)鍵是點P的坐標(biāo)，利用點p的條件，得到其橫坐標(biāo)，代入拋物線方程，求得點P31．4【解析】分析：由題意先求出點P的坐標(biāo)，然后再根據(jù)拋物線的定義求解可得PF．詳解：∵點P(m，∴(23)2∴點P的坐標(biāo)為3，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1∴PF=3+1=4【名師點睛】拋物線的定義有兩個作用，一是當(dāng)已知曲線是拋物線時，拋物線上的點M滿足定義，它到準(zhǔn)線的距離為d，則|MF|＝d，由此可解決有關(guān)距離、最值、弦長等問題；二是利用動點滿足的幾何條件符合拋物線的定義，從而得到動點的軌跡是拋物線．32．x【解析】由題意知拋物線y2=16x∴c=4∵e=∴a=2∴b2∴橢圓的方程為x2答案：x33．（1）2；（2）16.【解析】分析：（1）利用拋物線的定義求p的值.(2)先求出a的值，再聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程得到韋達(dá)定理，再求d1d2=|(y1＋2)(y2詳解：（1）因為點A(1，a)(a＞0)是拋物線C上一點，且AF=2，所以p2＋1＝2，所以p（2）由(1)得拋物線方程為y2＝4x．因為點A(1，a)(a＞0)是拋物線C上一點，所以a＝2．設(shè)直線AM方程為x－1＝m(y－2)(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由x-1=my-2y2=4x即(y－2)(y－4m＋2)＝0，所以y1＝4m－2．因為AM⊥AN，所以－1m代m，得y2＝－4m－2所以d1d2＝|(y1＋2)(y2＋2)|＝|4m×(－4m)|＝16．點睛：（1）本題主要考查拋物線的定義及簡單幾何性質(zhì)，考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力及分析推理計算能力.(2)本題的關(guān)鍵是看到d1d2＝|(y1＋2)(y2＋2)|要聯(lián)想到韋達(dá)定理,再利用韋達(dá)定理解答.34