2021年浙江省金華市東陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）附答案解析

2021年浙江省金華市東陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）

單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.集合鍛;曲月肺七斤褪，集合翳=（捌3=。工置￥，則P與Q的關(guān)系是（）

A.P=QB.P^QC.P,^QD.PC\Q=0

2.設(shè)m,九為非零實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，zEC,則方程|z+ni\+|z-mi\=九與|z+ni\-\z-mi\=

-租在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形（羯,尸2為焦點(diǎn)）是（）

3.

9

75C4D-

A.2

4.8,下列命題為真命題的是

A.己知&beR,貝卜'二^-《一2"是且b<f）”的充分不必要條件

ab

B.已知數(shù)列沁*｝為等比數(shù)列，則“出<%”是的既不充分也不必要條件

C.已知兩個(gè)平面a,若兩條異面直線冽，尤滿足詵二a,若uf且耀//p,許//CL,則

a//P

D.3xce（-x,0）,使3必*"成立

5.某四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積等于（）

A.JB.2C.SD.到

6.已知直線I：ax-3y-2=0與曲線y=爐在點(diǎn)p(U)處的切線垂直，則P(l,l)到直線，的距離為

()

A7舊B2屈Q3㈤D3屈

'135135

7.已知函數(shù)/'(X)的導(dǎo)函數(shù)r(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)/(x)及尸(x)的圖

8.點(diǎn)M是橢圓9+9=1上任一點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi，尸2，則AMFiF2的周長為()

A.4B.6C.8D.4+2V3

9.已知函數(shù)/'(無)=-2)+3,g(x)=x2-4x+3,若對(duì)任意與e[0,4],總存在亞e[1,4],

使得/(xi)＞。(次)成立，則實(shí)數(shù)血的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(一簿)C.(-00,-2)D.(一萬,+8)

10.定義：密就做=鏟1除冷周潮除硼，已知數(shù)列｛甌導(dǎo)滿足%=三將7翻紀(jì)徽》若對(duì)任意正

"<">-.遇陶醐

整數(shù)“，都有時(shí)更啕^但魏力成立，則謖&的值為（）

A.2B.1C.-D.-

監(jiān)轡

二、單空題（本大題共7小題，共36.0分）

11.等比數(shù)列｛即｝中，a3=9,前三項(xiàng)和S3=27,則公比q=.

12.已知圓M：（x+cos。）？+（y—sin。）？=1,直線I：y=kx,下面四個(gè)命題：

①對(duì)任意實(shí)數(shù)A與仇直線，和圓M相切；

②對(duì)任意實(shí)數(shù)k與。，直線/和圓”有公共點(diǎn)；

③對(duì)任意實(shí)數(shù)氏一定存在實(shí)數(shù)k,使得直線，與和圓M相切；

④對(duì)任意實(shí)數(shù)鼠一定存在實(shí)數(shù)0,使得直線]與和圓M相切.

其中真命題的代號(hào)是（寫出所有真命題的代號(hào)）.

13.設(shè)a=J^cosxdx,則二項(xiàng)式（a五一套尸展開式中含小項(xiàng)的系數(shù)是.

2

14.已知箱子中裝有10不同的小球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黑球和5個(gè)白球.現(xiàn)從該箱中有放回地依次取

出3個(gè)小球，若變量f為取出3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則f的方差D（f）=.

15.空間四邊形4BCD中，AB=CD,且異面直線AB和CD成30。角，E,F分別是邊BC和4。的中點(diǎn),

則異面直線E尸和4B所成的角等于.

16.在AABC中，若角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且魚a=2bsim4,則角B=.

17.已知向量a,b,且|a|=代，a與b的夾角為，，a1（2a-h）,則|b|=.

三、解答題（本大題共5小題，共74.0分）

18.電流/（單位：4）隨時(shí)間：（單位：S）變化的函數(shù)解析式是/=4s譏33t€[0,+8）,其中3=

lOnrad/s,

A=5.

（1）求電流I變化的周期；

⑵當(dāng)t=。，蔡急急擊時(shí)，求電流人

19.如圖，在四棱錐P-4BCD中，PA1CD,AD//BC,^ADC=

^PAB=90°,BC=CD=AE=-AD=1,PA=2.

2

(1)證明：平面PAB1平面PBD；

(2)求三棱錐E-PDC的體積.

已知數(shù)列｛即｝的前項(xiàng)和為％，且%=

20.nn&N*,1,an+1=--an.

(1)證明：數(shù)列｛懸｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和3.

21.如圖，直線I:丫=刀+/>與拋物線。：/=4y相切于點(diǎn)4.

(1)求實(shí)數(shù)b的值；

(2)已知圓P經(jīng)過力點(diǎn)且始終與拋物線C的準(zhǔn)線相切，求圓P的圓心的軌跡

方程，并說明其是什么曲線？.

22.設(shè)函數(shù)/(x)=M+a"(l+%)有兩個(gè)極值點(diǎn)的，％2,且/<盯?。)求a的取值范圍，并討論了S)

的單調(diào)性；

(2)證明：/(叼)>1-21n2

參考答案及解析

1.答案：C

解析：

本小題主要考查集合關(guān)系的判斷.

求解集合的運(yùn)算可以借助數(shù)軸輔助解決.

由題意可知，逑=儂裁="刁$=［碎凝黑，

螺=刎?=而項(xiàng)=標(biāo)恒起埋-

所以P寫Q

故選C.

2.答案：C

解析:解:設(shè)Fi(O,-n),F2(0,m)

,?,方程|z+ni\+\z-mi|=n>0,

???&(0,-n)在y軸負(fù)半軸，

設(shè)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)P(x,y),則|z+ni|=|PF/,|z—=仍尸2b

方程|z+ni|+|z-mi|=n即|PFi|+|PF2|=n(定值)，表示以FI、F2為焦點(diǎn)的橢圓；

方程|z+ni|—-=一m即|PF1|一|PF2|=-m(定值)，

當(dāng)m>0時(shí)，表示以&、尸2為焦點(diǎn)的雙曲線靠近Fi的一支，當(dāng)巾<0時(shí)，表示以&、尸2為焦點(diǎn)的雙曲

線靠近芻的一支

因此，對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)可知只有C符合題.

故選：C

設(shè)Fi(0,-n),F2(0,m),由題意得&(0,一切在y軸負(fù)半軸，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得|z+ni|=|PQ|且

\z-mi\=\PF2\>

所以第一個(gè)方程表示到Fi、F2距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；第二個(gè)方程表示到&、尸2距離之差等

于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.由此結(jié)合橢圓曲線的第一定義，可得本題的答案.

本題給出復(fù)數(shù)方程，要我們找出適合方程的圖形，著重考查了復(fù)數(shù)的幾何意義和圓錐曲線的定義等

知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案：A

僅w2

解析：解：實(shí)數(shù)％,y滿足x+y22對(duì)應(yīng)的可行域如下圖

(%—y+1<0

所示：

由+1=0解得4(1,2),z=3x+2y經(jīng)過可行域的4時(shí),

目標(biāo)函數(shù)取得最大值.

當(dāng)x=l,y=2時(shí)，z=3x+2y=7,

故z=3x+2y的最大值為7,

故選：A.

畫出已知約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，求出直接，代入目標(biāo)函數(shù)，得到結(jié)果.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中利用角點(diǎn)法是解答線性規(guī)劃類小題最常用的方法,

一定要掌握.

4.答案：C

解析：

選項(xiàng)」中，《十"4-2="上"：.+2=?+與：40=46<0是4>0且6<0的必要不

ababab

充分條件，所以4錯(cuò)；

選項(xiàng)3中，由得</或f°,，可以推出。4<生>但若。4<。5,貝肱

[q>l[0<q<l

數(shù)列有可能是擺動(dòng)的等比數(shù)列，如：1,-1,1,-1,1,-1?…“，此時(shí)推不出外<%<生，

所以3錯(cuò)；選項(xiàng)。中，當(dāng)x0<0時(shí)，白=0)4>4)。=1=3%>4%，所以。錯(cuò).

故答案為C.

5.答案：B

解析：試題分析：由題設(shè)及圖知，此幾何體為一個(gè)四棱錐，其底面為一個(gè)對(duì)角線長為2的正方形，故

其底面積為可法二都1刈=第，由三視圖知其中一個(gè)側(cè)棱為棱錐的高，其相對(duì)的側(cè)棱與高及底面正方

形的對(duì)角線組成一個(gè)直角三角形，由于此側(cè)棱長為岳，對(duì)角線長為2,故棱錐的高為

3M前一警=等此棱錐的體積為:落敘雷=鬟故選艮

考點(diǎn)：由三視圖求體積.

6.答案：D

解析：解：函數(shù)的y=/的導(dǎo)數(shù)y=3產(chǎn)，在點(diǎn)P(I,I)處的切線斜率k=3,

???直線E與切線垂直，

二直線，的斜率〃=/

即?=一［，解得a=-l,

即/：—x—3y—2=0,即x+3y+2=0,

則P(l,l)到直線加勺距離為d=3詈=島=呼，

故選：D

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)直線垂直的關(guān)系求出a,再由點(diǎn)到直線距離公式求解即可.

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離的求解，涉及了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩直線垂直的判定，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾

何意義求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵.

7.答案：A

解析：

利用己知條件判斷導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，判斷選項(xiàng)即可.

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的判斷，函數(shù)的圖象與導(dǎo)函數(shù)的圖象的關(guān)系,

考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

解：函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)只有一個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)可知，導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，原函數(shù)是三次函

數(shù)；

導(dǎo)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)為0的位置，原函數(shù)取得極值，

只有選項(xiàng)A滿足題意；

故選：A.

8.答案：B

解析：解：由橢圓二+匕=1，可得a=2,b-V3,c=1,

43

由^MF[F2的周長I=\MFy\+\MF2\+\F1F2\=2a+2c=4+2=6,

故選：B.

由橢圓的方程可知a=2,b=W，c=l,4M&F2的周長I=IMR|+|MF?I+IF#2I=2a+2c.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查焦點(diǎn)三角形的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：A

解析：

本題考查不等式恒成立問題，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.

根據(jù)對(duì)任意的修e[0,4],總存在孫e[1,4],使/(Xi)>g(X2)成立，由二次函數(shù)的值域求得可得g(x)

的最小值，可得一1<m(x-2)+3在xe[0,4]恒成立，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性可得關(guān)于m的不

等式組，解不等式組可得答案.

解：g(x)=x2-4x+3=(%-2)2-1,

當(dāng)小6[1,4]時(shí)，g(x2)G[-1,3]，

則9(物)的最小值為一1，

可得-1<m(x-2)+3在xG[0,4]恒成立，

則一1<—2m+3且一1<27n+3,

解得m<2,m>—2,

即—2<m<2,

故選：A

10.答案:D

蝦觸騎瞥

解析：試題分析：根據(jù)新定義，：,躅而正視般部■，那么可知，魄=,百￡丁「,因

為對(duì)于任意正整數(shù)法，者B有外，丑與，趣但魏』成立，則可知

T?智.T臂:i.■浜劈-端嚶:，c

蕭出資"京一那”口一霖一可當(dāng)〃=1,不等式成立，可知縫,喧瑟，當(dāng)n=2時(shí)，

一聶'富一制學(xué)堂骸

限限

:您當(dāng)n=3時(shí)，,n=4時(shí)，則%WL依次以后％將增大，可知結(jié)論為品，選。.

那么可知雕.的值為上，故選D

■轡

考點(diǎn)：考查了數(shù)列的新定義。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于數(shù)列定義的理解和不等式恒成立的轉(zhuǎn)換，屬于中檔題。

|1.答案：1或一3

解析：解：等比數(shù)列｛斯｝中，

<13=9,前三項(xiàng)和S3=27,

,[?192=9

1%+arq+9=27’

整理，得2q2-q-i=o,

解得q=1或q=-5

故答案為：1或—

由已知得出=27,由此能求出q=1或q=4-

本題考查等比數(shù)列的公比的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

12.答案：②④

解析：解：圓心坐標(biāo)為（—cos0,s）0）,圓的半徑為1

圓心到直線的距離d==|sin（。+<p）|<1（其中sinw=-^==,coscp--^==）

所以直線l與圓M有公共點(diǎn)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)鼠必存在實(shí)數(shù)9,使直線I與圓M相切，

故答案為：②④

根據(jù)圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑r,然后求出圓心到已知直線的距離d,利用兩角和的正弦函

數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，與半徑r比較大小，即可得到直線與圓的位置關(guān)系，得到正確答案即

可.

本題要求學(xué)生會(huì)利用圓心到直線的距離與半徑比較大小來判斷直線與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用點(diǎn)到

直線的距離公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題.

13.答案：-192

nn

解析：解：a=J&cosxdx==1-（-1）=2,

~2~2

???二項(xiàng)式（2五-3）6的展開式的通項(xiàng)公式為7；+1=凄.（-1/-26-r.%3-r,

令3-7=2,求得丁=1,可得展開式中含％2項(xiàng)的系數(shù)為一6x25=-192,

故答案為：—192.

求定積分可得a=2,在二項(xiàng)式（2立-專產(chǎn)的展開式的通項(xiàng)公式中，令％的塞指數(shù)等于2,求得r的值，

可得展開式中含一項(xiàng)的系數(shù).

本題主要考查求定積分，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù),

屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：§

解析：解：由題意，每次抽出紅球的概率為總=最

所以彳?B(3,》，

故f的方差D(f)=np(l-p)=3x|x(l-i)=g.

故答案為：

先求出每次抽出紅球的概率，然后利用f?8(3,》，由方差的計(jì)算公式求解即可.

本題考查了二項(xiàng)分布的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)分布的方差計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.答案：75。或15。

解析：解：取8D中點(diǎn)為G,聯(lián)結(jié)EG,FG,

vBG=GD,AF=FD,

:.FG渭,同理可得EG￡券，

??.NFGE的大小或補(bǔ)角等于異面直線4B與CD所成角的大小，

即4FGE=30°或150°

又AB=CD,FG=EG

??.△FGE為等腰三角形，

4GFE=75°,

.??異面直線EF和AB所成角等于75?；?5。.

故答案為：75?；?5。.

取BD中點(diǎn)為G,聯(lián)結(jié)EG,FG,由已條件推導(dǎo)出NFGE的大小等于異面直線48與CD所成角的大小,

由此利用等腰三角形性質(zhì)能求出異面直線EF和48所成角的大小.

本題考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

16.答案：W或f

44

解析：解：=y/2a=2bsinA^由正弦定理可得：yj2sinA=2sinBsinAisinAH0,

解得sinB=乎，B6（0,兀）.

44

故答案為：9或券

44

由&a=2bsinA）利用正弦定理可得：y/2sinA=2sinBsinA>sinA力0,解得sinB=弓，Be（0,兀）.

即可得出.

本題考查正弦定理、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

17.答案：4

解析：

本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題.

W：|a|=V3,［與的夾角為*a1(2a-

則a?(2a-b)=2同—a-b=2xV32--\/3|hcos^=0>

可得b=4,

故答案為4.

18.答案：解：（1）由題意，電流I變化的周期7=生=蕓=：

31U7T5

(2)當(dāng)t=0,1=5s譏0=0,

當(dāng)一1=5s皿黑）=5s譏恭

當(dāng)一1=5s皿器）=5s譏奈

L/30"、l-37r

當(dāng)‘=高/r=5sm(——)=5sin—,

v200720

當(dāng)t=4,/=5s譏黑=5s嗚，

解析：（1）根據(jù)正弦函數(shù)的周期公式即可求解.

⑵將「=°，親擊，急?弋入求得/的值即可?

本題考查y=Asin（MX+0）中參數(shù)的物理意義，屬于基礎(chǔ)題.

19.答案：（1）證明:

vPALCD,"48=90。，4B與CC相交，4Bu平面4BCD,CDu平面ABC。，

???PA1平面ABC。，

vBDu平面ABC。，

???PA1BD,

由AE—|71￡)—1,則ED—|i4￡>=1,

ED=BC=CD=1,又〃DC=90。，AD//BC,

四邊形BCDE為正方形，BELAD,BE=1,

乙BAD=4BDA=45°,乙ABD=90°,

^BDLAB,

XvPAdAB=A,PAu平面H4B,4Bu平面H4B,

???BD1平面P4B,又BDu平面PBD,

???平面P4B1平面PBD.

(2)解：VE-PDC=Vp-CDE=3^ACDE,P4

=ixixlxlx2=i.

323

解析：本題考查了線面垂直，面面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題.

(1)由P4_L4B,PA_LCD可得PAJ■平面4BC0,故24IB。，利用勾股定理的逆定理得出4B1BD,

故B￡>1平面248,于是平面P4B1平面PBD；

(2)VE-PDC=^P-CDE=]SACDE-P4即可求解.

20.答案：解：(1)證明：.??%1+1=岸而，

n+2

.a篦+1_2n+2即_2.V.

??n+2-n+2-2n+1

又a=2,

1+12

???數(shù)列｛含｝是首項(xiàng)、公比均為裁勺等比數(shù)列，且含=(》"；

(2)解：由(1)知：含=(3"，

n+1

"an=

乂Sn=2xg+3x++4x表+…+箸,

lsn=2x￡+3X或+…+/+翳?,

兩式相減得：衿=1+＞套+…+或一露=1+^^1—普=1一霜，

2

C°n+3

Sn=3——.

解析：(1)由題設(shè)條件推導(dǎo)出數(shù)列｛含｝相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系式，即可證明結(jié)論；

(2)先利用(1)中求得的數(shù)列｛巖｝的通項(xiàng)公式求出與，再利用錯(cuò)位相減求其前n項(xiàng)和即可.

本題主要考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.答案：解：⑴由朦/，，得/—4x—4b=0.

???直線，與拋物線相切，

(-4)2-4x(-4b)=0,解得b=-1.

(2)由⑴已知4的坐標(biāo)為(2,1),

設(shè)P(x,y).

???圓P經(jīng)過4點(diǎn)且始終與拋物線C的準(zhǔn)線相切，

???伊川=ly+1|

???J(x-2)2+(y—1)2=|y+1|

.,?圓心軌跡(％-2)2=4y是拋物線.