2023年高考數(shù)學(xué)第08章 化歸與辡證的思想方法

第08章化歸與辯證的思想方法

匈牙利數(shù)學(xué)家路沙?彼得指出：“數(shù)學(xué)家往往不是對(duì)問題實(shí)行正面的攻擊，而是不斷地將它

變形，直至把它變成能夠得到解決的問題”，講的就是數(shù)學(xué)解題中化歸的思維方法，其在作品《無

窮的玩藝一數(shù)學(xué)的探索與旅行》一書中對(duì)“化歸”作過生動(dòng)而風(fēng)趣的描述：“假設(shè)在你面前有煤

氣灶、水龍頭、水顯，你想燒開水，該怎樣去做?”正確的回答是：“在水壺中放上水，點(diǎn)燃煤氣，再

把水壺放到煤氣灶上接著路沙又提出第二個(gè)問題：“如果其他的條件都沒有變化，只是水壺

中已有足夠多的水，那么你又應(yīng)當(dāng)怎樣去做?”對(duì)此，人們往往回答說：“點(diǎn)燃煤氣，再把壺放到

煤氣灶上.”但路沙認(rèn)為這并不是最好的回答，因?yàn)椤爸挥形锢韺W(xué)家才這樣做而數(shù)學(xué)家則會(huì)倒

去壺中的水，并且聲稱他已經(jīng)把后一問題化歸成先前的已經(jīng)得到解決的問題了

路沙?彼得的比喻固然有點(diǎn)夸張，但這種思維方式對(duì)數(shù)學(xué)家來說是十分典型的，道出了化歸

的根本特征.這就是說,在解決問題的過程中，數(shù)學(xué)家往往不是直接解決原問題，而是把所要解決

的問題經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個(gè)問題，再通過另一個(gè)問題的求解，把解得的結(jié)果作用

于原問題，從而使原問題得解，這種解決問題的思想，我們稱之為化歸思想.

所謂“化歸”，從字面上看，可以理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。在對(duì)問題作細(xì)致觀察的基礎(chǔ)上,

展開豐富的聯(lián)想，以求喚起對(duì)有關(guān)舊知識(shí)的回憶，開啟思維的大門，順利地借助舊知識(shí)、舊經(jīng)

驗(yàn)來處理面臨的新問題，化歸思想的實(shí)質(zhì)是通過事物內(nèi)部的聯(lián)系和矛盾運(yùn)動(dòng)，把所需要解決的

問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，或容易解決的問題，同原問題相比，化歸后的新問題必須是已經(jīng)

解決或較為熟悉、簡單的問題，它是數(shù)學(xué)中最重要、最基本的思想之一.

利用化歸解決問題的過程如圖8-1所示.

圖8-1利用化歸解決問題

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)最基本的形式,運(yùn)用辯證的思想和方法探索問題、分析和研究問題,

解決問題，是培養(yǎng)學(xué)生辯證思維，提高數(shù)學(xué)解題能力的有效途徑.將一個(gè)非基本的問題通過分

解、變形、代換或平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮等多種方式，將它化歸為一個(gè)熟悉的基本問題，從而求出解

答，這一過程其實(shí)也是辯證思維的過程.

數(shù)學(xué)中充滿著矛盾、運(yùn)動(dòng)和變化，充分體現(xiàn)了辯證思想，包括如下幾個(gè)重要方面:對(duì)立統(tǒng)一思

想、互變思想、轉(zhuǎn)換思想、一分為二思想等，具體表現(xiàn)在下列方面.

(1)“熟悉”與“陌生”：數(shù)學(xué)解題過程也就是把陌生的問題通過適當(dāng)變換、逐步轉(zhuǎn)化為熟悉的

問題,化陌生為熟悉起到推陳出新、化難為易的作用.

(2)“合”與“分”：從辯證思維的角度分析數(shù)學(xué)解題中的分與合，就是化整為零和聚零為整思

想的應(yīng)用，即在解題過程中先將原問題進(jìn)行分解、化歸為較易解決的小問題，各個(gè)手不易解決,

這時(shí)應(yīng)該從問題的反面去思考，這就是“正難則反”，這樣解題會(huì)收到意料不

(4)“動(dòng)”與“靜”：有些數(shù)學(xué)問題往往是“靜”在其表，而動(dòng)在其“里”，動(dòng)和靜是事物狀態(tài)表

現(xiàn)的兩個(gè)側(cè)面，可用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來處理靜的形態(tài)和數(shù)量關(guān)系，即以動(dòng)求靜，當(dāng)然也有用靜態(tài)的

觀點(diǎn)來處理運(yùn)動(dòng)過程及其對(duì)象，即以靜求動(dòng).因此，在求解數(shù)學(xué)題時(shí)，要善于利用“變動(dòng)”的思

想，動(dòng)中求靜，靜中思動(dòng)，培養(yǎng)思維的靈活性.

⑸“進(jìn)”與“退"：在數(shù)學(xué)問題的求解過程中既要能“進(jìn)”，更要能“退”，采用以退求進(jìn)，進(jìn)退結(jié)

合的方法尋求解題途徑.如分析法是由結(jié)論向條件退，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題則是由高維

向低維退，由抽象的數(shù)學(xué)問題向具體的幾何模型退."退”為了“進(jìn)”，進(jìn)而解決

⑹“一般"與“特殊”：“一般”概括了“特殊”，“一般”比“特殊”更能反映事物的本質(zhì),

命題的一般結(jié)論可以從特殊情況中反映出來，而特殊情況往往是更具體化、簡單化，從而易于人

手，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，數(shù)學(xué)中的歸納思想,也可以看作是從特殊到一般的轉(zhuǎn)換

(7)“強(qiáng)化”與“弱化”很多較難的數(shù)學(xué)題，一般可采用“弱化”的方法進(jìn)行思考，但也有

(8)“抽象”與“具體”：抽象是在對(duì)事物進(jìn)行的由表及里、去粗取精、去偽存真的基礎(chǔ)上抽取

提煉出事物的本質(zhì)屬性，舍棄事物的非本質(zhì)屬性，借以形成科學(xué)的概念和揭示事物的發(fā)展規(guī)律的

一種思維,具體就是把抽象的概念、結(jié)論和規(guī)律表現(xiàn)于直觀、簡單、清晰明確的對(duì)象或問題.而

人們認(rèn)識(shí)發(fā)展的具體過程常表現(xiàn)為:感性具體一抽象一綜合一理性具體.這就是我們運(yùn)用具體

與抽象的轉(zhuǎn)換思想解題的路線圖.

(9)“直”與“曲”：直與曲是兩種不同的形象，從其幾何特征看，前者曲率是零，后者曲率不

是零；從解析表達(dá)式看，前者為直線方程，后者是非直線方程，直與曲的對(duì)立是極為明顯的,但也能

夠統(tǒng)一.實(shí)際上，曲直轉(zhuǎn)換的思想早在我國古代就產(chǎn)生了，數(shù)學(xué)家劉徽在為前人著作《九章算

術(shù)》加注時(shí)，就在論述割圓術(shù)時(shí)明確指出了曲直轉(zhuǎn)換的方向：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割,

以至于不可割，則與圓合體而無所失矣當(dāng)然，曲與直互相轉(zhuǎn)換的思想方法是在微積分中才真

正地實(shí)現(xiàn)的.立體幾何中有關(guān)曲面上的問題，直接求解比較困難，往往把它展開成平面圖形，使曲

面(或折面)有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為平面上的問題,使曲線(或折線段)能化為直線段的問題去求解，運(yùn)用

“曲”向“直”轉(zhuǎn)化能化難為易。

(10)“主”與“次”：一般而言，代數(shù)中的含參數(shù)問題以及解析幾何中的含參數(shù)問題都有一定難

度,對(duì)這類問題的解決，有時(shí)需對(duì)參數(shù)的意義，特別是對(duì)主元與次元進(jìn)行轉(zhuǎn)換，也就是“變?cè)保?/p>

起到化難為易、化繁為簡的作用,具體為①變換主元、次元的位置；②引人參數(shù)代替題中的主元;

③消去主元，使次元升為主元，這些都體現(xiàn)了辯證思想的運(yùn)用.

用辯證思想解題，除了上述十大關(guān)系的轉(zhuǎn)換之外，還有整體與局部的轉(zhuǎn)換、有限與無限的轉(zhuǎn)

換、或然與必然的轉(zhuǎn)換、正運(yùn)算和逆運(yùn)算的轉(zhuǎn)換、高級(jí)運(yùn)算與低級(jí)運(yùn)算的轉(zhuǎn)換等.另外，互變思

想也是辯證思想的重要組成部分，包括常量與變量的互變，因果關(guān)系的互變、質(zhì)與量的互變等.

化歸與辯證的思想使我們感悟到：一切固定差別都消失了，一切都可以用相對(duì)或相反的形式

表示出來，而這種從一種形態(tài)到另一種相對(duì)或相反形態(tài)的轉(zhuǎn)換，并不是無聊的游戲，它是數(shù)學(xué)

科學(xué)的最有力的杠桿之一.

第四十八講縱向化歸解題法

縱向化歸是把面臨的新問題，通過減元、降維等加工手段化歸為已知(已解決)的問題，或是化

歸為熟悉的，簡單的、具體的問題來處理，最后通過對(duì)新問題的解決而將原問題圓滿解決，比如

解不等式的化歸過程是：

超越不等式一代數(shù)不等式一有理不等式一一次或二次不等式.

數(shù)列問題的化歸過程是：

一般數(shù)列問題尤其是遞推數(shù)列問題一等差或等比數(shù)列T結(jié)合等差或等比數(shù)列的性質(zhì)求解.

解析幾何問題的化歸過程是：幾何問題一函數(shù)或方程問題.

立體幾何問題的化歸過程是：空間問題(通過構(gòu)造輔助平面)T平面問題

［例1］(1)當(dāng)實(shí)數(shù)a取何值時(shí)，方程lg(^-l)+lg(3-x)=lg(l-ar)有一個(gè)實(shí)數(shù)解、兩

個(gè)實(shí)數(shù)解，沒有實(shí)數(shù)解？

(2)定義區(qū)間(m,n)\m,n\,(rn,n\\m,n)的長度為n-m,其中n>m,由不等式組

［工>1,

<1+x的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度的和等于6.求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

log2x+log2(?x+3z)<2

【解題策略】

第(1)問是一道含參數(shù)對(duì)數(shù)方程的根個(gè)數(shù)的討論，屬于經(jīng)典例題，可以運(yùn)用代數(shù)的方法解，也

可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解，但不論是哪種方法，首先都要把超越方程化歸為代數(shù)方程

(x-l)(3-x)=l-m:(l<x<3),然后再進(jìn)一步求解.當(dāng)然若采用數(shù)形結(jié)合法,關(guān)鍵在于構(gòu)造

函數(shù)，構(gòu)造的函數(shù)不一樣，解法也就各異，如方程(x-l)(3-x)=l-辦可以變形為

44

a=x+一一4(1<%<3),令y=x+—-4(l<x<3),y=a,探究這兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題;

xx

若直接令y=(x-1)(3-x),y=l—以(l<x<3),可得數(shù)形結(jié)合的另一種解法，讀者可以試一

7

試，作個(gè)比較，看怎樣的解法是最為簡捷的.第(2)問，若設(shè)不等式—>1的解集為A,不

等式Iog2x+log2(a+3r)<2的解集為B,則易得A=(—l,6),而后一個(gè)不等式顯然

x>0,要得到不等式組解集的長度為6,易得xe(0,6),log2x+log2(tr+3r)<2應(yīng)恒成

立，則解題的思路明朗了,當(dāng)然鍵在于如何處理log2x+椎珪玨式組再進(jìn)一步解下去！

【解】

(1)【解法1】原方程可化為：(x—1)(3-x)=l—依(1<%<3).

即X之一(a+4)x+4=0(I<x<3),令/(x)=x2-(<z+4)x+4.

由題意可知，

△=3+4)2-16=0

①原方程有一個(gè)解等價(jià)于：/(1)/(3),,0或a+4

解上述不等式或不等式組可得：g熟b1或a=O,經(jīng)檢驗(yàn)a=\不符合題意，

所以當(dāng)<1或?=0時(shí)，原方程只有一個(gè)解.

A>0,

②原方程有兩個(gè)解等價(jià)于：/(3)>0,解此不等式組可得：0<。<§，

1。+46

1<----<3

2

所以當(dāng)0<a<g時(shí)，原方程有兩個(gè)解.

③由①②可知，當(dāng)?<0或a.A時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)解.

【解法2]

4

原方程可化為：(%—1)(3—力=1-ox(lvxv3),即a=x+—4(1<x<3).

4

令y=%+—一4(1<X<3),y=6Z,分別作出上述兩個(gè)函數(shù)的圖像.

X

根據(jù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可得與解法一同樣的結(jié)論.

7

⑵不等式-->1的解集/I=(-1,6),

設(shè)不等式log2x+log2(rA：+3r)<2的解集為B,

x>0,

log2x+log2(tx+3f)<2<tx+3t>0

tx1+3tx-4<0

不等式組的解集為An5,.-.5c(O,+^),Anfic(O,6).

不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間的和等于6.

/x+3r>0,/、，，、

不等式組《〃斗*在x4°'6)時(shí)恒成立，，ACB=(0,6).

IX十JIX——<U

03.工￡(0,6)恒成立

t>f〉0,

等價(jià)于,2即，€

4'”為°4

t<2+3，工￡(0,6)恒成立

【例2】(2018年高考江蘇卷第12題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線/:y=2x

上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，5(5,0),以A8為直徑的圓。與直線/交于另一個(gè)點(diǎn)D.若

ABCD=0,則點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為()

【解題策略】

本題把直線與圓，平面向量的數(shù)量積等知識(shí)匯合在一起，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)然可以從解析

幾何的角度求解,也可以平面向量為工具求解，解題時(shí)的切入點(diǎn)不同,解法也就不同.在同一系統(tǒng)內(nèi),

可以從不同的角度思考，巧妙地轉(zhuǎn)化，本題在幾何中蘊(yùn)含代數(shù)特征,如果引進(jìn)某一個(gè)角，則可構(gòu)

造出三角函數(shù)用來處理解析幾何問題，若借助平面幾何相關(guān)知識(shí)(如垂徑定理、圓周角定理、直

徑所對(duì)圓周角為直角等)，則可構(gòu)造出用平面幾何知識(shí)處理圓的相關(guān)問題，只要對(duì)題中蘊(yùn)含的

相關(guān)知識(shí)融會(huì)貫通，從中“悟”出的解題方法彳主往都是優(yōu)美的、賞心悅目的。

【解法1](構(gòu)造法一：從直線與圓的交點(diǎn)切人)設(shè)A(a,〃)(a>0),而5(5,0),則圓心

以AB為直徑圓C的方程為(x-a)(x-5)+(y-2a)y=(),與直線

l-.y^lx聯(lián)立，消去y并整理得：5(x—a)(x—1)=0.

可得x=l或x=a,則0(1,2),

當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，A（5,10）,C（5,5）,顯然不符合要求，由

2aQ2

kAB-kCD=~—--^—?=-1解得a=3或?=-1（不符合條件，舍去）.

a-5￡+3_]

2

點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

【解法2】（構(gòu)造法二：從點(diǎn)到直線的距離切入）由于ABCD=O,即AB±CD,而AC=

DC,貝IJZDAC=45.

圓C以AB為直徑，.?./ADB=90,

2x5i-

點(diǎn)3（5,0）到直線I的距離為d=\DB\=-j===245.

設(shè)A（a,2?）（a>（））,貝IJ=府牙=&0百=2加,解得a=3或

a=-l（舍去點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

【解法3】（構(gòu)造法三以向量法切入油題意可設(shè)4（。,2〃）,。（h2））（4>0）,則

AB=（5-a,-2a）,CD=（b-^-,2b-a\BD=（b-5,2b）,OA=（a,2a）

I2）

圓。以A8為直徑，則有/AO3=90,.?.O4BO=0,又A3CO=0,

。3-5）+2。.2匕=0,[i-3

（5-a^b--2clpb—a）=0,解得h=—1（負(fù)值舍去”

..?點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

【解法4】（構(gòu)造法四:引入三角知識(shí)結(jié)合斜率公式求解）由ABCD=G即AB_LCO,而

AC=DC,則^DAB=45.

設(shè)直線/:y=2x的傾斜角為a,貝IJtana=2,

,▲ncjccAU\(AU\tan45+tana、

tan^fABO=tan(18()-45-a]=-tan(45+a)=------------------------=3

')')1-tan45tana

則直線AB的斜率kAB=-tanZABO=-3.

2〃

設(shè)A(a,2a),則由k=------=-3,得a=3.，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

ABa-5

【解法5](構(gòu)造法五:運(yùn)用平面幾何知識(shí)求解)由ABCD=0,:.AB1CD,而AC=DC.

則/D4C=45,而圓C以AB為直徑，則ZADB=90,

設(shè)OD=m(m>Q),由于直徑I的斜率為2,可知tan/AOB=^=2,故DB=2m.

在RtODB中，加2+(2m)2=OB2=25,解得m=s/5.

在RtADB中，可得AD=DB=2G由三角形的等面積法可得

^xOAxDB=^xOBxyA,解得力=6,代人直線/:y=2x,可得乙=3,

點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

【例3］如圖8-2所示在斜三棱柱ABC-AB￡中，側(cè)面與側(cè)面ACC,A,成

60角，且兩個(gè)側(cè)面的面積之比為SABB向：SACGA=8:5,若這個(gè)棱柱的側(cè)面積為60兆m2,

體積為15百cnr）且.已知斜三棱柱的體積等于直截面面積與側(cè)棱長之積，求側(cè)棱長/.

【解題策略】

有關(guān)斜棱柱側(cè)面積和體積的計(jì)算直接求解是困難的，可以通過斜棱柱的直截面這個(gè)輔助平面求

解，斜棱柱的直截面就是與各條側(cè)棱垂直且相交的截面，于是有S辭棱柱側(cè)=直截面周長

*側(cè)棱；。梭柱=直截面面積*側(cè)棱，因此，構(gòu)造斜棱柱的直截面能方便快捷地求解斜棱柱

的側(cè)面積和體積（實(shí)質(zhì)上已化歸為平面問題）.

【解】

作直截面DEF,如圖8-3所示.則/EDF=60,

：S*CGA=（A4°E）：（4\DF^=8:5,DE:DF—8:5.

設(shè)DE=Sx,DF=5x,由余弦定理得

EF=J（8x）2+（5x，-2.8%.5元.cos60=”

c

圖8-3

（8x+5x+7x）/=60

由<1廠得/=6（cm）.

—?8x-5x-sin60-I=15v3

[2

x2y2

【例4]⑴設(shè)片,區(qū)是橢圓可+,=1的左右焦點(diǎn)，弦A3過點(diǎn)F?,求ABK的面積

的最大值；

x2y~

（2）過橢圓—+^-=1的左焦點(diǎn)月作一直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn),

求..PAQ面積的最大值.

【解題策略】

本例兩小題都是求與橢圓相關(guān)的三角形面積的最大值，由于兩小題都涉及動(dòng)直線問題，引進(jìn)參

變量顯得很重要.第（1）問，設(shè)動(dòng)直線A8的傾斜角為參數(shù)，則可扣住橢圓定義結(jié)合余弦定理獲

得一種巧妙的解法，其解題過程是把解析幾何問題化歸為三角函數(shù)問題，并通過換元化歸為耐

克函數(shù)性質(zhì)的研究.第（2）問，以動(dòng)直線PQ的斜率左為參數(shù),則要分類討論斜率不存在的

情況，而且要求三角形面積的最值，由于解析式較為復(fù)雜，解題的技巧性很強(qiáng)，且方法也多，如可以

通過變形化歸為代數(shù)函數(shù)求最值,或通過去分母并換元化歸為二次方程用判別式法求最值，還可

通過三角換元與代數(shù)換元化歸為“耐克函數(shù)”求最值.

【解】

圖8-4

(1)如圖8-4所示，設(shè)/俎3=2(()<2V4),[247^=〃2,忸用=".由橢圓的定義知

|A娟=26一〃2,忸制=26一〃，忻閭=2o

在⑥人入耳和BF?F\中，應(yīng)用余弦定理得

(2退一相了=4+m2-4mcosa,

<__

(2>/3-n)2=4+A?+4〃cosa,

22

m=—j=------,n——j=------

>J3-cosaj3+cosa

?二SQA6=g|K8||力一力|二gx2x(m+〃)sina

,22).4Gsina

=—j=---------+-T=------sin<7=----z—

<>/3-cosaV3+cosaJ2+sin~a

令sina=r,g(f)=^^y(O<&1)

■z^O,.-.g(z)=-一在(0,1]上是增函數(shù)，

一+1

t

14r~

當(dāng)t=\即a=-時(shí)，g(/)niax=-.故A電的面積的最大值為-V3.

(2)耳(一1,0),4(2,0),且當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，|凹一%|=3.

13Q

5%0=5|弘一對(duì)|百山=習(xí)乂一%|=1當(dāng)直線尸。的斜率存在時(shí)，設(shè)直線P。的方程為

y=k(x+l)(Z：HO),P(X|X),。(々%)

y=k(x+l),

聯(lián)立方程組y2_消去X并整理得(3+4F)y2-6ky-9k2=0,顯然A>0,

143

6k9k2

X+%=3+4*X〉L3+4公,

4+

小7=h+%)-^=13+4^]3+4^36k2+36公(3+4產(chǎn))

-v(3+4㈠2

42

?q擠-y2MAi=18二、2,設(shè)/(%)=18

一PAQ

(3+4左2)

下面用多種方法求/?。┑淖畲笾?

【解法1】設(shè)A=tan6,其中0,|u71,

2

2

(tan^+l)tan^sec仇an6jkecOtanq

則/(%)=g(e)I，S^e=18X4sec^-l

(3+4tan2^)23+4tan2<9

S，n]

18x-l^^18x,設(shè)r=|sin^|,/G((),l).

3+side扁+M喇

3Q

則〃?）=/+：在re（0,1）上是減函數(shù)，二./2，）＞/2（l）=4,/.Sw=18力⑺＜5；

jrQ9

當(dāng)e=5時(shí)，sPAQ..綜上，_PA。面積的最大值為

解法21

/+公5（m+3f4（叱+3）-21

3

〃?(％)

(3+4左2/(叱+3)2168(4公+3)16(4二+3)2

八1，八1

令t=―——，貝(I0<r<-,

4F+33

1

+21t+~

3

又函數(shù)g⑺在（（）,；）上是減函數(shù)，..*（；）＜g（/）＜g（（））,即0＜gQ）＜《.當(dāng)

TT9

時(shí)，由解法一得s?股=3,

9

綜上，..PAQ面積的最大值為

k4+k211

【解法3］加（%）=--------------=------------<---

16/+24二+9入8/+916

16+—：---z-

9

綜上，PAQ的面積的最大值為-

第四十九講橫向化歸解題法

橫向化歸就是通過對(duì)命題的有關(guān)量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，各學(xué)科知識(shí)間的轉(zhuǎn)換，等價(jià)變換命題，運(yùn)用

同構(gòu)變換等手段將生疏、復(fù)雜、困難的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡單的問題來處理.

【例1】設(shè)a,b^R且方程x4+axJ+bx2+ax+l=O至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，試求/+〃的

最小值

【解題策略】本例是一個(gè)有實(shí)數(shù)解的高次方程，求方程系數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式a2+b2的最小值.

從方程角度去解是困難的，但是我們分析方程系數(shù)的特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)其具有對(duì)稱性，且又都是一次

的，如果把它看成是a,b的方程，顯然是一條直線的方程;如果設(shè)片+〃=產(chǎn),可看成點(diǎn)（區(qū)為

在圓上，則原命題等價(jià)變換成直線與圓的位置關(guān)系問題，即求直線與圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，半徑

平方的最小值.這就是運(yùn)用同構(gòu)變換等手段將復(fù)雜的高次方程問題化歸為熟悉、容易處理的直

線與圓的位置關(guān)系問題.

【解】因方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不妨設(shè)為m^O,代人得加2+4m+6+@+_\=0

mnr

設(shè)a2+/?2=r2,構(gòu)造直線+—a+b+［m2+^-=0.圓。:/十尸二產(chǎn).則兩者

kmJV3J

之間必有公共點(diǎn)（。/），因此圓心到直線的距離小于或等于半徑，

444

所以r2...-,即a2+b2的最小值為y,當(dāng)且僅當(dāng)m=+\時(shí)a2+b2取得最小值不

［例2］如圖8-5所示NM0N=6G,邊長為a的正三角形ABP在NMON內(nèi)滑

動(dòng)（不能翻轉(zhuǎn)），使得A點(diǎn)始終在OM上，B點(diǎn)始終在ON上，求P點(diǎn)的軌跡方程.

AM

圖8-5

【解題策略】

本例中A點(diǎn)在射線OM上移動(dòng)，B點(diǎn)在射線ON上移動(dòng)，求正三角形另一個(gè)頂點(diǎn)P

的軌跡方程,常用的求軌跡方程的基本方法如直接法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法很難用上,定義法則根本

不相關(guān).對(duì)于這類與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的軌跡問題，采用復(fù)數(shù)方法來處理具有方便、直觀,簡捷的優(yōu)點(diǎn),

因?yàn)閺?fù)數(shù)的向量表示把代數(shù)與幾何融為一體，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算反映在幾何上正好是向量的旋

轉(zhuǎn).這種橫向化歸命題實(shí)質(zhì)上也是同構(gòu)變換.

【解:】

圖8-6

如圖8-6所示，以O(shè)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立復(fù)平面.

設(shè)AB,P3點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為ZA=m,ZB=H4-V3ni,Zp=x+yi,

則ZftA=Z*_Zp=,

又BP可由BA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60而得到.

m+2nV3(m-2n).

ZBp=ZBA-(cos60+isin60)=(加一〃一

(2222

加+4〃V3.

?7—74.7+——m\.

..乙一乙乙BP：-----

P8T22

加+4〃2卦①

x=------

2

=>V

6

y=——m②

22>/3

又KJ=。，即(m-n)2+(A/3H)2=a2,

將①②R人，整理得：3￡+7/-4方孫-3/=0,

故P點(diǎn)的軌跡方程為3X2+7/-4V3A>'-3?2=0在NMON內(nèi)的部分.

Y

［例3］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)P（x,y）是橢圓y+/=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

S=x+y的最大值.

【解題策略】

本例思考方法不同導(dǎo)致形成求解過程的多樣性，可以橫向化歸轉(zhuǎn)化為由方程組有解求S

的最大值，可以利用橢圓的參數(shù)方程橫向化歸為求三角函數(shù)的最大值，也可以縱向化歸,通過坐

標(biāo)變換討論圓與直線有公共點(diǎn)時(shí)求S的最大值.

X2T

【解法1】由方程組T+y='消去x后整理得方程4y2—2Sy+S2—3=0①方程①

x+y=S

有實(shí)根，則判別式A=4S2-16（S2-3）=48-1252..0,解得-2掰2.

：.S=x+y的最大值為2.

【解法2】橢圓—+/=1的參數(shù)方程為7,。為參數(shù)，代入S=x+y

3［y=sin。

Q1

得S=Gcos6+sine=2sin（e+60）,當(dāng)6=30,即x=—,y=—時(shí)，

S=x+y的最大值為2.

【解法3］對(duì)橢圓和直線方程進(jìn)行如下坐標(biāo)變換：

令卜'=不,則卜=3’’則橢圓和直線方程分別變成F+^=1,②

,［fs="y,③

。一），

此時(shí)圓方程②和直線③仍有公共點(diǎn)，

_|-5|

則圓②的圓心（7（0,0）到直線^3x'+y'-S=0的距離d=-\=J=?i,

V3+1

解得—2效JS2,故S=J§x'+y'=x+y的最大值為2.

第五十講同向化歸解題法

同向化歸就是把面臨的新問題進(jìn)行命題分割或命題分解，化歸為某一（或幾）個(gè)可簡捷處理的子

問題，解決了這一（或幾）個(gè)子問題，從而也就解決了所有子問題，或在推演中，進(jìn)行同理推導(dǎo)同解

變形化簡等，這種化歸是在同一層次上“平行”轉(zhuǎn)化.

［例1］已知數(shù)列M，｛bn｝都是公差為1的等差數(shù)歹上其首項(xiàng)分別為4，白，且

4+4=5,q,4eN*,設(shè)求數(shù)列｛c?｝的前10項(xiàng)和.

【解題策略】當(dāng)我們接觸的問題存在著大量可能的答案（或中間過程），而暫時(shí)又無法用逡輯方

法排除時(shí)，我們只能對(duì)每一種可能的情況逐個(gè)加以討論，解決了這些子問題，原來的命題也就完

全解決了，本例中由條件可知4,&的取值有多種情況,必須對(duì)每種情況進(jìn)行研究，才能得到原

問題的最后結(jié)果.

解：由題設(shè)4+4=5,q,4@N*,可將適合條件的可能情況一一列舉出來,一共有4種

=1,q=2,1%=3,q=4,

情況：《下面逐一求解

4-4,瓦=4,4=3,〔4=1,

子問題(1)：當(dāng)q=l,4=4時(shí)，an=n,bn=n+3,cn=arl+3.

10(a+.3)

4=

S]0=q+++CJQ=+Cl^++。]3=---------85.

子問題(2):當(dāng)。］=2,4=3時(shí)，an=n+\,hn=n+2,cn=an+2.

10(%+al2)

S］o=G+Q++Go=%+%+…+《2=-----------=85.

子問題(3):當(dāng)%=3也=2時(shí)，4=〃+2也=〃+l,c〃=a〃+l.

10(〃2+%1)c

S］。=q+c,++C|Q=々2+03++41=------------85.

子問題⑷：當(dāng)q=4,4=1時(shí),an=n+3,bn=n,cn=an.

K)(a+a0)

Si。=c'|+c,++C|Q=q+a,++q。=-----------=85.

因此，無論哪種情況均得到數(shù)列｛cn｝的前10項(xiàng)和為85.

【例2］設(shè)/(6=%2一天+左，若log2/(?)=2,/(log2a)=k(a1,a>0),求使得

/(logx)>/(l)

,22)成立的x的取值范圍.

【解題策略】

本題結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，初看似乎難以下手去做，若根據(jù)同向化歸解題法，把原問題分解為幾個(gè)基本

的子問題，然后逐個(gè)解決，所有的子問題全部解決了，整個(gè)大問題也就獲解了.由題意，原問題可

以分解為如下4個(gè)子問題：

子問題1：由方程/(log2?)=A:,求a的值；

子問題2:由方程log2/(a)=2,求k的值；

子問題3:求/(1)的值；

子問題4:解不等式組求x的取值范圍.

［解］

按上述子問題的順序逐一解答.

子問題1：由/(log2?)=A:=>logjtz-log2<7+k-k=>log2fz(log2?-1)=().

,a#0,ar1,log2a*0,log2a-1=0log2a=1=a=2.

子問題2:由Iog2.f(a)=2nk)g2(a2—a+%)=2.

2

a-a+k=4,把a(bǔ)=2代人得：k=2.

子問題3:/(l)=F-l+左=2.

子問題4:由上述所求各值，原不等式可化為：

log^x-log2x+2>2(log2x(log2x-l)>0,J］睢M(1域2x)

log,2—2)<2%2—x+2<4x~-x—2<0

0<x<l或x>2,

\=0<x<l,此即為x的取值范圍.

-l<x<2

［例3］一個(gè)小于400的3位數(shù)，它是平方數(shù)，它的前兩個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)還是平方數(shù),

其個(gè)位數(shù)也是一個(gè)平方數(shù),求這個(gè)3位數(shù).

【解題策略】

可采用同向化歸解題法和枚舉與笑選并用的策略，即依據(jù)題中限定的三個(gè)條件步步深入，面對(duì)

枚舉出的情況逐步排除不符合條件的三位數(shù)確定滿足條件的三位數(shù).

【解】

本題共提出3個(gè)條件：

(1)一個(gè)小于400的三位數(shù)是平方數(shù)；

(2)這個(gè)三位數(shù)的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)還是平方數(shù)；

⑶這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位數(shù)也是一個(gè)平方數(shù).

先找出滿足第一個(gè)條件的三位數(shù)：

100,121,144,169,196,225,256,289,324,361

再考慮第二個(gè)條件，從中選出符合條件者：169,256,361.

最后考慮第三個(gè)條件，排除不符合條件的256，于是找到答案是169和361.

【例4】設(shè)集合A={x[l<x<3},又設(shè)集合B是關(guān)于x的不等式組

x2-2x+a,,0,①

2，、的解集，且試確定a,b的取值范圍.

x2-2bx+5?0,②

【解題策略】

若設(shè)集合B]是不等式⑴的解集，集合B2是不等式⑵的解集，則B=BQBZ,由于

兩個(gè)不等式都含參數(shù)，求5,n52并非易事,既要分類討論又極易出錯(cuò)，如果運(yùn)用同向化歸，則

簡捷多了！根據(jù)題設(shè)AuBoAqBi且層.兩個(gè)參數(shù)“分而治之"，清清楚楚！

【解】

2

若記/(x)=x-2x+?,fi,為不等式①的解集；記g(x)=爐-2bx+5,B2為不等式②的

,⑴，，。，曰

解集，則B=國.于是AcBoAcB,且A^B.結(jié)合圖像易得

2/⑶，，0

g⑴,,0,

=-3且b..3.

g⑶,,0

第五十一講逆向化歸解題法

人們?cè)谔幚韱栴}時(shí)，常常按照習(xí)慣的思維途徑去進(jìn)行思考，運(yùn)用習(xí)慣的化歸方式方法去轉(zhuǎn)化解決

問題,但按照這種思考方式或化歸方式在很多時(shí)候也會(huì)出現(xiàn)較繁或較難人手的情形，或出現(xiàn)一些

邏輯上的困惑，這時(shí)，從辯證思維的觀念出發(fā)，從問題或其中的某個(gè)方面的另一面人手進(jìn)行思考,

例如針對(duì)常規(guī)處理方法,針對(duì)問題條件、結(jié)論、求解程序、推理步驟進(jìn)行逆向化歸，采取順繁則逆、

正難則反的適時(shí)化歸措施，這就是所謂的逆向化歸思想，逆向化歸的形式，常有升格(升維、升次、

增項(xiàng)、增元、擴(kuò)域等),倒推、反求、反證、舉反例等.

【例1】已知sin%+cos%=1,求sin?+cosa的值.

【解題策略】若直接從條件出發(fā)通過變形求sina+cosa的值，其運(yùn)算肯定繁雜，順繁則逆，如

果從sine+cosa這個(gè)所求式出發(fā)卻易得siir'a+cos%；,故逆向化歸求解本題較為方便.

【解】

設(shè)sinc+cosa=A,兩邊平方，得：sinacosa=-------.

2

由已知條件可得sin3cz+cos3ez=(sinor+cosa)fsin2?-sincifcostz+cos2a)=1.

代換后得女{1—=1.即女3—3左+2=0,亦即(公―1)—3伙—1)=0,亦即

("1)(公+女—2)=0,.?.僅一Ip仕+2)=0,解得k=l或k=-2(不合題意，舍去).

故知sincr+coscr=l.

［例2］解方程：&-10x+26-4+10x+26=6.

【解題策略】

若直接解此無理方程，運(yùn)算量相當(dāng)大，由根式聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離并通過升維化歸為一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差，進(jìn)而聯(lián)想到雙曲線方程,這是一種妙思巧解.

［解］__________________

原方程可化為“r7y+l-7(%+5)2+1=6.令1=/，得：

{(x-Sy+y2-J(x+57+丁=6.；

上式表示動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到大(一5,0),與(5,0)的距離之差為6的點(diǎn)的軌跡.

22

顯然是雙曲線的左支，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：--匚=1(%,-3),

916

當(dāng)/=1時(shí)，x=—?J萬，故原方程的解為x=萬.

44

［例3］若a3+b3^2,求證：a+b?2.

【解題策略】

不論是綜合法還是分析法證明此題都很困難，運(yùn)用反證法即假設(shè)結(jié)論a+b?2的反面即

a+b>2成立，結(jié)合條件a3+Z?3=2推出與假設(shè)予盾，反證法也是逆向化歸解題法的一種.

［證明］

(1V3

彳度設(shè)a+b>2,a"—ab+b~=a—hH—h"..0.

I2J4

而取等號(hào)的條件為a=b=0,顯然不可能，所以a2-ab+b2>0.

貝ija。+"=(a+8),(4—ab+b~>2(a~—ah-\-b~,而+b'=2,故a?—ab+

h2<1.

所以1+。。>。2+匕2..2。。，從而ab<l,所以a1+b2<\+ab<2.

所以(a+6)2=。2+/+2。匕<2+2。人<4,所以a+b<2

這與假設(shè)矛盾，故a+b?2.

【例4】已知集合71=1x|1g(x2-2ax+a2+1)<lg2},B={x|(2x-a)(x-4)>0),

若Ac3w0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題策略】

易求得集合A={xla—l<x<a+l},而集合B中對(duì)應(yīng)方程(2x-a>(x—4)=()的

a

兩個(gè)根為-和4.若要確定集合B,則需要對(duì)。的取值分類討論，同時(shí)為使

2

Ac5#0成立,還要對(duì)最或4與或a+l的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論.兩重討論甚

為煩瑣，按照正難則反的解題原則，從的反面AnB=0方向去思考，適時(shí)采取

逆向化歸措施，正如德國數(shù)學(xué)家雅可比(C.G.J.Jacobi,1804-1851)所言，“運(yùn)用逆向思維要

經(jīng)常反向思考問題”，常?？烧业胶喗莸慕夥?

【解】

易得A={x|a_l<x<a+l},設(shè)函數(shù)/(%)=(2x-?)(%-4).

當(dāng)=0時(shí)，由于拋物線開口向上，則

/(a-1)=[2(a-1-4)”0,

解得2黜3.

/(a+l)=[2(a+l)-a](a+l-4),,0,

故要使Ac8w0,只須a<2或a>3.

第五十二講互變思想在解題中的運(yùn)用

矛盾著的東西往往也都互相聯(lián)系著，不但可以在一定條件下共處于一個(gè)統(tǒng)一體中，而且可以

在一定條件下互相轉(zhuǎn)變，如“熟悉"與“陌生"，"合”與“分"，"正"與“逆"，"動(dòng)"與

“靜”，“進(jìn)”與退”，“一般”與特殊”，“強(qiáng)化”與“弱化”，“抽象”與“具體“，"直”與

“曲"，“主"與‘次‘，“整體"與“部分”，“有限”與“無限”，"或然"與“必然’等.-

個(gè)事物矛盾的兩個(gè)方面，既是對(duì)立又是統(tǒng)一的，更是可以相互轉(zhuǎn)換的，從哲學(xué)上講既是“一分

為二”，又是“合二為一”，互變是化歸的一種手段，但比化歸更深刻，哲學(xué)的意味更濃，當(dāng)今學(xué)

術(shù)界倡導(dǎo)的批判性思維,在數(shù)學(xué)上的體現(xiàn)就是“互變”，就是對(duì)立又統(tǒng)一的辯證思想.

關(guān)于互變思想在解題中的運(yùn)用，本書各章都有涉及，在“轉(zhuǎn)化與變換的思想”這一章中已有

多個(gè)專題進(jìn)行論述.本章及本專題對(duì)此稍加拓展，可以這樣來表述:互變思想是指在處理、解決

數(shù)學(xué)問題的過程中有意識(shí)地考慮對(duì)問題進(jìn)行相互變化，從彼此相反的狀態(tài)、形式中尋找相互變

化的途徑.

【例1】在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程：一出d一為衿一g=0

【解題策略】

本題是一個(gè)四次方程，且系數(shù)含無理數(shù)，用通常的方法不易求解，但如果把省視為主元，把

X視為參數(shù)，由衿=(次)2,可得以班為主元的二次方程，解之就簡單了，這種題中元素

之間角色的互換為某些看似難以解答的問題開辟了一條通道.

【解】

原方程變?yōu)?次)2-(/+*+1)次+(/+/)=0

解上述關(guān)于癡的二次方程得：出=9,次=x+l.

于是,%=不,&=昭-1.

【例2】在坐標(biāo)平面xOy上有一運(yùn)動(dòng)著的梯形48。。,4。//8。,2。=45,/4=90,

AB=AD=2y/3,梯形在04+03=4的條件下運(yùn)動(dòng)，求原點(diǎn)0到直線CD的最短距離.

【解題策略】

相對(duì)于原點(diǎn)。，梯形是在運(yùn)動(dòng)的，直線CD是動(dòng)直線很難表示，若“動(dòng)”與“靜”互換角

式，將梯形看作是靜止的，則原點(diǎn)。是運(yùn)動(dòng)的，A,B就成為兩個(gè)定點(diǎn)，則。的軌跡可求,

CO也就成為定直線了，解題思路在角色的“動(dòng)”“靜”互變中產(chǎn)生了.

［解］

因?yàn)樘菪问沁\(yùn)動(dòng)的，所以動(dòng)直線的方程難以表示，即使求得，也必含參數(shù)且比較復(fù)雜.若將梯

形看作靜止而原點(diǎn)。是運(yùn)動(dòng)的，則由OA+OB=4,AB=26可知，動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是

以A8為焦點(diǎn)的橢圓.建立以AB中點(diǎn)。'為“原點(diǎn)”，AB中垂線為V軸的新坐標(biāo)

'2

交x'0'y',則直線CD的方程為：x'+y'-3百=0,動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為x2+^-=l

設(shè)。在新坐